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广西壮族自治区2026年中考数学真题
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或木选均不得分。）
1．下列四个数中，最大的数是（　　）
A．8 B．5 C．0 D．-3
2．亮亮计划购买6简羽毛球，若每筒a元，则共需（　　）
A．（a+6）元 B．（a-6）元 C．6a元 D．元
3．如图，直线a，b相交于点O，若∠1＝50°，则∠2＝（　　）
A．130° B．90° C．50° D．40°
4．我国“十四五”期间每年的国内生产总值如下表所示：
年份x 2021 2022 2023 2024 2025
国内生产总值y/亿元 1173823 1234029 1294272 1348066 1401879
国内生产总值y随年份x的变化而变化.当x＝2025时，y＝（　　）
A．1173823 B．1294272 C．1348066 D．1401879
5．为促进学生全面而有个性的发展，某校开设了“书法”“武术”“剪纸”“AI启蒙”等四门校本特色课程，学生选课结果的统计图如图所示，则选择“AI启蒙”课程的占比为（　　）
A．40% B．30% C．25% D．20%
6．计算：（　　）
A．m3 B．m7 C．m D．m 3
7．根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的AD是△ABC的高的是（　　）
A． B．
C． D．
8．因式分解：（　　）
A．a（2a-3） B．a（2a+3） C．a（a-3） D．a（a+3）
9．如图所示，在平面直角坐标系中，蝴蝶图案关于y轴对称，点M与点N是对应点，则下列选项中的点，到M，N两点的距离相等的是（　　）
A．点P（2，2） B．点Q（1，-2）
C．点R（0，-1） D．点S（-1，-2）
10．方程的解是（　　）
A．x＝4 B．x＝3 C．x＝2 D．x＝1
11．已知点A（-2，y1），B（1，y2）在反比例函数的图象上，则y1，y2满足（　　）
A． B． C． D．
12．在平面上，基本图形经过旋转、平移等图形变化可以得到丰富的图案.如图1，在菱形ABCD中剪去一个菱形EMFD得到如图2的基本图形，图2经过旋转、拼接得到图3，图3经过平移、拼接得到图4.若AB＝2，点E，F分别为AD，CD的中点，则图1中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分。）
13．计算：=　 　.
14．四张分别印有明仕田园、象鼻山、涠洲岛、黄姚古镇的风景明信片，除风景面外完全相同.将风景面朝下洗匀，随机抽取一张，抽到涠洲岛明信片的概率是　 　.
15．二次函数的最小值为　 　.
16．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，连接AE，BE、若AB＝4，，则BE＝　 　.
三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程戎演算步骤。）
17．
（1）计算：9+（-4）×2；
（2）解不等式：2x-1＜5.
18．广西横州拥有全球规模最大的茉莉花生产基地，通江达海的平陆运河将助力茉莉花香飘世界.某校组织八年级7个班到茉莉园开展“香约茉莉·跃动 华”主题研学.研学期间，恰逢茉莉园举行茉莉花美食评选活动，应园区邀请，每班各派一名学生代表本班对茉莉花恲、茉莉奶冻、茉莉蛋样、茉莉茶酥等四种美食进行评分（10分制），结果汇总如下：
美食名称 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 学生7
茉莉花饼 9 8 8 9 10 9 7
茉莉奶冻 8 9 8 10 9 10 9
茉莉蛋糕 10 8 8 8 9 9 7
茉莉茶酥 7 7 10 9 9 7 8
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出茉莉茶酥评分的中位数、众数；
（2）每道美食的得分为去掉一个最低分和一个最高分后的平均分，得分越高说明该美食越受学生欢迎、已知茉莉花饼、茉莉蛋榚、茉莉茶酥的得分分别为8.6，8.4，8.请计算茉莉奶冻的得分，并指出最受学生欢迎的茉莉花美食.
19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长AB至点E，使得BE＝AB，连接BD，CE.
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）若∠A＝30°，AD⊥DB，BD＝1，求四边形AECD的周长.
20．图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度MN.
如图2，MN所在直线垂直地面于点A.甲把光源放置于点B处，BC垂直地面于点C，点A，C在同一水平线上.乙沿CA方向移动平面镜，移到点D时，从点B发出的光线反射到点M处：移到点E时，从点B发出的光线反射到点N处.经测量：BC＝1.5米，AC＝12米，CD＝2米，DE＝2米.记点D，E处的法线分别为SD，TE，即SD⊥AC，TE⊥AC，根据光的反射定律，∠MDS＝∠BDS，∠NET＝∠BET.
（1）求证：∠MDA＝∠BDC：
（2）求此公益广告牌的高度MN.
21．综合与实践
风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风风速超过2m/s，若创纪录不子承认.某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平.
【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据.
【模型假设】假设1：用w（单位：m/s）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示.
（1）逆风风速1m/s记为　 　m/s.
假设2：风速w影响下的成绩记为T（单位：s），零风速状态下的成绩记为T。（单位：s），成绩变化量T。-T记为y，y与w的关系用函数近似描述.
（2）描述y与w关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合T。和T的关系解释原因.
假设3：用二次函数描述y与w的关系.
【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：
（3）【模型应用】
请你估计顺风风速2m/s时的成绩变化量y.
（4）某运动员在专项训练前后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风2m/s的条件下跑出11.12s的成绩，第二次在逆风1m/s的条件下跑出11.30s的成绩.据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平是否有提升.
【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在2m/s以内，因此超出此范围时，应递慎使用本函数模型.
22．如图1，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，∠BAC＝45°，BC＝2，BD⊥AC于点D.
（1）求证：OD平分∠ADB：
（2）如图2，若以O为圆心，OD为半径的圆与BC相切于点E，求AC的长及∠CBD的度数.
23．关于x的一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，O是坐标原点.
（1）【性质初探】y随x的增大而　 　（填“增大”或“减小”）：
（2）求证：△AOB的面积为1；
【归纳提炼】我们把形如的一次函数称为“正向积1”函数.
（3）【深入探究】图象经过点（2，2）的“正向积1”函数是否存在 若存在，求出该函数解析式：若不存在，请说明理由：
（4）已知点P（m，n）不在坐标轴上，若图象过点P的“正向积1”函数有且只有一个.
①求n关于m的函数解析式；
②选取一个符合条件的点P，并验证该点是线段AB的中点.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：-3<0<5<8
故答案为：A
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：∵购买6简羽毛球，每筒a元
∴共需6a元
故答案为：C
【分析】根据题意建立代数式即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】邻补角
【解析】【解答】解：∵∠1=50°
∴∠2=180°-∠1=130°
故答案为：A
【分析】根据邻补角即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由表格可得：
当x＝2025时，y＝1401879
故答案为：D
【分析】根据表格信息即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：由题意可得：
选择“AI启蒙”课程的占比为1-20%-20%-30%=30%
故答案为：B
【分析】根据1减去其他课程的占比即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：m13
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘法即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】尺规作图-作高
【解析】【解答】解：A不是△ABC的高，不符合题意；
B是△ABC的高，符合题意；
C不是△ABC的高，不符合题意；
D不是△ABC的高，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据三角形的高的定义即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a（2a-3）
故答案为：A
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】 解：∵蝴蝶图案关于y轴对称，点M与点N是对应点
.∴y轴是线段MN的线段垂直平分线，
∴y轴上的点到M，N两点的距离相等，
故答案为：C
【分析】根据对称性质即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母可得，x+1=2x
移项，合并同类项可得x=1
经检验，x=1是原方程的解
故答案为：D
【分析】去分母，转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
11．【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵点A（-2，y1），B（1，y2）在反比例函数的图象上
∴-2y1=y2
∴2y1+y2=0
故答案为：A
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出答案.
12．【答案】B
【知识点】平行线的性质；菱形的性质；解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由图3可得，3∠B=360°
∴∠B=120°
∵在菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD，AD∥BC，AB∥CD
∴∠A=180°-120°=60°
作DG⊥AB于点G，交EM于点H
∵四边形EMFD是菱形
∴EM∥CD
∴EM∥AB∥CD
∴DH⊥EM，∠DEM=∠A=60°
∴在Rt△ADG中，
∵点E，F分别为AD，CD的中点
∴DE=MF=EM=DF=1
同理可得，
∴
故答案为：B
【分析】由图3可得，3∠B=360°，则∠B=120°，根据菱形性质可得AB=BC=CD=AD，AD∥BC，AB∥CD，则∠A=60°，作DG⊥AB于点G，交EM于点H，根据菱形性质可得EM∥CD，根据直线平行性质可得DH⊥EM，∠DEM=∠A=60°，解直角三角形可得DG，根据线段中点可得E=MF=EM=DF=1，同理可得，，再根据，结合菱形面积即可求出答案.
13．【答案】6
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：=6
故答案为：6
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
随机抽取一张，抽到涠洲岛明信片的概率是
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
15．【答案】26
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：
当x=20时，y取最小值为26
故答案为：26
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
16．【答案】5
【知识点】勾股定理；正方形的性质；求正切值
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4
∴AD=CD=BC=AB=4，∠D=∠C=90°
在△ADE中，∠D=90°
∴
∴
∴CE=CD-DE=3
在△BCE中，∠C=90°
∴
故答案为：5
【分析】根据正方形性质可得AD=CD=BC=AB=4，∠D=∠C=90°，根据正切定义可得DE，根据边之间的关系可得CE，再根据勾股定理即可求出答案.
17．【答案】（1）解：原式＝9+（-8）
＝9-8
＝1
（2）解：2x-1＜5
2x＜5+1
2x＜6
x＜3
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据有理数的混合运算即可求出答案.
（1）移项，合并同类项，系数化为1即可求出答案.
18．【答案】（1）解：中位数：8；众数：7
（2）解：由题意得，茉莉奶冻去掉一个最低分8和一个最高分10
剩余数为：9、8、9、10、9
平均分：x＝（9+8+9+10+9）÷5＝9.0
∵9.0＞8.6＞8.4＞8
∴茉莉奶冻为最受欢迎的美食
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）将茉莉茶酥的评分按从小到大的顺序排位：7，7，7，8，9，9，10
处在最中间的数为8，即中位数为8
出现次数最多的为7，即众数为7
【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（2）茉莉奶冻去掉一个最低分8和一个最高分10，根据平均数定义求出平均数，再比较大小即可求出答案.
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD＝BC
∴∠A＝∠CBE
∵BE＝AB
∴在△ABD和△BEC中，
∴△ABD≌△BEC（SAS）
（2）解：∵AD⊥DB
∴∠ADB＝90°
在Rt△ABD中，∠A＝30°，BD＝1
AB＝2BD＝2×1＝2
由勾股定理得
∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD＝AB＝2
∵BE＝AB＝2
∴AE＝AB+BE＝2+2＝4
由（1）得△ABD≌△BEC
∴CE＝BD＝1
故四边形AECD的周长为
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得AD∥BC，AD＝BC，则∠A＝∠CBE，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据含30°角的直角三角形性质可得AB，根据勾股定理可得AD，根据平行四边形性质可得CD＝AB＝2，根据边之间的关系可得AE，再根据全等三角形性质可得CE=BD，再根据四边形周长即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：∵SD⊥AC
∴∠BDC+∠BDS＝90°
∠MDS+∠MDA＝90°
∵∠MDS＝∠BDS
∴∠MDA＝∠BDC
（2）解：由（1）知：∠MDA＝∠BDC
又∵BC⊥AC，MA⊥AC
∴△BCD∽△MAD
∵AE＝AC-CE
∴AE＝8
代入已知：BC＝1.5，CD＝2，AD＝10
即
解得：
同理：△BCE∽△NAE
代入已知：BC＝1.5，CE＝4，AE＝8
即
解得：NA＝3
∵MN＝MA-NA
【知识点】相似三角形的判定；对顶角及其性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系，结合对顶角相等即可求出答案.
（2）根据相似三角形判定定理可得△BCD∽△MAD，则，代值计算可得MA，根据相似三角形判定定理可得△BCE∽△NAE，则，代值计算可得NA，再根据边之间的关系即可求出答案.
21．【答案】（1）-1
（2）解：当风速w＝0时，实际成绩T等于零风速成绩T0，
∴y＝T0-T＝0
∴函数图象经过坐标原点
（3）解：
∴当w＝2时，
答：顺风风速2m/s时成绩变化量y为0.124s
（4）解：第一次：顺风2m/s即w＝2时，T＝11.12s
由（3）得，此时，y＝0.124
第二次：逆风1m/s即w＝-1时，T＝11.30s
由（3）得，此时，
∵11.226＜11.244
∴该运动员训练后的竞技水平有提升
【知识点】二次函数的其他应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：（1）∵规定顺风用正数表示，逆风用负数表示
∴逆风风速1m/s记为-1m/s
故答案为：-1
【分析】 （1）根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
（2）根据原点对应的风速和y的实际意义，结合T与T的关系推导说明.
（3）将给定风速代入二次函数，计算得到成绩变化.
（4）分别计算两次比赛转换为零风速后的成绩，比较大小判断竞技水平是否提升.
22．【答案】（1）解：证明：连接OA、OB
∵OA、OB是⊙O半径
∴OA＝OB
∵BD⊥AC，∠BAC＝45°
∴△ABD为等腰直角三角形
∴BD＝AD
∴在△ODB和△ODA中，有
∴△ODB≌△ODA（SSS）
∴∠ODB＝∠ODA
即OD平分∠ADB
（2）解：如图，连接OB、OC、OE、DE
∵点A位于大圆上
为等腰直角三角形
∵BC与小圆相切于点E
∴E为BC的中点
∴OE＝BE
∵BD⊥AC
∴DE为Rt△BDC斜边上的中线
∴DE＝BE
∴DE＝BE＝OE＝OD
∴△ODE为等边三角形
∵∠ADB＝90°，OD平分∠ADB
∴∠BDE＝∠EDO-∠BDO＝60°-45°＝15°
∵BE＝DE
∴∠CBD＝∠BDE＝15°
过点C作CH⊥AB于点H，
由（1）可知△ABD为等腰直角三角形
∴∠ABD＝45°
∵∠CBD＝15°
∴∠CBA＝∠ABD+∠CBD＝60°
在Rt△CHB中，∠CBH＝60°，BC＝2
在Rt△CHA中，∠HAC＝45°，CH＝
综上，AC长度为，∠CBD度数为15°。
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形判定定理可得△ABD为等腰直角三角形，则BD＝AD，根据全等三角形判定定理可得△ODB≌△ODA（SSS），则△ODB≌△ODA（SSS），再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（2）连接OB、OC、OE、DE，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠BOC，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，根据切线性质可得，根据线段中点可得OE=BE，根据直角三角形斜边上的中线性质可得DE＝BE，根据等边三角形判定定理可得△ODE为等边三角形，则，根据角平分线定义可得∠BDO，根据角之间的关系可得∠BDE，再根据等边对等角可得∠CBD＝∠BDE＝15°，过点C作CH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形性质可得∠ABD＝45°，根据角之间的关系可得∠CBA，解直角三角形可得CH，AC，即可求出答案.
23．【答案】（1）增大
（2）证明：
令y＝0，解得令x＝0，解得y＝k
∴点，点B（0，k）
（3）解：存在，理由如下：
将点(2，2)代入
即
解得k1＝1，k2＝-2
∴过点（2，2）的“正向积1”函数存在
（4）解：①正向积1”函数过点P（m，n）
即
∵过点P的“正向积1”函数只有一个，即k只有一个根
∴2mn＝-1
∵点P（m，n）不在坐标轴上
∴m≠0，n≠0
∴n关于m的解析式为：
②取n=1时，
∴将点代入，即
即
解得：
令y＝0，则.x＝-1，令x＝0，则y＝2
∴点A（-1，0），点B（0，2）
∴线段AB中点坐标为
即点P为线段AB中点
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数中的线段周长问题
【解析】【解答】解：（1）∵
∴y随x的增大而增大
故答案为：增大
【分析】（1）根据一次函数的性质与系数的关系即可求出答案.
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得，点B（0，k），再根据三角形面积即可求出答案.
（3）根据待定系数法将点(2，2)代入解析式即可求出答案.
（4）①将点P坐标代入解析式可得，由题意可得二次方程只有一个解，即判别式，化简可得2mn＝-1，整理即可求出答案.
②取n=1时，，将点P坐标代入解析式可得，根据坐标轴上点的坐标特征可得点A（-1，0），点B（0，2），再根据线段中点即可求出答案.
1 / 1广西壮族自治区2026年中考数学真题
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或木选均不得分。）
1．下列四个数中，最大的数是（　　）
A．8 B．5 C．0 D．-3
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：-3<0<5<8
故答案为：A
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．亮亮计划购买6简羽毛球，若每筒a元，则共需（　　）
A．（a+6）元 B．（a-6）元 C．6a元 D．元
【答案】C
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：∵购买6简羽毛球，每筒a元
∴共需6a元
故答案为：C
【分析】根据题意建立代数式即可求出答案.
3．如图，直线a，b相交于点O，若∠1＝50°，则∠2＝（　　）
A．130° B．90° C．50° D．40°
【答案】A
【知识点】邻补角
【解析】【解答】解：∵∠1=50°
∴∠2=180°-∠1=130°
故答案为：A
【分析】根据邻补角即可求出答案.
4．我国“十四五”期间每年的国内生产总值如下表所示：
年份x 2021 2022 2023 2024 2025
国内生产总值y/亿元 1173823 1234029 1294272 1348066 1401879
国内生产总值y随年份x的变化而变化.当x＝2025时，y＝（　　）
A．1173823 B．1294272 C．1348066 D．1401879
【答案】D
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由表格可得：
当x＝2025时，y＝1401879
故答案为：D
【分析】根据表格信息即可求出答案.
5．为促进学生全面而有个性的发展，某校开设了“书法”“武术”“剪纸”“AI启蒙”等四门校本特色课程，学生选课结果的统计图如图所示，则选择“AI启蒙”课程的占比为（　　）
A．40% B．30% C．25% D．20%
【答案】B
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：由题意可得：
选择“AI启蒙”课程的占比为1-20%-20%-30%=30%
故答案为：B
【分析】根据1减去其他课程的占比即可求出答案.
6．计算：（　　）
A．m3 B．m7 C．m D．m 3
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：m13
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘法即可求出答案.
7．根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的AD是△ABC的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】尺规作图-作高
【解析】【解答】解：A不是△ABC的高，不符合题意；
B是△ABC的高，符合题意；
C不是△ABC的高，不符合题意；
D不是△ABC的高，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据三角形的高的定义即可求出答案.
8．因式分解：（　　）
A．a（2a-3） B．a（2a+3） C．a（a-3） D．a（a+3）
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a（2a-3）
故答案为：A
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
9．如图所示，在平面直角坐标系中，蝴蝶图案关于y轴对称，点M与点N是对应点，则下列选项中的点，到M，N两点的距离相等的是（　　）
A．点P（2，2） B．点Q（1，-2）
C．点R（0，-1） D．点S（-1，-2）
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】 解：∵蝴蝶图案关于y轴对称，点M与点N是对应点
.∴y轴是线段MN的线段垂直平分线，
∴y轴上的点到M，N两点的距离相等，
故答案为：C
【分析】根据对称性质即可求出答案.
10．方程的解是（　　）
A．x＝4 B．x＝3 C．x＝2 D．x＝1
【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母可得，x+1=2x
移项，合并同类项可得x=1
经检验，x=1是原方程的解
故答案为：D
【分析】去分母，转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
11．已知点A（-2，y1），B（1，y2）在反比例函数的图象上，则y1，y2满足（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵点A（-2，y1），B（1，y2）在反比例函数的图象上
∴-2y1=y2
∴2y1+y2=0
故答案为：A
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出答案.
12．在平面上，基本图形经过旋转、平移等图形变化可以得到丰富的图案.如图1，在菱形ABCD中剪去一个菱形EMFD得到如图2的基本图形，图2经过旋转、拼接得到图3，图3经过平移、拼接得到图4.若AB＝2，点E，F分别为AD，CD的中点，则图1中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；菱形的性质；解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由图3可得，3∠B=360°
∴∠B=120°
∵在菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD，AD∥BC，AB∥CD
∴∠A=180°-120°=60°
作DG⊥AB于点G，交EM于点H
∵四边形EMFD是菱形
∴EM∥CD
∴EM∥AB∥CD
∴DH⊥EM，∠DEM=∠A=60°
∴在Rt△ADG中，
∵点E，F分别为AD，CD的中点
∴DE=MF=EM=DF=1
同理可得，
∴
故答案为：B
【分析】由图3可得，3∠B=360°，则∠B=120°，根据菱形性质可得AB=BC=CD=AD，AD∥BC，AB∥CD，则∠A=60°，作DG⊥AB于点G，交EM于点H，根据菱形性质可得EM∥CD，根据直线平行性质可得DH⊥EM，∠DEM=∠A=60°，解直角三角形可得DG，根据线段中点可得E=MF=EM=DF=1，同理可得，，再根据，结合菱形面积即可求出答案.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分。）
13．计算：=　 　.
【答案】6
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：=6
故答案为：6
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.
14．四张分别印有明仕田园、象鼻山、涠洲岛、黄姚古镇的风景明信片，除风景面外完全相同.将风景面朝下洗匀，随机抽取一张，抽到涠洲岛明信片的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
随机抽取一张，抽到涠洲岛明信片的概率是
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
15．二次函数的最小值为　 　.
【答案】26
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：
当x=20时，y取最小值为26
故答案为：26
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
16．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，连接AE，BE、若AB＝4，，则BE＝　 　.
【答案】5
【知识点】勾股定理；正方形的性质；求正切值
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4
∴AD=CD=BC=AB=4，∠D=∠C=90°
在△ADE中，∠D=90°
∴
∴
∴CE=CD-DE=3
在△BCE中，∠C=90°
∴
故答案为：5
【分析】根据正方形性质可得AD=CD=BC=AB=4，∠D=∠C=90°，根据正切定义可得DE，根据边之间的关系可得CE，再根据勾股定理即可求出答案.
三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程戎演算步骤。）
17．
（1）计算：9+（-4）×2；
（2）解不等式：2x-1＜5.
【答案】（1）解：原式＝9+（-8）
＝9-8
＝1
（2）解：2x-1＜5
2x＜5+1
2x＜6
x＜3
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据有理数的混合运算即可求出答案.
（1）移项，合并同类项，系数化为1即可求出答案.
18．广西横州拥有全球规模最大的茉莉花生产基地，通江达海的平陆运河将助力茉莉花香飘世界.某校组织八年级7个班到茉莉园开展“香约茉莉·跃动 华”主题研学.研学期间，恰逢茉莉园举行茉莉花美食评选活动，应园区邀请，每班各派一名学生代表本班对茉莉花恲、茉莉奶冻、茉莉蛋样、茉莉茶酥等四种美食进行评分（10分制），结果汇总如下：
美食名称 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 学生7
茉莉花饼 9 8 8 9 10 9 7
茉莉奶冻 8 9 8 10 9 10 9
茉莉蛋糕 10 8 8 8 9 9 7
茉莉茶酥 7 7 10 9 9 7 8
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出茉莉茶酥评分的中位数、众数；
（2）每道美食的得分为去掉一个最低分和一个最高分后的平均分，得分越高说明该美食越受学生欢迎、已知茉莉花饼、茉莉蛋榚、茉莉茶酥的得分分别为8.6，8.4，8.请计算茉莉奶冻的得分，并指出最受学生欢迎的茉莉花美食.
【答案】（1）解：中位数：8；众数：7
（2）解：由题意得，茉莉奶冻去掉一个最低分8和一个最高分10
剩余数为：9、8、9、10、9
平均分：x＝（9+8+9+10+9）÷5＝9.0
∵9.0＞8.6＞8.4＞8
∴茉莉奶冻为最受欢迎的美食
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）将茉莉茶酥的评分按从小到大的顺序排位：7，7，7，8，9，9，10
处在最中间的数为8，即中位数为8
出现次数最多的为7，即众数为7
【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（2）茉莉奶冻去掉一个最低分8和一个最高分10，根据平均数定义求出平均数，再比较大小即可求出答案.
19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长AB至点E，使得BE＝AB，连接BD，CE.
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）若∠A＝30°，AD⊥DB，BD＝1，求四边形AECD的周长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD＝BC
∴∠A＝∠CBE
∵BE＝AB
∴在△ABD和△BEC中，
∴△ABD≌△BEC（SAS）
（2）解：∵AD⊥DB
∴∠ADB＝90°
在Rt△ABD中，∠A＝30°，BD＝1
AB＝2BD＝2×1＝2
由勾股定理得
∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD＝AB＝2
∵BE＝AB＝2
∴AE＝AB+BE＝2+2＝4
由（1）得△ABD≌△BEC
∴CE＝BD＝1
故四边形AECD的周长为
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得AD∥BC，AD＝BC，则∠A＝∠CBE，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据含30°角的直角三角形性质可得AB，根据勾股定理可得AD，根据平行四边形性质可得CD＝AB＝2，根据边之间的关系可得AE，再根据全等三角形性质可得CE=BD，再根据四边形周长即可求出答案.
20．图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度MN.
如图2，MN所在直线垂直地面于点A.甲把光源放置于点B处，BC垂直地面于点C，点A，C在同一水平线上.乙沿CA方向移动平面镜，移到点D时，从点B发出的光线反射到点M处：移到点E时，从点B发出的光线反射到点N处.经测量：BC＝1.5米，AC＝12米，CD＝2米，DE＝2米.记点D，E处的法线分别为SD，TE，即SD⊥AC，TE⊥AC，根据光的反射定律，∠MDS＝∠BDS，∠NET＝∠BET.
（1）求证：∠MDA＝∠BDC：
（2）求此公益广告牌的高度MN.
【答案】（1）证明：∵SD⊥AC
∴∠BDC+∠BDS＝90°
∠MDS+∠MDA＝90°
∵∠MDS＝∠BDS
∴∠MDA＝∠BDC
（2）解：由（1）知：∠MDA＝∠BDC
又∵BC⊥AC，MA⊥AC
∴△BCD∽△MAD
∵AE＝AC-CE
∴AE＝8
代入已知：BC＝1.5，CD＝2，AD＝10
即
解得：
同理：△BCE∽△NAE
代入已知：BC＝1.5，CE＝4，AE＝8
即
解得：NA＝3
∵MN＝MA-NA
【知识点】相似三角形的判定；对顶角及其性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系，结合对顶角相等即可求出答案.
（2）根据相似三角形判定定理可得△BCD∽△MAD，则，代值计算可得MA，根据相似三角形判定定理可得△BCE∽△NAE，则，代值计算可得NA，再根据边之间的关系即可求出答案.
21．综合与实践
风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风风速超过2m/s，若创纪录不子承认.某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平.
【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据.
【模型假设】假设1：用w（单位：m/s）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示.
（1）逆风风速1m/s记为　 　m/s.
假设2：风速w影响下的成绩记为T（单位：s），零风速状态下的成绩记为T。（单位：s），成绩变化量T。-T记为y，y与w的关系用函数近似描述.
（2）描述y与w关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合T。和T的关系解释原因.
假设3：用二次函数描述y与w的关系.
【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：
（3）【模型应用】
请你估计顺风风速2m/s时的成绩变化量y.
（4）某运动员在专项训练前后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风2m/s的条件下跑出11.12s的成绩，第二次在逆风1m/s的条件下跑出11.30s的成绩.据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平是否有提升.
【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在2m/s以内，因此超出此范围时，应递慎使用本函数模型.
【答案】（1）-1
（2）解：当风速w＝0时，实际成绩T等于零风速成绩T0，
∴y＝T0-T＝0
∴函数图象经过坐标原点
（3）解：
∴当w＝2时，
答：顺风风速2m/s时成绩变化量y为0.124s
（4）解：第一次：顺风2m/s即w＝2时，T＝11.12s
由（3）得，此时，y＝0.124
第二次：逆风1m/s即w＝-1时，T＝11.30s
由（3）得，此时，
∵11.226＜11.244
∴该运动员训练后的竞技水平有提升
【知识点】二次函数的其他应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：（1）∵规定顺风用正数表示，逆风用负数表示
∴逆风风速1m/s记为-1m/s
故答案为：-1
【分析】 （1）根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
（2）根据原点对应的风速和y的实际意义，结合T与T的关系推导说明.
（3）将给定风速代入二次函数，计算得到成绩变化.
（4）分别计算两次比赛转换为零风速后的成绩，比较大小判断竞技水平是否提升.
22．如图1，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，∠BAC＝45°，BC＝2，BD⊥AC于点D.
（1）求证：OD平分∠ADB：
（2）如图2，若以O为圆心，OD为半径的圆与BC相切于点E，求AC的长及∠CBD的度数.
【答案】（1）解：证明：连接OA、OB
∵OA、OB是⊙O半径
∴OA＝OB
∵BD⊥AC，∠BAC＝45°
∴△ABD为等腰直角三角形
∴BD＝AD
∴在△ODB和△ODA中，有
∴△ODB≌△ODA（SSS）
∴∠ODB＝∠ODA
即OD平分∠ADB
（2）解：如图，连接OB、OC、OE、DE
∵点A位于大圆上
为等腰直角三角形
∵BC与小圆相切于点E
∴E为BC的中点
∴OE＝BE
∵BD⊥AC
∴DE为Rt△BDC斜边上的中线
∴DE＝BE
∴DE＝BE＝OE＝OD
∴△ODE为等边三角形
∵∠ADB＝90°，OD平分∠ADB
∴∠BDE＝∠EDO-∠BDO＝60°-45°＝15°
∵BE＝DE
∴∠CBD＝∠BDE＝15°
过点C作CH⊥AB于点H，
由（1）可知△ABD为等腰直角三角形
∴∠ABD＝45°
∵∠CBD＝15°
∴∠CBA＝∠ABD+∠CBD＝60°
在Rt△CHB中，∠CBH＝60°，BC＝2
在Rt△CHA中，∠HAC＝45°，CH＝
综上，AC长度为，∠CBD度数为15°。
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形判定定理可得△ABD为等腰直角三角形，则BD＝AD，根据全等三角形判定定理可得△ODB≌△ODA（SSS），则△ODB≌△ODA（SSS），再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（2）连接OB、OC、OE、DE，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠BOC，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，根据切线性质可得，根据线段中点可得OE=BE，根据直角三角形斜边上的中线性质可得DE＝BE，根据等边三角形判定定理可得△ODE为等边三角形，则，根据角平分线定义可得∠BDO，根据角之间的关系可得∠BDE，再根据等边对等角可得∠CBD＝∠BDE＝15°，过点C作CH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形性质可得∠ABD＝45°，根据角之间的关系可得∠CBA，解直角三角形可得CH，AC，即可求出答案.
23．关于x的一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，O是坐标原点.
（1）【性质初探】y随x的增大而　 　（填“增大”或“减小”）：
（2）求证：△AOB的面积为1；
【归纳提炼】我们把形如的一次函数称为“正向积1”函数.
（3）【深入探究】图象经过点（2，2）的“正向积1”函数是否存在 若存在，求出该函数解析式：若不存在，请说明理由：
（4）已知点P（m，n）不在坐标轴上，若图象过点P的“正向积1”函数有且只有一个.
①求n关于m的函数解析式；
②选取一个符合条件的点P，并验证该点是线段AB的中点.
【答案】（1）增大
（2）证明：
令y＝0，解得令x＝0，解得y＝k
∴点，点B（0，k）
（3）解：存在，理由如下：
将点(2，2)代入
即
解得k1＝1，k2＝-2
∴过点（2，2）的“正向积1”函数存在
（4）解：①正向积1”函数过点P（m，n）
即
∵过点P的“正向积1”函数只有一个，即k只有一个根
∴2mn＝-1
∵点P（m，n）不在坐标轴上
∴m≠0，n≠0
∴n关于m的解析式为：
②取n=1时，
∴将点代入，即
即
解得：
令y＝0，则.x＝-1，令x＝0，则y＝2
∴点A（-1，0），点B（0，2）
∴线段AB中点坐标为
即点P为线段AB中点
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数中的线段周长问题
【解析】【解答】解：（1）∵
∴y随x的增大而增大
故答案为：增大
【分析】（1）根据一次函数的性质与系数的关系即可求出答案.
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得，点B（0，k），再根据三角形面积即可求出答案.
（3）根据待定系数法将点(2，2)代入解析式即可求出答案.
（4）①将点P坐标代入解析式可得，由题意可得二次方程只有一个解，即判别式，化简可得2mn＝-1，整理即可求出答案.
②取n=1时，，将点P坐标代入解析式可得，根据坐标轴上点的坐标特征可得点A（-1，0），点B（0，2），再根据线段中点即可求出答案.
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