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湖北云学联盟2025-2026学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷
一、单选题
1．在等比数列中，，，则（ ）
A．9 B．12 C．24 D．36
2．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．某高中体育课开设：篮球课、足球课、羽毛球课、排球课、乒乓球课和健美操六门课程，要求每名学生必须从中仅选择一门课程上课.小云、小阳、小东、小石4人共选了三门不同课程的选法数（ ）
A．720 B．360 C．120 D．20
5．已知函数，则（ ）
A．在处取得极大值 B．在处取得极小值
C．在处取得极大值 D．在处取得极小值
6．已知数列的前n项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．为测试一种新药的有效性，研究员用某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）：
发病 未发病 合计
使用药物 15 35 50
未使用药物 30 20 50
合计 45 55 100
从该动物种群中任取1只，记事件A表示此动物发病，事件B表示此动物使用药物，定义A的优势，在B发生的条件下A的优势，则（ ）
A．可化简为，估计其值为 B．可化简为，估计其值为
C．可化简为，估计其值为 D．可化简为，估计其值为
二、多选题
9．设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．是等比数列
D．若数列，则数列的前n项和
10．下列说法正确的是（ ）
A．随机变量，则方差
B．若事件A，B相互独立，则
C．根据小概率值的独立性检验，当时，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05.
D．在一组样本数据（，2，3， ，10）中，根据最小二乘法求得线性回归方程为且，去除两个异常数据和后，若得到的新线性回归直线的斜率为3，则新的线性回归方程为
11．过点可以作曲线的两条切线，则下列说法正确的是（ ）
A．P点的坐标可以是 B．P点的坐标可以是
C． D．
三、填空题
12．已知，则________.
13．若直线是函数图象的切线，则其切点坐标为________.
14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在乙手中的概率为________.
四、解答题
15．已知正项等比数列的前n项和为，且，.
(1)求数列的通项；
(2)设，求数列的前n项和.
16．某AI研发团队为探究模型训练时长对有效推理次数的影响，选取5组不同的训练时长方案，在相同硬件与数据条件下开展测试，统计出对应训练时长下的有效推理次数，得到如下数据：
训练时长x/h 12 13 14 15 16
有效推理次数y/次 4 6 18 20 26
(1)求变量y关于x的经验回归方程；
(2)当样本数据的残差绝对值大于1时，称该组数据为异常拟合数据，现从这5组数据中任取3组做残差分析，求取到异常拟合数据的组数X的分布列和数学期望.
附：；参考数据：.
17．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，当时，函数在上的最大值为0，求a的值.
18．某高中为了促进学生阅读兴趣，组织了一场知识竞赛.比赛以班为单位参与，分为预赛和决赛.预赛的规则是每个班在规定的时间内分别答题，答对题目数量最多的前两个班进入决赛.决赛规则是两个班轮流答题，无论是否答对，第一个班答完后第二个班即进入答题.
(1)若甲班在预赛阶段前面2道题每题答对的概率是，从第3题开始每道题答对的概率是，用X表示在前4次答题中答对的题目数量，求.
(2)若乙班在预赛阶段每道题答对的概率是，用Y表示在前10次答题中答对的题数，以概率作为判断标准，乙班最有可能答对的题目数量是多少
(3)为了增加比赛的趣味性，在决赛中增加如下环节：抽签决定先回答问题的班级，第一道题目由主持人给出，第一个班级在答完题目后，选择一个题目给另一个班级作答，然后再抽签决定第二轮首先回答问题的班级，以此类推.当两个班级都答过一次题目后称为一轮比赛，一轮比赛中，如果只有一个班级答对，答对的班级得1分，答错的班级得分；如果两个班级都答对或者都答错，均得0分.用事件A，B分别表示在一轮比赛中甲班和乙班答对题目.已知A，B有如下关系：①；②，从以上两个条件中任选一个判断A，B的关系，并在，时计算经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率.
19．已知函数.
(1)当时，若恒成立，求实数的值；
(2)当，时，求证：函数在上有唯一的极值点和零点；
(3)在（2）的条件下，试比较与的大小，并证明你的结论.
参考答案
1．B
【详解】在等比数列中，，
结合，，则.
2．D
【详解】由已知正态分布，，
则.
3．C
【详解】由题设，
因为定义域为，不等式两边同乘，
得到，
令或.
因为二次函数开口向上，
所以的解为或.
因为的定义域为，
所以最后不等式的解集为.
4．A
【详解】先从六门课程中选择三门，再将四人按照进行分组，再全排列即可，共有种方法.
5．D
【详解】，
令，则，有，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，故A、B、C错误，D正确.
6．D
【详解】当时，，①
当时，，②
将①代入②得，
所以，
又，则，即，
所以，
所以，
所以．
7．A
【详解】令函数，求导得，函数在上单调递增，
则，即当时，，因此，即；
令函数，求导得，
令函数，求导得，
而函数在上均单调递减，则函数在上单调递减，
，于是存在，使得，
当时，；当时，，
函数，即在上单调递增，在上单调递减，
而，，因此，函数在上单调递增，
因此，即，即，所以.
8．A
【详解】已知，，
由条件概率公式：，
，
由列联表可知：，，，，
，，
.
9．BCD
【详解】当时，，
当时，，两式相减得：，
所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，是首项为8，公比为2的等比数列，故C正确；
对于D，，
，故D正确.
10．CD
【详解】A：由题设，则，故A错；
对于B：由事件A，B相互独立，可知，对于随机事件A，B，
都有，
故仅当A，B互斥时，才有，故该结论不成立，即B错误；
对于C：根据小概率值的独立性检验，当时，
可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05，故C正确；
对于D，因为，所以去除两个异常数据和后，
得到新的，因为且，所以，
则新的，
因为得到的新线性回归直线的斜率为3，则，
所以新的线性回归方程为，故D正确.
11．BC
【详解】设切点为
切线的斜率为，
此时曲线有两条切线，等价于方程有两个不同的根.
设，
当，即时，恒成立，在上单调递增，
此时：至多有一个零点，即最多有一个根，不符合条件，
当时，显然在上单调递减，在上单调递增，
结合图像的特征，要使有两个不同的零点，则必有：
，
显然只有B，C选项正确.
12．
【详解】在中，
令，可得.
13．
【详解】设所求切点为，由于,
所以，解得：
则其切点坐标为
14．
【详解】设n次传球后球在乙手中的概率为，则有，
必有，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
故次传球后球在乙手中的概率为.
15．(1)
(2)
【详解】（1）设等比数列的公比为q，
方法一：
①当时，，显然不合题意；
②时，，得：，
则，又，则；
由题：，
方法二：
，又，，
由题：，
（2），
故：
，
两式相减得：
.
16．(1)
(2)X的分布列为：
X 0 1 2
P
X的数学期望.
【详解】（1）由题：，
，
因为，
，关于x的经验回归方程为.
（2）由（1）知，.
所以5组数据的残差绝对值及数据状态如下表所示.
训练时长x/h 12 13 14 15 16
有效推理次数y/次 4 6 18 20 26
预测值 3.2 9 14.8 20.6 26.4
残差的绝对值 0.8 3 3.2 0.6 0.4
是否为异常拟合数据 否 是 是 否 否
由表可知，异常拟合数据有2组，非异常拟合数据有3组.
所以从这5组数据中任取3组，异常拟合数据的组数的所有可能取值为0，1，2.
则，，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
则X的数学期望.
17．(1)当时，在R上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减；
(2).
【详解】（1）由题意得
令，
当时，恒成立，恒成立，在上单调递增；
当时，，
此时在单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时， 在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由于，
；
当时，，
由于，
①当，即时，在上单调递增，
此时当时，有最大值为：；
②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
此时当时，有最大值为：.
令，则，此时，
故无解，即方程无解.
综上：.
18．(1)
(2)8个题.
(3)选择①：，
则
，因此，
所以A，B相互独立.
选择②：，则，
因此，整理得，
所以A，B相互独立.
用C表示“经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同”，
，
所以经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率为.
【详解】（1）依题意，X的所有可能取值为：0，1，2，3，4，
，，
，
，，
.
（2）依题意，，假设最有可能答对题目的数量是k次，
则，即，
解得，又，因此，所以乙班最有可能答对8个题.
（3）（3）略
19．(1)
(2)①当时，，
，
显然：在上单调递增，，
，
由零点存在定理和单调性可知，存在唯一的，满足，
且当时，，单调递减；当时，，单调递增；
综上：函数在上有唯一的极小值点.
②由以上分析，在上单调递减，在单调递增，
则，，
故存在唯一，满足，
即在有唯一的零点.
(3)，证明如下：
由（2）可知，，，
，
令，，则，
则，
即在上单调递减，所以，即，
则，
由于在上单调递增，
又，，
所以.
【详解】（1）当时，，
当时，恒成立；
当时，恒成立；综上：.
（2）略
（3）略

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