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6.1 导学1　计数原理及其简单应用
知识点一　分类加法计数原理　　　　　　　　　　　　　　　　
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=　 　种不同的方法.
点拨：对分类加法计数原理的说明：
(1)核心：原理的核心是“分类”，完成一件事的方法分为若干类.
(2)特点：相互独立. 各类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，并且用任何一类方案中的任何一种方法都可以单独完成这件事.
(3)应用：①根据问题的特点确定一个分类的标准；②在确定的标准下进行分类；③分类不能重复，不能遗漏.
例1　(1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别有4人、5人、6人、7人，他们自愿组成数学课外小组.选其中一人为组长，有多少种不同的选法？
(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
[延伸探究]　若本例(2)中的条件变为“个位数字小于十位数字且为偶数”，那么这样的两位数有多少个？
[反思感悟]　1. 分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，要做到分类“不重不漏”.
2. 利用分类加法计数原理计数时的解题流程.
知识点二　分步乘法计数原理
分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=　 　种不同的方法.
点拨：对分步乘法计数原理的说明：
(1)完成一件事的两个步骤，缺一不可，其中的一步不能独立完成这件事.
(2)推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N=m1·m2·…·mn种不同的方法.
例2　从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选三个不重复的数字分别作为二次函数y=ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成多少条不同的抛物线？
[延伸探究]　若本例中的抛物线的顶点在第一象限且经过原点，此时抛物线的条数为多少？
[反思感悟]　利用分步乘法计数原理解题的注意点及解题思路：
(1)运用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可.
(2)利用分步乘法计数原理解题的具体流程.
知识点三　两个计数原理的简单应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营.
(1)若从中选1人作为总负责人，则共有多少种不同的选法？
(2)若每年级各选1名负责人，则共有多少种不同的选法？
(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人来自不同的年级，则共有多少种选法？
[反思感悟]　1. 处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏.
2. 对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 从A地前往B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具.如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法的种数为 (　 　)
A. 3 B. 9
C. 24 D. 以上都不对
2. 若x∈{1，2，3}，y∈{6，7，8，9}，用(x， y)表示点的坐标，则不同的点的个数为(　 　)
A. 7 B. 4
C. 3 D. 12
3. 现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的1个讲座，不同选法的种数为(　 　)
A. 56 B. 65
C. 30 D. 11
4. 已知集合A={0，3，4}，B={1，2，7，8}，C={x|x∈A，或x∈B}，则集合C的子集中恰有一个元素的情况有　 　种. 6.1 导学1　计数原理及其简单应用
知识点一　分类加法计数原理　　　　　　　　　　　　　　　　
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=　m＋n　种不同的方法.
点拨：对分类加法计数原理的说明：
(1)核心：原理的核心是“分类”，完成一件事的方法分为若干类.
(2)特点：相互独立. 各类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，并且用任何一类方案中的任何一种方法都可以单独完成这件事.
(3)应用：①根据问题的特点确定一个分类的标准；②在确定的标准下进行分类；③分类不能重复，不能遗漏.
例1　(1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别有4人、5人、6人、7人，他们自愿组成数学课外小组.选其中一人为组长，有多少种不同的选法？
(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
解：(1)选取数学课外小组组长的情况可分四类：
从一班中选一人有4种方法，从二班中选一人有5种方法，从三班中选一人有6种方法，从四班中选一人有7种方法.
故共有N=4＋5＋6＋7=22(种)不同的选法.
(2)方法一　根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8分成8类，
在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.
由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=36(个).
方法二　分析个位数字，可分以下几类：
个位数字是9，则十位数字可以是1，2，3，…，8中的一个，故共有8个；
个位数字是8，则十位数字可以是1，2，3，…，7中的一个，故共有7个；
同理，个位数字是7的有6个；……个位数字是2的有1个.
由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=36(个).
[延伸探究]　若本例(2)中的条件变为“个位数字小于十位数字且为偶数”，那么这样的两位数有多少个？
解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个；
当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个；
当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个；
同理可知，当个位数字是2时，共7个；
当个位数字是0时，共9个.
由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9=25(个).
[反思感悟]　1. 分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，要做到分类“不重不漏”.
2. 利用分类加法计数原理计数时的解题流程.
知识点二　分步乘法计数原理
分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=　m×n　种不同的方法.
点拨：对分步乘法计数原理的说明：
(1)完成一件事的两个步骤，缺一不可，其中的一步不能独立完成这件事.
(2)推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N=m1·m2·…·mn种不同的方法.
例2　从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选三个不重复的数字分别作为二次函数y=ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成多少条不同的抛物线？
解：完成这件事可分三步：
第1步，选系数a(a不能为0)，有5种不同的选法；
第2步，选系数b，有5种不同的选法；
第3步，选系数c，有4种不同的选法.
根据分步乘法计数原理得，可以组成抛物线的条数为5×5×4=100.
[延伸探究]　若本例中的抛物线的顶点在第一象限且经过原点，此时抛物线的条数为多少？
解：依题意得，a＜0，b＜0，c=0.分三步：第1步，c=0，只有1种选法；第2步，确定a，a从－2，－1中选一个，有2种不同的选法；第3步，确定b，从1，2，3中选一个，有3种不同的选法.
根据分步乘法计数原理，得抛物线的条数为1×2×3=6.
[反思感悟]　利用分步乘法计数原理解题的注意点及解题思路：
(1)运用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可.
(2)利用分步乘法计数原理解题的具体流程.
知识点三　两个计数原理的简单应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营.
(1)若从中选1人作为总负责人，则共有多少种不同的选法？
(2)若每年级各选1名负责人，则共有多少种不同的选法？
(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人来自不同的年级，则共有多少种选法？
解：(1)从高一选1人作为总负责人有50种选法；从高二选1人作为总负责人有42种选法；从高三选1人作为总负责人有30种选法.
由分类加法计数原理，共有50＋42＋30=122(种)选法.
(2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法.
由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30=63 000(种)选法.
(3)①高一和高二各选1人作为中心发言人，有50×42=2 100(种)选法；
②高二和高三各选1人作为中心发言人，有42×30=1 260(种)选法；
③高一和高三各选1人作为中心发言人，有50×30=1 500(种)选法.
故共有2 100＋1 260＋1 500=4 860(种)选法.
[反思感悟]　1. 处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏.
2. 对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 从A地前往B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具.如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法的种数为 (　B　)
A. 3 B. 9
C. 24 D. 以上都不对
2. 若x∈{1，2，3}，y∈{6，7，8，9}，用(x， y)表示点的坐标，则不同的点的个数为(　D　)
A. 7 B. 4
C. 3 D. 12
3. 现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的1个讲座，不同选法的种数为(　A　)
A. 56 B. 65
C. 30 D. 11
4. 已知集合A={0，3，4}，B={1，2，7，8}，C={x|x∈A，或x∈B}，则集合C的子集中恰有一个元素的情况有　7　种. (共19张PPT)
一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理
导学1　计数原理及其简单应用
高中数学 选择性必修 第三册
计数原理
第六章
知识点一
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=_________种不同的方法.
点拨：对分类加法计数原理的说明：
(1)核心：原理的核心是“分类”，完成一件事的方法分为若干类.
(2)特点：相互独立. 各类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，并且用任何一类方案中的任何一种方法都可以单独完成这件事.
(3)应用：①根据问题的特点确定一个分类的标准；②在确定的标准下进行分类；③分类不能重复，不能遗漏.
m＋n
知识点一　分类加法计数原理
例1　(1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别有4人、5人、6人、7人，他们自愿组成数学课外小组.选其中一人为组长，有多少种不同的选法？
(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
解：(1)选取数学课外小组组长的情况可分四类：
从一班中选一人有4种方法，从二班中选一人有5种方法，从三班中选一人有6种方法，从四班中选一人有7种方法.
故共有N=4＋5＋6＋7=22(种)不同的选法.
(2)方法一　根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8分成8类，
在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.
由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=36(个).
方法二　分析个位数字，可分以下几类：
个位数字是9，则十位数字可以是1，2，3，…，8中的一个，故共有8个；
个位数字是8，则十位数字可以是1，2，3，…，7中的一个，故共有7个；
同理，个位数字是7的有6个；……个位数字是2的有1个.
由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=36(个).
[延伸探究]　若本例(2)中的条件变为“个位数字小于十位数字且为偶数”，那么这样的两位数有多少个？
解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个；
当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个；
当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个；
同理可知，当个位数字是2时，共7个；
当个位数字是0时，共9个.
由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9=25(个).
[反思感悟]　1. 分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，要做到分类“不重不漏”.
2. 利用分类加法计数原理计数时的解题流程.
知识点二
分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=______种不同的方法.
点拨：对分步乘法计数原理的说明：
(1)完成一件事的两个步骤，缺一不可，其中的一步不能独立完成这件事.
(2)推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N=m1·m2·…·mn种不同的方法.
m×n
知识点二　分步乘法计数原理
例2　从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选三个不重复的数字分别作为二次函数y=ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成多少条不同的抛物线？
解：完成这件事可分三步：
第1步，选系数a(a不能为0)，有5种不同的选法；
第2步，选系数b，有5种不同的选法；
第3步，选系数c，有4种不同的选法.
根据分步乘法计数原理得，可以组成抛物线的条数为5×5×4=100.
[延伸探究]　若本例中的抛物线的顶点在第一象限且经过原点，此时抛物线的条数为多少？
解：依题意得，a＜0，b＜0，c=0.分三步：第1步，c=0，只有1种选法；第2步，确定a，a从－2，－1中选一个，有2种不同的选法；第3步，确定b，从1，2，3中选一个，有3种不同的选法.
根据分步乘法计数原理，得抛物线的条数为1×2×3=6.
[反思感悟]　利用分步乘法计数原理解题的注意点及解题思路：
(1)运用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可.
(2)利用分步乘法计数原理解题的具体流程.
知识点三
知识点三　两个计数原理的简单应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营.
(1)若从中选1人作为总负责人，则共有多少种不同的选法？
(2)若每年级各选1名负责人，则共有多少种不同的选法？
(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人来自不同的年级，则共有多少种选法？
解：(1)从高一选1人作为总负责人有50种选法；从高二选1人作为总负责人有42种选法；从高三选1人作为总负责人有30种选法.
由分类加法计数原理，共有50＋42＋30=122(种)选法.
(2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法.
由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30=63 000(种)选法.
(3)①高一和高二各选1人作为中心发言人，有50×42=2 100(种)选法；
②高二和高三各选1人作为中心发言人，有42×30=1 260(种)选法；
③高一和高三各选1人作为中心发言人，有50×30=1 500(种)选法.
故共有2 100＋1 260＋1 500=4 860(种)选法.
[反思感悟]　1. 处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏.
2. 对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰.
随堂巩固
1. 从A地前往B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具.如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法的种数为 (　　)
A. 3 B. 9
C. 24 D. 以上都不对
B
2. 若x∈{1，2，3}，y∈{6，7，8，9}，用(x， y)表示点的坐标，则不同的点的个数为
(　　)
A. 7 B. 4
C. 3 D. 12
D
3. 现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的1个讲座，不同选法的种数为(　　)
A. 56 B. 65
C. 30 D. 11
A
4. 已知集合A={0，3，4}，B={1，2，7，8}，C={x|x∈A，或x∈B}，则集合C的子集中恰有一个元素的情况有____种.
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