资源简介

6.1 导学2　两个计数原理的综合应用
知识点一　抽取与分配问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　(1)高二年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中甲工厂必须有班级去，每班可自由选择去哪个工厂，则不同的分配方案有(　C　)
A. 16种 B. 18种
C. 37种 D. 48种
【解析】方法一(直接法)　第一类：三个班级都到甲工厂，只有1种分配方案；第二类：两个班级到甲工厂，剩余一个班级去其他工厂，分配方案有3×3=9(种)；第三类：只有一个班级到甲工厂，剩余两个班级去另外三个工厂，分配方案有3×3×3=27(种).由分类加法计数原理，共有1＋9＋27=37(种)不同的分配方案.
方法二(间接法)　若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有4×4×4=64(种)情况；若甲工厂没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有3×3×3=27(种)方法，则符合条件的分配方案有64－27=37(种).
(2)甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数为　2　.
【解析】不妨由甲先来取，共2种取法，余下来的人，都只有一种选择，∴不同的取法共有2×1×1=2(种).
[反思感悟]　抽(选)取与分配问题的常用解法：
(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法.
(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：
①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行.
②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.
知识点二　组数问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　已知0，1，2，3，4五个数字，请用以上5个数字，回答下列问题：
(1)可以排成多少个由三位数字组成的电话号码？
(2)可以排成多少个三位数？
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
解：(1)由三位数字组成的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5=53=125(个).
(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种排法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5=100(个).
(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字为0，则有4×3=12(种)排法；另一类是末位数字不为0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，∵0不能在首位，∴有3种排法，十位有3种排法，∴有2×3×3=18(种)排法.因而有12＋18=30(种)排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.
[延伸探究]　由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？
解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个还有3个可任取一个，有3种方法；第三步、第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理，共有2×3×3×2=36(个).
[反思感悟]　常见的组数问题的解题原则：
(1)首先，明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；
(2)其次，注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各位数上的数字之和能被3整除等；
(3)最后，先分类再分步，从特殊数字或特殊位置进行组数.
知识点三　涂色问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(1)如图所示，有A，B，C，D四个区域，用红、黄、蓝三种颜色涂色，要求任意两个相邻区域的颜色各不相同，共有　18　种不同的涂法.
【解析】①若A，C涂色相同，则A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3，2，1，2，则有3×2×1×2=12(种)不同的涂法.
②若A，C涂色不相同，则A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3，2，1，1，则有3×2×1×1=6(种)不同的涂法.
∴根据分类加法计数原理，共有12＋6=18(种)不同的涂法.
(2)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜中选出3种，分别种在三块不同的土地上，其中黄瓜必须种植，则有　18　种不同的种植方法.
【解析】方法一(直接法)　若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2=6(种)不同的种植方法.
同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2=6(种)不同的种植方法.
故共有6×3=18(种)不同的种植方法.
方法二(间接法)　从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，共有4×3×2=24(种)不同的种植方法，其中不种黄瓜有3×2×1=6(种)不同的种植方法，故共有24－6=18(种)不同的种植方法.
[反思感悟]　涂色与种植问题的四个解答策略：
(1)按区域的不同以区域为主，分步计数，并用分步乘法计数原理计算.
(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算.
(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题.
(4)对于不相邻的区域，可分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有(　D　)
A. 6种 B. 7种
C. 8种 D. 9种
2. 由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为(　D　)
A. 15 B. 12 C. 10 D. 5
3. 甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲处，则不同的传递方式共有(　C　)
A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 12种
4. 对图中的A，B，C三个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色.现有红、黄、蓝三种不同的颜色可以选择，则不同的染色方法共有　12　 种.
A B C(共18张PPT)
一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理
导学2　两个计数原理的综合应用
高中数学 选择性必修 第三册
计数原理
第六章
知识点一
知识点一　抽取与分配问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　(1)高二年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中甲工厂必须有班级去，每班可自由选择去哪个工厂，则不同的分配方案有(　　)
A. 16种 B. 18种
C. 37种 D. 48种
【解析】方法一(直接法)　第一类：三个班级都到甲工厂，只有1种分配方案；第二类：两个班级到甲工厂，剩余一个班级去其他工厂，分配方案有3×3=9(种)；第三类：只有一个班级到甲工厂，剩余两个班级去另外三个工厂，分配方案有3×3×3=27(种).由分类加法计数原理，共有1＋9＋27=37(种)不同的分配方案.
方法二(间接法)　若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有4×4×4=64(种)情况；若甲工厂没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有3×3×3=27(种)方法，则符合条件的分配方案有64－27=37(种).
C
(2)甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数为____.
【解析】不妨由甲先来取，共2种取法，余下来的人，都只有一种选择，∴不同的取法共有2×1×1=2(种).
2
[反思感悟]　抽(选)取与分配问题的常用解法：
(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法.
(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：
①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行.
②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.
知识点二
知识点二　组数问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　已知0，1，2，3，4五个数字，请用以上5个数字，回答下列问题：
(1)可以排成多少个由三位数字组成的电话号码？
(2)可以排成多少个三位数？
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
解：(1)由三位数字组成的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5=53=125(个).
(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种排法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5=100(个).
(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字为0，则有4×3=12(种)排法；另一类是末位数字不为0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，∵0不能在首位，∴有3种排法，十位有3种排法，∴有2×3×3=18(种)排法.因而有12＋18=30(种)排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.
[延伸探究]　由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？
解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个还有3个可任取一个，有3种方法；第三步、第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理，共有2×3×3×2=36(个).
[反思感悟]　常见的组数问题的解题原则：
(1)首先，明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；
(2)其次，注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各位数上的数字之和能被3整除等；
(3)最后，先分类再分步，从特殊数字或特殊位置进行组数.
知识点三
知识点三　涂色问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(1)如图所示，有A，B，C，D四个区域，用红、黄、蓝三种颜色涂色，要求任意两个相邻区域的颜色各不相同，共有______种不同的涂法.
【解析】①若A，C涂色相同，则A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3，2，1，2，则有3×2×1×2=12(种)不同的涂法.
②若A，C涂色不相同，则A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3，2，1，1，则有3×2×1×1=6(种)不同的涂法.
∴根据分类加法计数原理，共有12＋6=18(种)不同的涂法.
18
(2)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜中选出3种，分别种在三块不同的土地上，其中黄瓜必须种植，则有______种不同的种植方法.
【解析】方法一(直接法)　若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2=6(种)不同的种植方法.
同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2=6(种)不同的种植方法.
故共有6×3=18(种)不同的种植方法.
方法二(间接法)　从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，共有4×3×2=24(种)不同的种植方法，其中不种黄瓜有3×2×1=6(种)不同的种植方法，故共有24－6=18(种)不同的种植方法.
18
[反思感悟]　涂色与种植问题的四个解答策略：
(1)按区域的不同以区域为主，分步计数，并用分步乘法计数原理计算.
(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算.
(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题.
(4)对于不相邻的区域，可分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准.
随堂巩固
1. 某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有(　　)
A. 6种 B. 7种
C. 8种 D. 9种
D
2. 由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为(　　)
A. 15 B. 12
C. 10 D. 5
D
3. 甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲处，则不同的传递方式共有(　　)
A. 4种 B. 5种
C. 6种 D. 12种
C
4. 对图中的A，B，C三个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色.现有红、黄、蓝三种不同的颜色可以选择，则不同的染色方法共有______ 种.
A B C
126.1 导学2　两个计数原理的综合应用
知识点一　抽取与分配问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　(1)高二年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中甲工厂必须有班级去，每班可自由选择去哪个工厂，则不同的分配方案有(　 　)
A. 16种 B. 18种
C. 37种 D. 48种
(2)甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数为　 　.
[反思感悟]　抽(选)取与分配问题的常用解法：
(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法.
(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：
①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行.
②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.
知识点二　组数问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　已知0，1，2，3，4五个数字，请用以上5个数字，回答下列问题：
(1)可以排成多少个由三位数字组成的电话号码？
(2)可以排成多少个三位数？
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
[延伸探究]　由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？
[反思感悟]　常见的组数问题的解题原则：
(1)首先，明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；
(2)其次，注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各位数上的数字之和能被3整除等；
(3)最后，先分类再分步，从特殊数字或特殊位置进行组数.
知识点三　涂色问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(1)如图所示，有A，B，C，D四个区域，用红、黄、蓝三种颜色涂色，要求任意两个相邻区域的颜色各不相同，共有　 　种不同的涂法.
(2)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜中选出3种，分别种在三块不同的土地上，其中黄瓜必须种植，则有　 　种不同的种植方法.
[反思感悟]　涂色与种植问题的四个解答策略：
(1)按区域的不同以区域为主，分步计数，并用分步乘法计数原理计算.
(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算.
(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题.
(4)对于不相邻的区域，可分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有(　 　)
A. 6种 B. 7种
C. 8种 D. 9种
2. 由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为(　 　)
A. 15 B. 12 C. 10 D. 5
3. 甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲处，则不同的传递方式共有(　 　)
A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 12种
4. 对图中的A，B，C三个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色.现有红、黄、蓝三种不同的颜色可以选择，则不同的染色方法共有　 　 种.
A B C

展开更多......

收起↑