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6.2 导学1　排列与排列数
知识点一　排列的概念　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照　一定的顺序　排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2. 根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：(1)两个排列的元素　完全相同　；(2)元素的排列　顺序　也相同.
点拨：排列中“一定的顺序”是关键，两个排列尽管组成元素完全相同，若排列顺序不同，一定是不同的排列.
例1　(1)(多选)下列问题中，属于排列问题的有(　BD　)
A. 统计北京、上海、天津三个民航站之间直达航线的飞机票价格(假设来回票价相同)
B. 选2个小组分别去植树和种菜
C. 选10个人组成一个学习小组
D. 选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员
【解析】三个民航站之间直达航线的飞机票价格不存在顺序问题，A错误；植树和种菜是不同的，存在顺序问题，B正确；C中不存在顺序问题，C错误；每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，D正确.
(2)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？请写出所有结果.
解：第一类：用1面旗表示的信号有红、黄、蓝，共3种；
第二类：用2面旗表示的信号有红黄、黄红、红蓝、蓝红、黄蓝、蓝黄，共6种；
第三类：用3面旗表示的信号有红黄蓝、红蓝黄、黄红蓝、黄蓝红、蓝红黄、蓝黄红，共6种.
由分类加法计数原理，所求的信号共有3＋6＋6=15(种).
[反思感悟]　判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑：
(1)“取”，检验取出的m个元素是否重复；
(2)“排”，检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是，交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序.
知识点二　排列数公式　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 排列数定义及公式.
排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有　不同排列　的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
排列数表示法
排列数公式 乘积式 =　n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)　
阶乘式 =
条件 n，m∈N*，m≤n
2. 全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列. 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用　n!　表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成 =n!　.
规定：0!=1.
点拨：排列数的两个公式：
(1)第一个公式积式是若干数的连乘积，其特点是第一个因数是n(下标)，后面的每一个因数都比它前面的因数少1，最后一个因数为n－m＋1(下标－上标＋1)，共有m(上标)个连续自然数相乘.
(2)排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的阶乘式. 它是一个分式的形式，分子是下标n的阶乘，分母是下标减上标即(n－m)的阶乘.
公式中的n，m应该满足n，m∈N*，m≤n，当m＞n时不成立.
例2　(1)用排列数表示：(55－n)(56－n)·…·(69－n)(n∈N*，且n＜55).
(2)计算：.
解：(1)∵55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1=15(个)数，
∴(55－n)(56－n)…(69－n)=.
(2)
=
==1.
[反思感悟]　排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算.
知识点三　排列数公式的简单应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(1)从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，共有多少种不同的选法？
解：分两步：先排文娱委员有3种选法，
再从剩余的4人中选两人安排学习委员、体育委员有=12(种)方法.
由分步乘法计数原理知，共有3×12=36(种)选法.
(2)将4名医生与4名护士分配到四个不同的单位，每个单位分配一名医生与一名护士，则共有多少种不同的分配方案？
解：依题意，完成这件事可以分两步：
第一步：把4名医生分配到四个不同的单位，等价于从4个不同元素中取出4个元素的排列问题，有种方法；
第二步：把4名护士分配到四个不同的单位，也有种方法.
根据分步乘法计数原理，共有=576(种)不同的分配方案.
[反思感悟]　1. 对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法.
2. 对于情况较多的情形，则先进行分类，再利用排列数计算，最后借助加法计数原理求解.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　C　)
A. 甲乙、乙甲、甲丙、丙甲
B. 甲乙丙、乙丙甲
C. 甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙
D. 甲乙、甲丙、乙丙
2. 计算：=(　D　)
A. 12 B. 24
C. 30 D. 36
3. (多选)下列问题中，是排列问题的有(　AD　)
A. 从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组
B. 从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动
C. 从a，b，c，d中选出3个字母
D. 从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数
4. 3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法共有　24　种. (共20张PPT)
二、排列与组合
导学1　排列与排列数
高中数学 选择性必修 第三册
计数原理
第六章
知识点一
1. 排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照____________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2. 根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：(1)两个排列的元素_____________； (2)元素的排列________也相同.
点拨：排列中“一定的顺序”是关键，两个排列尽管组成元素完全相同，若排列顺序不同，一定是不同的排列.
知识点一　排列的概念　
一定的顺序
完全相同
顺序
例1　(1)(多选)下列问题中，属于排列问题的有(　 　)
A. 统计北京、上海、天津三个民航站之间直达航线的飞机票价格(假设来回票价相同)
B. 选2个小组分别去植树和种菜
C. 选10个人组成一个学习小组
D. 选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员
【解析】三个民航站之间直达航线的飞机票价格不存在顺序问题，A错误；植树和种菜是不同的，存在顺序问题，B正确；C中不存在顺序问题，C错误；每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，D正确.
BD
(2)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？请写出所有结果.
解：第一类：用1面旗表示的信号有红、黄、蓝，共3种；
第二类：用2面旗表示的信号有红黄、黄红、红蓝、蓝红、黄蓝、蓝黄，共6种；
第三类：用3面旗表示的信号有红黄蓝、红蓝黄、黄红蓝、黄蓝红、蓝红黄、蓝黄红，共6种.
由分类加法计数原理，所求的信号共有3＋6＋6=15(种).
[反思感悟]　判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑：
(1)“取”，检验取出的m个元素是否重复；
(2)“排”，检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是，交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序.
知识点二
1. 排列数定义及公式.
知识点二　排列数公式　
排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有__________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
排列数表示法
排列数公式 乘积式 =__________________________________
阶乘式 =_________
条件 n，m∈N*，m≤n
不同排列
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)

2. 全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列. 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用____表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成____.
规定：0!=1.
点拨：排列数的两个公式：
(1)第一个公式积式是若干数的连乘积，其特点是第一个因数是n(下标)，后面的每一个因数都比它前面的因数少1，最后一个因数为n－m＋1(下标－上标＋1)，共有m(上标)个连续自然数相乘.
(2)排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的阶乘式. 它是一个分式的形式，分子是下标n的阶乘，分母是下标减上标即(n－m)的阶乘.
公式中的n，m应该满足n，m∈N*，m≤n，当m＞n时不成立.
n!
=n!
例2　(1)用排列数表示：(55－n)(56－n)·…·(69－n)(n∈N*，且n＜55).
(2)计算：.
解：(1)∵55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1=15(个)数，
∴(55－n)(56－n)…(69－n)=.
(2)
=
==1.
[反思感悟]　排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算.
知识点三
知识点三　排列数公式的简单应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(1)从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，共有多少种不同的选法？
解：分两步：先排文娱委员有3种选法，
再从剩余的4人中选两人安排学习委员、体育委员有=12(种)方法.
由分步乘法计数原理知，共有3×12=36(种)选法.
(2)将4名医生与4名护士分配到四个不同的单位，每个单位分配一名医生与一名护士，则共有多少种不同的分配方案？
解：依题意，完成这件事可以分两步：
第一步：把4名医生分配到四个不同的单位，等价于从4个不同元素中取出4个元素的排列问题，有种方法；
第二步：把4名护士分配到四个不同的单位，也有种方法.
根据分步乘法计数原理，共有=576(种)不同的分配方案.
[反思感悟]　1. 对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法.
2. 对于情况较多的情形，则先进行分类，再利用排列数计算，最后借助加法计数原理求解.
随堂巩固
1. 从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　　)
A. 甲乙、乙甲、甲丙、丙甲
B. 甲乙丙、乙丙甲
C. 甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙
D. 甲乙、甲丙、乙丙
C
2. 计算：=(　　)
A. 12 B. 24
C. 30 D. 36
D
3. (多选)下列问题中，是排列问题的有(　 　)
A. 从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组
B. 从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动
C. 从a，b，c，d中选出3个字母
D. 从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数
AD
4. 3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法共有______种.
246.2 导学1　排列与排列数
知识点一　排列的概念　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照　 　排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2. 根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：(1)两个排列的元素　 　；(2)元素的排列　 　也相同.
点拨：排列中“一定的顺序”是关键，两个排列尽管组成元素完全相同，若排列顺序不同，一定是不同的排列.
例1　(1)(多选)下列问题中，属于排列问题的有(　 　)
A. 统计北京、上海、天津三个民航站之间直达航线的飞机票价格(假设来回票价相同)
B. 选2个小组分别去植树和种菜
C. 选10个人组成一个学习小组
D. 选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员
(2)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？请写出所有结果.
[反思感悟]　判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑：
(1)“取”，检验取出的m个元素是否重复；
(2)“排”，检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是，交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序.
知识点二　排列数公式　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 排列数定义及公式.
排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有　 　的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
排列数表示法
排列数公式 乘积式 =　 　
阶乘式 =
条件 n，m∈N*，m≤n
2. 全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列. 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用　 　表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成 　.
规定：0!=1.
点拨：排列数的两个公式：
(1)第一个公式积式是若干数的连乘积，其特点是第一个因数是n(下标)，后面的每一个因数都比它前面的因数少1，最后一个因数为n－m＋1(下标－上标＋1)，共有m(上标)个连续自然数相乘.
(2)排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的阶乘式. 它是一个分式的形式，分子是下标n的阶乘，分母是下标减上标即(n－m)的阶乘.
公式中的n，m应该满足n，m∈N*，m≤n，当m＞n时不成立.
例2　(1)用排列数表示：(55－n)(56－n)·…·(69－n)(n∈N*，且n＜55).
(2)计算：.
[反思感悟]　排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算.
知识点三　排列数公式的简单应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(1)从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，共有多少种不同的选法？
(2)将4名医生与4名护士分配到四个不同的单位，每个单位分配一名医生与一名护士，则共有多少种不同的分配方案？
[反思感悟]　1. 对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法.
2. 对于情况较多的情形，则先进行分类，再利用排列数计算，最后借助加法计数原理求解.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　 　)
A. 甲乙、乙甲、甲丙、丙甲
B. 甲乙丙、乙丙甲
C. 甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙
D. 甲乙、甲丙、乙丙
2. 计算：=(　 　)
A. 12 B. 24
C. 30 D. 36
3. (多选)下列问题中，是排列问题的有(　 　)
A. 从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组
B. 从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动
C. 从a，b，c，d中选出3个字母
D. 从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数
4. 3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法共有　 　种.

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