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6.2 导学2　排列的综合问题
知识点一　数列排列问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的六位数？
(1)奇数；
(2)个位数字不是5.
解：(1)方法一(从特殊位置入手)　第一步，排个位，从1，3，5三个数字中选1个，有种排法；
第二步，排十万位，有种排法；
第三步，排其他位，有种排法.
故组成无重复数字的六位奇数共有=288(个).
方法二(从特殊元素入手)　0不在两端有种排法；从1，3，5中任选一个排在个位上，有种排法，
其他数字全排列有种排法.
故组成无重复数字的六位奇数共有=288(个).
(2)方法一　需分两类：第一类，当个位上排0时，有种排法；第二类，当个位上不排0时，有··种排法.故符合题意的六位数有··=504(个).　
方法二(间接法)　6个数字的全排列有个；0在十万位上的排列有个；5在个位上的排列有个；0在十万位上且5在个位上的排列有个.
故符合题意的六位数共有－2=504(个).
[延伸探究1]　若本例中条件不变，能组成多少个被5整除的无重复数字的五位数？
解：个位上的数字必须是0或5.若个位上是0，则有个；若个位上是5，不含0，则有个；
若个位上是5且含0，但0不作首位，则0的位置有种排法，其余各位有种排法，则有个五位数.故共有=216(个)能被5整除的无重复数字的五位数.
[延伸探究2]　若本例中条件不变，能组成的所有无重复数字的六位数按从小到大的顺序排成一个数列，则240 135是第几项？
解：首位数字不能为0.首位数字为1有个数，首位数字为2，万位上为0，1，3中的一个有3个数，
∴240 135的项数是＋3＋1=193，即240 135是数列的第193项.
[反思感悟]　1. 数字排列的本质是“元素”占“位置”问题，有限制条件的排列问题主要表现在某元素不排在某个位置上，或某个位置上不排某个元素.
2. 解决此类问题，关键在于遵循“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位置.若一个位置安排的元素影响另一个位置的元素个数时，应分类讨论.主要解法是直接法与间接法.
知识点二　排队问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　有3名男生、4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数.
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边；
解：元素分析法　甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有种，其余6人全排列，有种.由分步乘法计数原理得=2 160(种).
(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；
解：位置分析法　先排最左边，除去甲外，有种，余下的6个位置全排列有种，但应剔除乙在最右边的排法种数.
则符合条件的排法共有=3 720(种).
(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起；
解：捆绑法　将男生看成一个整体，进行全排列有种排法，把这个整体看成一个元素再与其他4名女生进行全排列有种排法，共有=720(种).
(4)全体排成一行，男、女各不相邻；
解：插空法　先排好男生，然后将女生插入排男生时产生的四个空位，共有=144(种).
(5)排成前后两排，前排3人，后排4人.
解：分排问题直接法　由已知，7人排在7个位置，与无任何限制的排列相同，有=5 040(种).
[反思感悟]　解决排队问题的方法：
(1)位置分析法：以位置为主，特殊(受限)的位置优先考虑.
(2)元素分析法：以元素为主，先满足特殊(受限)元素的要求，再处理其他元素.
(3)捆绑法：相邻问题可以采用捆绑的方法求解，将要求相邻的元素捆绑在一起作为一个整体，和余下的元素按照要求进行排列，最后解绑.
(4)插空法：不相邻问题可以采用插空的方法求解，先将不相邻的元素拿出，余下的元素按要求排列，找出满足要求的空，再将不相邻的元素插入.
知识点三　定序问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则共有多少种不同的排列方法？
解：方法一(整体法)　5个元素无约束条件的全排列有种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有×2=40(种).
方法二(插空法)　若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入形成的4个空中，分两类：
第一类，若字母D，E相邻，则有·种排法；
第二类，若字母D，E不相邻，则有种排法.
∴有·=20(种)不同的排列方法.
同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法.
因此满足条件的排列有20＋20=40(种).
[延伸探究]　将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，A，B的顺序和D，E的顺序已分别确定，则共有多少种不同的排列方法？
解：将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，共有种不同的方法，
将A，B排成一列，共有种不同方法，将D，E排成一列，共有种不同的方法，
设满足条件的方法有x种，则有x，
∴x==30，即有30种不同的排列方法.
[反思感悟]　在一些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻).解决这类问题的基本方法有两个：
(1)整体法，即若有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m＋n)个元素排成一列，有种不同的排法.然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法.
(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数为(　B　)
A. 20 B. 16
C. 10 D. 6
2. 五声音阶(中国传统音乐的基础音阶)是按五度相生的顺序排列的，从宫音开始到羽音，依次为宫、商、角、徵、羽.若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两个音节不相邻，则可排成不同的音序种数为 (　C　)
A. 12 B. 48 C. 72 D. 120
3. 用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则符合条件的七位数共有　144　个.
4. 用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则共有　210　个七位数符合条件. 6.2 导学2　排列的综合问题
知识点一　数列排列问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的六位数？
(1)奇数；
(2)个位数字不是5.
[延伸探究1]　若本例中条件不变，能组成多少个被5整除的无重复数字的五位数？
[延伸探究2]　若本例中条件不变，能组成的所有无重复数字的六位数按从小到大的顺序排成一个数列，则240 135是第几项？
[反思感悟]　1. 数字排列的本质是“元素”占“位置”问题，有限制条件的排列问题主要表现在某元素不排在某个位置上，或某个位置上不排某个元素.
2. 解决此类问题，关键在于遵循“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位置.若一个位置安排的元素影响另一个位置的元素个数时，应分类讨论.主要解法是直接法与间接法.
知识点二　排队问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　有3名男生、4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数.
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边；
(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；
(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起；
(4)全体排成一行，男、女各不相邻；
(5)排成前后两排，前排3人，后排4人.
[反思感悟]　解决排队问题的方法：
(1)位置分析法：以位置为主，特殊(受限)的位置优先考虑.
(2)元素分析法：以元素为主，先满足特殊(受限)元素的要求，再处理其他元素.
(3)捆绑法：相邻问题可以采用捆绑的方法求解，将要求相邻的元素捆绑在一起作为一个整体，和余下的元素按照要求进行排列，最后解绑.
(4)插空法：不相邻问题可以采用插空的方法求解，先将不相邻的元素拿出，余下的元素按要求排列，找出满足要求的空，再将不相邻的元素插入.
知识点三　定序问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则共有多少种不同的排列方法？
[延伸探究]　将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，A，B的顺序和D，E的顺序已分别确定，则共有多少种不同的排列方法？
[反思感悟]　在一些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻).解决这类问题的基本方法有两个：
(1)整体法，即若有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m＋n)个元素排成一列，有种不同的排法.然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法.
(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数为(　 　)
A. 20 B. 16
C. 10 D. 6
2. 五声音阶(中国传统音乐的基础音阶)是按五度相生的顺序排列的，从宫音开始到羽音，依次为宫、商、角、徵、羽.若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两个音节不相邻，则可排成不同的音序种数为 (　 　)
A. 12 B. 48 C. 72 D. 120
3. 用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则符合条件的七位数共有　 　个.
4. 用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则共有　 　个七位数符合条件. (共18张PPT)
二、排列与组合
导学2　排列的综合问题
高中数学 选择性必修 第三册
计数原理
第六章
知识点一
知识点一　数列排列问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的六位数？
(1)奇数；
(2)个位数字不是5.
解：(1)方法一(从特殊位置入手)　第一步，排个位，从1，3，5三个数字中选1个，有种排法；
第二步，排十万位，有种排法；
第三步，排其他位，有种排法.
故组成无重复数字的六位奇数共有=288(个).
方法二(从特殊元素入手)　0不在两端有种排法；从1，3，5中任选一个排在个位上，有种排法，
其他数字全排列有种排法.
故组成无重复数字的六位奇数共有=288(个).
(2)方法一　需分两类：第一类，当个位上排0时，有种排法；第二类，当个位上不排0时，有··种排法.故符合题意的六位数有··=504(个).　
方法二(间接法)　6个数字的全排列有个；0在十万位上的排列有个；5在个位上的排列有个；0在十万位上且5在个位上的排列有个.
故符合题意的六位数共有－2=504(个).
[延伸探究1]　若本例中条件不变，能组成多少个被5整除的无重复数字的五位数？
解：个位上的数字必须是0或5.若个位上是0，则有个；若个位上是5，不含0，则有个；
若个位上是5且含0，但0不作首位，则0的位置有种排法，其余各位有种排法，则有个五位数.故共有=216(个)能被5整除的无重复数字的五位数.
[延伸探究2]　若本例中条件不变，能组成的所有无重复数字的六位数按从小到大的顺序排成一个数列，则240 135是第几项？
解：首位数字不能为0.首位数字为1有个数，首位数字为2，万位上为0，1，3中的一个有3个数，
∴240 135的项数是＋3＋1=193，即240 135是数列的第193项.
[反思感悟]　1. 数字排列的本质是“元素”占“位置”问题，有限制条件的排列问题主要表现在某元素不排在某个位置上，或某个位置上不排某个元素.
2. 解决此类问题，关键在于遵循“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位置.若一个位置安排的元素影响另一个位置的元素个数时，应分类讨论.主要解法是直接法与间接法.
知识点二
知识点二　排队问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　有3名男生、4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数.
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边；
解：元素分析法　甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有种，其余6人全排列，有种.由分步乘法计数原理得=2 160(种).
(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；
解：位置分析法　先排最左边，除去甲外，有种，余下的6个位置全排列有种，但应剔除乙在最右边的排法种数.
则符合条件的排法共有=3 720(种).
(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起；
解：捆绑法　将男生看成一个整体，进行全排列有种排法，把这个整体看成一个元素再与其他4名女生进行全排列有种排法，共有=720(种).
(4)全体排成一行，男、女各不相邻；
解：插空法　先排好男生，然后将女生插入排男生时产生的四个空位，共有=
144(种).
(5)排成前后两排，前排3人，后排4人.
解：分排问题直接法　由已知，7人排在7个位置，与无任何限制的排列相同，有=
5 040(种).
[反思感悟]　解决排队问题的方法：
(1)位置分析法：以位置为主，特殊(受限)的位置优先考虑.
(2)元素分析法：以元素为主，先满足特殊(受限)元素的要求，再处理其他元素.
(3)捆绑法：相邻问题可以采用捆绑的方法求解，将要求相邻的元素捆绑在一起作为一个整体，和余下的元素按照要求进行排列，最后解绑.
(4)插空法：不相邻问题可以采用插空的方法求解，先将不相邻的元素拿出，余下的元素按要求排列，找出满足要求的空，再将不相邻的元素插入.
知识点三
知识点三　定序问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则共有多少种不同的排列方法？
解：方法一(整体法)　5个元素无约束条件的全排列有种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有×2=40(种).
方法二(插空法)　若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入形成的4个空中，分两类：
第一类，若字母D，E相邻，则有·种排法；
第二类，若字母D，E不相邻，则有种排法.
∴有·=20(种)不同的排列方法.
同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法.
因此满足条件的排列有20＋20=40(种).
[延伸探究]　将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，A，B的顺序和D，E的顺序已分别确定，则共有多少种不同的排列方法？
解：将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，共有种不同的方法，
将A，B排成一列，共有种不同方法，将D，E排成一列，共有种不同的方法，
设满足条件的方法有x种，则有x，
∴x==30，即有30种不同的排列方法.
[反思感悟]　在一些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻).解决这类问题的基本方法有两个：
(1)整体法，即若有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m＋n)个元素排成一列，有种不同的排法.然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法.
(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中.
随堂巩固
1. 要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数为(　　)
A. 20 B. 16
C. 10 D. 6
B
2. 五声音阶(中国传统音乐的基础音阶)是按五度相生的顺序排列的，从宫音开始到羽音，依次为宫、商、角、徵、羽.若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两个音节不相邻，则可排成不同的音序种数为 (　　)
A. 12 B. 48
C. 72 D. 120
C
3. 用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则符合条件的七位数共有________个.
144
4. 用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则共有________个七位数符合条件.
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