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二、排列与组合
导学3　组合与组合数
高中数学 选择性必修 第三册
计数原理
第六章
知识点一
1. 组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m，n∈N*，且m≤n)个元素____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
2. 两个组合只要______相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.
点拨：区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题.排列与组合都是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素.
知识点一　组合的概念　
作为一组
元素
例1　(1)(多选)下列四个问题中，属于组合问题的有(　 　)
A. 从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B. 老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C. 电视节目上，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D. 将3本相同的书分给10人中的3人，每人1本
【解析】A，B与顺序有关，是排列问题，而C，D与顺序无关，是组合问题.
CD
(2)从2，3，4，5四个数中任取2个数作为对数式logab的底数与真数，试写出得到的所有对数；若从四个数中任取2个数相乘，试写出所有的乘积.
解：得到的对数有log23，log24，log25，log32，log34，log35，log42，log43，log45，log52，log53，log54，共12个.所有的乘积有2×3=6，2×4=8，2×5=10，3×4=12，3×5=15，4×5=20，共6个.
[反思感悟]　1. 组合的特点是只选不排，组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素，与顺序无关.
2. 判断是否与元素的顺序有关：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；否则，是组合问题.
知识点二
1. 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的______________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号____表示.
2. 组合数公式：
=____________________________或=_____________ (n，m∈N*，且m≤n).
3. 规定：=1.
4. 性质1：=__________，
性质2：.
知识点二　组合数公式
所有不同组合的个数
例2　(1)计算：·=____.
【解析】原式=－7×6×5=210－210=0.
(2)方程的解是____.
【解析】∵，且，∴，∴x－1=2x＋2，或x－1＋2x＋2=16，
∴x=－3(舍)，或x=5.
(3)证明：.
证明：·
=.
[延伸探究]　求证：.
证明：∵右边=·，
左边=，∴左边=右边，∴原等式成立.
[反思感悟]　 1. 解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件n≥m.求出方程或不等式的解后，要进行检验.
2. 合理运用组合数的两个性质能起到简化运算的作用，需熟练掌握.
知识点三
知识点三　组合的简单应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.
(1)从中选2名去参加会议，共有多少种不同的选法？
(2)从中选出2名男教师或2名女教师参加会议，共有多少种不同的选法？
(3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，共有多少种不同的选法？
解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，
即=45.
(2)可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有种方法；
第2类，选出的2名是女教师有种方法.
根据分类加法计数原理，共有=15＋6=21(种)不同的选法.
(3)从6名男教师中选2名的选法有种，从4名女教师中选2名的选法有种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法=15×6=90(种).
[反思感悟]　解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题.解与两个基本原理的应用有关的问题，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏.
随堂巩固
1. 从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数为(　　)
A. 10 B. 5
C. 4 D. 1
2. 已知，则x的取值为(　　)
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
3. 从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的选法种数为(　　)
A. 28 B. 49
C. 56 D. 85
4. (多选)下列问题中，是组合问题的有(　 　)
A. 从1，2，3，4中选出2个构成的集合个数
B. 5个队进行单循环比赛的比赛场次数
C. 由1，2，3组成无重复数字的两位数
D. 甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等时，车票票价的种数
(假设票价只与距离有关)6.2 导学3　组合与组合数
知识点一　组合的概念　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m，n∈N*，且m≤n)个元素　作为一组　，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
2. 两个组合只要　元素　相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.
点拨：区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题.排列与组合都是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素.
例1　(1)(多选)下列四个问题中，属于组合问题的有(　CD　)
A. 从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B. 老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C. 电视节目上，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D. 将3本相同的书分给10人中的3人，每人1本
【解析】A，B与顺序有关，是排列问题，而C，D与顺序无关，是组合问题.
(2)从2，3，4，5四个数中任取2个数作为对数式logab的底数与真数，试写出得到的所有对数；若从四个数中任取2个数相乘，试写出所有的乘积.
解：得到的对数有log23，log24，log25，log32，log34，log35，log42，log43，log45，log52，log53，log54，共12个.所有的乘积有2×3=6，2×4=8，2×5=10，3×4=12，3×5=15，4×5=20，共6个.
[反思感悟]　1. 组合的特点是只选不排，组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素，与顺序无关.
2. 判断是否与元素的顺序有关：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；否则，是组合问题.
知识点二　组合数公式　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的　所有不同组合的个数　，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 　表示.
2. 组合数公式：
= 　或= 　(n，m∈N*，且m≤n).
3. 规定：=1.
4. 性质1：= 　，
性质2：.
例2　(1)计算：·=　0　.
【解析】原式=－7×6×5=210－210=0.
(2)方程的解是　5　.
【解析】∵，且，∴，∴x－1=2x＋2，或x－1＋2x＋2=16，
∴x=－3(舍)，或x=5.
(3)证明：.
证明：·=
.
[延伸探究]　求证：.
证明：∵右边=·，
左边=，∴左边=右边，∴原等式成立.
[反思感悟]　 1. 解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件n≥m.求出方程或不等式的解后，要进行检验.
2. 合理运用组合数的两个性质能起到简化运算的作用，需熟练掌握.
知识点三　组合的简单应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.
(1)从中选2名去参加会议，共有多少种不同的选法？
(2)从中选出2名男教师或2名女教师参加会议，共有多少种不同的选法？
(3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，共有多少种不同的选法？
解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，
即=45.
(2)可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有种方法；
第2类，选出的2名是女教师有种方法.
根据分类加法计数原理，共有=15＋6=21(种)不同的选法.
(3)从6名男教师中选2名的选法有种，从4名女教师中选2名的选法有种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法=15×6=90(种).
[反思感悟]　解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题.解与两个基本原理的应用有关的问题，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数为(　B　)
A. 10 B. 5
C. 4 D. 1
2. 已知，则x的取值为(　D　)
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
3. 从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的选法种数为(　B　)
A. 28 B. 49
C. 56 D. 85
4. (多选)下列问题中，是组合问题的有(　ABD　)
A. 从1，2，3，4中选出2个构成的集合个数
B. 5个队进行单循环比赛的比赛场次数
C. 由1，2，3组成无重复数字的两位数
D. 甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等时，车票票价的种数(假设票价只与距离有关)6.2 导学3　组合与组合数
知识点一　组合的概念　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m，n∈N*，且m≤n)个元素　 　，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
2. 两个组合只要　 　相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.
点拨：区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题.排列与组合都是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素.
例1　(1)(多选)下列四个问题中，属于组合问题的有(　 　)
A. 从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B. 老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C. 电视节目上，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D. 将3本相同的书分给10人中的3人，每人1本
(2)从2，3，4，5四个数中任取2个数作为对数式logab的底数与真数，试写出得到的所有对数；若从四个数中任取2个数相乘，试写出所有的乘积.
[反思感悟]　1. 组合的特点是只选不排，组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素，与顺序无关.
2. 判断是否与元素的顺序有关：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；否则，是组合问题.
知识点二　组合数公式　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的　 　，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 　表示.
2. 组合数公式：
= 　或= 　(n，m∈N*，且m≤n).
3. 规定：=1.
4. 性质1：= 　，
性质2：.
例2　(1)计算：·=　 　.
(2)方程的解是　 　.
(3)证明：.
[延伸探究]　求证：.
[反思感悟]　 1. 解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件n≥m.求出方程或不等式的解后，要进行检验.
2. 合理运用组合数的两个性质能起到简化运算的作用，需熟练掌握.
知识点三　组合的简单应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.
(1)从中选2名去参加会议，共有多少种不同的选法？
(2)从中选出2名男教师或2名女教师参加会议，共有多少种不同的选法？
(3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，共有多少种不同的选法？
[反思感悟]　解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题.解与两个基本原理的应用有关的问题，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数为(　 　)
A. 10 B. 5
C. 4 D. 1
2. 已知，则x的取值为(　 　)
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
3. 从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的选法种数为(　 　)
A. 28 B. 49
C. 56 D. 85
4. (多选)下列问题中，是组合问题的有(　 　)
A. 从1，2，3，4中选出2个构成的集合个数
B. 5个队进行单循环比赛的比赛场次数
C. 由1，2，3组成无重复数字的两位数
D. 甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等时，车票票价的种数(假设票价只与距离有关)

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