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二、排列与组合
导学4　排列、组合的综合应用
高中数学 选择性必修 第三册
计数原理
第六章
知识点一
知识点一　有限制条件的组合问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，现要从中选出3名同学参加活动.
(1)其中女生甲必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中女生甲不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？
解：(1)从余下的34名学生中选取2名，有=561(种)，∴不同的取法有561种.
(2)从34名可选学生中选取3名，有(种).或者=5 984(种)，∴不同的取法有5 984种.
(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有=2 100(种)，∴不同的取法有2 100种.
(4)选取2名女生有种，选取3名女生有种，共有选取方式N==2 100＋455=2 555(种)，
∴不同的取法有2 555种.
(5)选取3名的总数有种，因此选取方式共有N==6 545－455=6 090(种)，∴不同的取法有6 090种.
[反思感悟]　两类有限制条件的抽(选)取问题：
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数.
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种思路：一是直接分类法，分类要“不重不漏”；二是间接法，找准对立面，确保“不重不漏”.
知识点二
知识点二　分组、分配问题　　　　　　　　　　　　　　　　
角度1　不同元素分组、分配问题
例2　将6本不同的书分为3组，在下列条件下，各有多少种不同的分配方法？
(1)每组2本(平均分组)；
(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；
(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组).
解：(1)每组2本，均分为3组的分组种数为=15.
(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为=20×3=60.
(3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为=15.
[反思感悟]　“分组”与“分配”问题的解法：
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n!；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n!；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.
角度2　相同元素分配问题
例3　将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列放法的种数.
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子.
解：(1)先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有=10(种)放法.　
(2)恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，由分步乘法计数原理得，共有·=40(种)放法.　
[反思感悟]　相同元素分配问题的处理策略：
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此方法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有种方法.可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块隔板.
知识点三
知识点三　排列、组合问题的综合　　　　　　　　　　　　　　　　
例4　已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止.
(1)若恰在第5次测试才测试到第一件次品，第10次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法种数是多少？
解：先排前4次测试，只能取正品，有种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有·(种)测法，再排余下4件的测试位
置，有种测法，∴共有不同的测试方法··=103 680(种).
(2)若恰在第5次测试后，找出了全部次品，则这样的不同测试方法种数是多少？
解：第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次中有一件正品出现，∴共有不同的测试方法·(·)=576(种).
[反思感悟]　解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.
随堂巩固
1. 某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法种数是(　　)
B
C. D.
D
2. 某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求分别安排到该公司的两个部门，且每个部门安排两名，则不同的安排方案种数为(　　)
A. 40 B. 60
C. 120 D. 240
B
3. 某大厦有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼，其中恰有2人乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有______种.
36
4. 某团队有登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数为______.
606.2 导学4　排列、组合的综合应用
知识点一　有限制条件的组合问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，现要从中选出3名同学参加活动.
(1)其中女生甲必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中女生甲不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？
解：(1)从余下的34名学生中选取2名，有=561(种)，∴不同的取法有561种.
(2)从34名可选学生中选取3名，有(种).或者=5 984(种)，∴不同的取法有5 984种.
(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有=2 100(种)，∴不同的取法有2 100种.
(4)选取2名女生有种，选取3名女生有种，共有选取方式N==2 100＋455=2 555(种)，
∴不同的取法有2 555种.
(5)选取3名的总数有种，因此选取方式共有N==6 545－455=6 090(种)，∴不同的取法有6 090种.
[反思感悟]　两类有限制条件的抽(选)取问题：
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数.
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种思路：一是直接分类法，分类要“不重不漏”；二是间接法，找准对立面，确保“不重不漏”.
知识点二　分组、分配问题　　　　　　　　　　　　　　　　
角度1　不同元素分组、分配问题
例2　将6本不同的书分为3组，在下列条件下，各有多少种不同的分配方法？
(1)每组2本(平均分组)；
(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；
(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组).
解：(1)每组2本，均分为3组的分组种数为=15.
(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为=20×3=60.
(3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为=15.
[反思感悟]　“分组”与“分配”问题的解法：
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n!；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n!；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.
角度2　相同元素分配问题
例3　将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列放法的种数.
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子.
解：(1)先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有=10(种)放法.　
(2)恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，由分步乘法计数原理得，共有·=40(种)放法.　
[反思感悟]　相同元素分配问题的处理策略：
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此方法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有种方法.可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块隔板.
知识点三　排列、组合问题的综合　　　　　　　　　　　　　　　　
例4　已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止.
(1)若恰在第5次测试才测试到第一件次品，第10次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法种数是多少？
解：先排前4次测试，只能取正品，有种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有·(种)测法，再排余下4件的测试位
置，有种测法，∴共有不同的测试方法··=103 680(种).
(2)若恰在第5次测试后，找出了全部次品，则这样的不同测试方法种数是多少？
解：第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次中有一件正品出现，∴共有不同的测试方法·(·)=576(种).
[反思感悟]　解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法种数是(　D　)
A. B.
C. D.
2. 某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求分别安排到该公司的两个部门，且每个部门安排两名，则不同的安排方案种数为(　B　)
A. 40 B. 60
C. 120 D. 240
3. 某大厦有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼，其中恰有2人乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有　36　种.
4. 某团队有登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数为　60　. 6.2 导学4　排列、组合的综合应用
知识点一　有限制条件的组合问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，现要从中选出3名同学参加活动.
(1)其中女生甲必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中女生甲不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？
[反思感悟]　两类有限制条件的抽(选)取问题：
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数.
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种思路：一是直接分类法，分类要“不重不漏”；二是间接法，找准对立面，确保“不重不漏”.
知识点二　分组、分配问题　　　　　　　　　　　　　　　　
角度1　不同元素分组、分配问题
例2　将6本不同的书分为3组，在下列条件下，各有多少种不同的分配方法？
(1)每组2本(平均分组)；
(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；
(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组).
[反思感悟]　“分组”与“分配”问题的解法：
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n!；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n!；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.
角度2　相同元素分配问题
例3　将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列放法的种数.
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子.
[反思感悟]　相同元素分配问题的处理策略：
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此方法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有种方法.可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块隔板.
知识点三　排列、组合问题的综合　　　　　　　　　　　　　　　　
例4　已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止.
(1)若恰在第5次测试才测试到第一件次品，第10次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法种数是多少？
(2)若恰在第5次测试后，找出了全部次品，则这样的不同测试方法种数是多少？
[反思感悟]　解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法种数是(　 　)
A. B.
C. D.
2. 某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求分别安排到该公司的两个部门，且每个部门安排两名，则不同的安排方案种数为(　 　)
A. 40 B. 60
C. 120 D. 240
3. 某大厦有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼，其中恰有2人乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有　 　种.
4. 某团队有登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数为　 　.

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