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三、二项式定理
导学1　二项式定理
高中数学 选择性必修 第三册
计数原理
第六章
知识点一
二项式定理：
(a＋b)n=__________________________________________________________________.
(1)等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有_______项.
(2)各项的系数____(k=0，1，2，…，n)叫做二项式系数.
(3)通项：(a＋b)n展开式的第______项，记作Tk＋1=______________.
(4)特例：(1＋x)n=x＋x2＋…＋xk＋…＋xn.
知识点一　二项式定理
an＋an－1b＋an－2b2＋…＋an－kbk＋…＋bn(n∈N*)
n＋1
an－kbk
例1　(1)求的展开式.
解：方法一　(3)4＋(3)3(3)2(3)=81x2＋108x＋54＋.
方法二　(1＋3x)4=[1＋(3x)＋(3x)2＋(3x)3＋(3x)4]=(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)=＋54＋108x＋81x2.
(2)化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.
解：原式=(2x＋1)5－(2x＋1)4＋(2x＋1)3－(2x＋1)2＋(2x＋1)－(2x＋1)0=[(2x＋1)－1]5=(2x)5=32x5.
[延伸探究]　若将例1(2)中的式子变为“1－2＋4－8＋…＋(－2)n”，求化简结果.
解：逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式=(1－2)n=
(－1)n.
[反思感悟]　1. 求形式简单的二项展开式时，要注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式.
2. 逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.
知识点二
知识点二　二项式系数与项的系数　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　在二项式的展开式中，求：
(1)第6项的二项式系数和第6项的系数；
解：由已知得，二项展开式的通项为Tk＋1==(－1)kx9－2k，
∴T6=(－1)5x9－2×5=－126x－1.
∴第6项的二项式系数为=126，第6项的系数为－126.
(2)x3的系数.
解：设展开式中的第k＋1项为含x3的项，则由(1)得9－2k=3，即k=3，
∴展开式中第4项含x3，其系数为(－1)3·=－84.
[反思感悟]　正确区分二项式系数与项的系数：
二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，后者与二项式的指数、项数及a，b的值均有关.
知识点三
知识点三　二项展开式的特定项　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　在二项式的展开式中，求：
(1)第4项；(2)常数项；(3)有理项；(4)中间项.
解：的展开式的通项为Tk＋1=x12－k·=(－1)k.
(1)令k=3，则T4=(－1)3=－220x8.
(2)令12－k=0，解得k=9，∴常数项为(－1)9=－220.
(3)当k=0，3，6，9，12时，Tk＋1是有理项，分别为T1=x12，T4=－x8=－220x8，T7=x4=924x4，
T10=－=－220，T13=x－4=.
(4)∵n=12，∴展开项共有13项，∴中间项为第7项.
令k=6，得T7=(－1)6=924x4.
[反思感悟]　1. 求二项展开式的特定项的常见题型：
(1)求第k项，Tk=an－k＋1bk－1(k∈N*，k≤n＋1).
(2)求含xk的项(或xpyq的项).
(3)求常数项.
(4)求有理项.
2. 求二项展开式的特定项的解题思路：
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即零次项).
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其等于整数，再根据数的整除性来求解.
随堂巩固
1. 二项式(a＋b的展开式的项数为(　　)
A. 2n B. 2n＋1
C. 2n－1 D. 2(n＋1)
B
2. 在的展开式中，x3的系数为(　　)
A. 6 B. －6
C. 12 D. －12
A
3. (x－y)6的展开式的第3项为 (　　)
A. x4y2 B. x2y4
C. x3y3 D. －x3y3
A
4. 的展开式的常数项为(　　)
A. 60 B. －60
C. 250 D. －250
A6.3 导学1　二项式定理
知识点一　二项式定理　　　　　　　　　　　　　　　　
二项式定理：
(a＋b)n= an＋an－1b＋an－2b2＋…＋an－kbk＋…＋bn(n∈N*)　.
(1)等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有　n＋1　项.
(2)各项的系数 　(k=0，1，2，…，n)叫做二项式系数.
(3)通项：(a＋b)n展开式的第　k＋1　项，记作Tk＋1= an－kbk　.
(4)特例：(1＋x)n=x＋x2＋…＋xk＋…＋xn.
例1　(1)求的展开式.
解：方法一　(3)4＋(3)3(3)2(3)=81x2＋108x＋54＋.
方法二　(1＋3x)4=[1＋(3x)＋(3x)2＋(3x)3＋(3x)4]=(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)=＋54＋108x＋81x2.
(2)化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.
解：原式=(2x＋1)5－(2x＋1)4＋(2x＋1)3－(2x＋1)2＋(2x＋1)－(2x＋1)0=[(2x＋1)－1]5=(2x)5=32x5.
[延伸探究]　若将例1(2)中的式子变为“1－2＋4－8＋…＋(－2)n”，求化简结果.
解：逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式=(1－2)n=(－1)n.
[反思感悟]　1. 求形式简单的二项展开式时，要注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式.
2. 逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.
知识点二　二项式系数与项的系数　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　在二项式的展开式中，求：
(1)第6项的二项式系数和第6项的系数；
解：由已知得，二项展开式的通项为Tk＋1==(－1)kx9－2k，
∴T6=(－1)5x9－2×5=－126x－1.
∴第6项的二项式系数为=126，第6项的系数为－126.
(2)x3的系数.
解：设展开式中的第k＋1项为含x3的项，则由(1)得9－2k=3，即k=3，
∴展开式中第4项含x3，其系数为(－1)3·=－84.
[反思感悟]　正确区分二项式系数与项的系数：
二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，后者与二项式的指数、项数及a，b的值均有关.
知识点三　二项展开式的特定项　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　在二项式的展开式中，求：
(1)第4项；
(2)常数项；
(3)有理项；
(4)中间项.
解：的展开式的通项为Tk＋1=x12－k·=(－1)k.
(1)令k=3，则T4=(－1)3=－220x8.
(2)令12－k=0，解得k=9，∴常数项为(－1)9=－220.
(3)当k=0，3，6，9，12时，Tk＋1是有理项，分别为T1=x12，T4=－x8=－220x8，T7=x4=924x4，
T10=－=－220，T13=x－4=.
(4)∵n=12，∴展开项共有13项，∴中间项为第7项.
令k=6，得T7=(－1)6=924x4.
[反思感悟]　1. 求二项展开式的特定项的常见题型：
(1)求第k项，Tk=an－k＋1bk－1(k∈N*，k≤n＋1).
(2)求含xk的项(或xpyq的项).
(3)求常数项.
(4)求有理项.
2. 求二项展开式的特定项的解题思路：
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即零次项).
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其等于整数，再根据数的整除性来求解.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 二项式(a＋b的展开式的项数为(　B　)
A. 2n B. 2n＋1
C. 2n－1 D. 2(n＋1)
2. 在的展开式中，x3的系数为(　A　)
A. 6 B. －6
C. 12 D. －12
3. (x－y)6的展开式的第3项为 (　A　)
A. x4y2 B. x2y4
C. x3y3 D. －x3y3
4. 的展开式的常数项为(　A　)
A. 60 B. －60
C. 250 D. －2506.3 导学1　二项式定理
知识点一　二项式定理　　　　　　　　　　　　　　　　
二项式定理：
(a＋b)n= .
(1)等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有　 　项.
(2)各项的系数 　(k=0，1，2，…，n)叫做二项式系数.
(3)通项：(a＋b)n展开式的第　 　项，记作Tk＋1= 　.
(4)特例：(1＋x)n=x＋x2＋…＋xk＋…＋xn.
例1　(1)求的展开式.
(2)化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.
[延伸探究]　若将例1(2)中的式子变为“1－2＋4－8＋…＋(－2)n”，求化简结果.
[反思感悟]　1. 求形式简单的二项展开式时，要注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式.
2. 逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.
知识点二　二项式系数与项的系数　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　在二项式的展开式中，求：
(1)第6项的二项式系数和第6项的系数；
(2)x3的系数.
[反思感悟]　正确区分二项式系数与项的系数：
二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，后者与二项式的指数、项数及a，b的值均有关.
知识点三　二项展开式的特定项　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　在二项式的展开式中，求：
(1)第4项；
(2)常数项；
(3)有理项；
(4)中间项.
[反思感悟]　1. 求二项展开式的特定项的常见题型：
(1)求第k项，Tk=an－k＋1bk－1(k∈N*，k≤n＋1).
(2)求含xk的项(或xpyq的项).
(3)求常数项.
(4)求有理项.
2. 求二项展开式的特定项的解题思路：
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即零次项).
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其等于整数，再根据数的整除性来求解.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 二项式(a＋b的展开式的项数为(　 　)
A. 2n B. 2n＋1
C. 2n－1 D. 2(n＋1)
2. 在的展开式中，x3的系数为(　 　)
A. 6 B. －6
C. 12 D. －12
3. (x－y)6的展开式的第3项为 (　 　)
A. x4y2 B. x2y4
C. x3y3 D. －x3y3
4. 的展开式的常数项为(　 　)
A. 60 B. －60
C. 250 D. －250

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