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三、二项式定理
导学2　二项式系数的性质
高中数学 选择性必修 第三册
计数原理
第六章
知识点一
1. 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数______，即.
2. 增减性与最大值：
(1)若n为奇数，当k≤时，_____，此时递增，当k≥时，____，此时递减；若n为偶数，当k≤时，___，此时递增，当k≥＋1时，___，此时递减.
(2)当n是偶数时，中间的一项_____取得最大值；当n是奇数时，中间的两项_____与______相等，且同时取得最大值.
知识点一　二项式系数的对称性、增减性与最大值　
相等
＜
＞
＜
＞

例1　在的展开式中，
(1)求二项式系数最大的项.
(2)系数的绝对值最大的项是第几项？
则即整理得
∴r=5，或r=6.
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.
解：Tr＋1=·()8－r·=(－1)r··2r·.
(1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，故T5=·24·=1 120x－6.
(2)设第r＋1项系数的绝对值最大，
[延伸探究1]　在本例条件下，求系数最大的项与系数最小的项.
解：由本例(2)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正.故系数最大的项为T7=·26·x－11=1 792x－11.系数最小的项为
T6=(－1)5·25=－1 792.
[延伸探究2]　在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求展开式中的常数项.
解：由题意知n=8，通项为Tk＋1=(－1)k···，令8－k=0，得k=6，故常数项为第7项，且T7=(－1)6··=7.
[反思感悟]　 1. 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论.
(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.
(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
2. 展开式中系数最大的项的求法.
求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.一般采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，运用解出k，即得系数最大的项.
知识点二
1. ＋…＋=____.
2. ＋…=＋…=_______.
知识点二　二项式系数的和
2n
2n－1
例2　(1)的展开式中所有二项式系数的和是________；展开式中所有偶数项的二项式系数的和是________.
【解析】的展开式中所有二项式系数的和是28=256，展开式中所有偶数项的二项式系数和是27=128.
(2)已知(x－my)n的展开式中二项式系数之和为64，x3y3的系数为－160，则实数m=____.
【解析】由题意得，2n=64，解得n=6，而(x－my)6的通项公式为Tk＋1=x6－k(－my)k，0≤k≤6，k∈N，
∴x3y3的系数为(－m)3=－160，解得m=2.
256
128
2
[反思感悟]　二项式系数的和为＋…＋=2n，其中奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等，都等于2n－1.
知识点三
知识点三　二项展开式的各项系数的和　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　设(1－2x)2 025=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025(x∈R).
(1)求a0的值；
(2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 025的值.
解：(1)令x=0，得(1－0)2 025=a0，∴a0=1.
(2)令x=1，得(1－2)2 025=a0＋a1＋a2＋…＋a2 025，
∴a0＋a1＋a2＋…＋a2 025=－1，
∴a1＋a2＋…＋a2 025=－2.
[延伸探究1]　若本例条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 025|.
解：∵(1－2x)2 025的展开式中偶数项的系数为负值，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 025|=a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025.
令x=－1，得32 025=a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025，
故|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 025|=32 025.
[延伸探究2]　若本例条件不变，求a1＋a3＋…＋a2 025的值.
解：分别令x=－1，x=1，
得
由②－①，得－1－32 025=2(a1＋a3＋…＋a2 025)，
∴a1＋a3＋…＋a2 025=.
[反思感悟]　解决各项系数的和的问题的思维流程：
随堂巩固
1. (2025·四川内江高二期末)已知(x＋1)4=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4的值为(　　)
A. 8 B. 12
C. 16 D. 32
C
2. 在(1＋x)n(n∈N*)的展开式中，若只有x5的系数最大，则n的值为(　　)
A. 8 B. 9
C. 10 D. 11
C
3. 在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是 (　　)
A. 第15项 B. 第16项
C. 第17项 D. 第18项
B
4. 已知，设(3x－4)n=a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n，则a1＋a2＋…＋an=____________.
1 0236.3 导学2　二项式系数的性质
知识点一　二项式系数的对称性、增减性与最大值　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数　 　，即.
2. 增减性与最大值：
(1)若n为奇数，当k≤时，　 ，此时递增，当k≥时，　 ，此时递减；若n为偶数，当k≤时，　 ，此时递增，当k≥＋1时，　 ，此时递减.
(2)当n是偶数时，中间的一项 　取得最大值；当n是奇数时，中间的两项 　与 　相等，且同时取得最大值.
例1　在的展开式中，
(1)求二项式系数最大的项.
(2)系数的绝对值最大的项是第几项？
[延伸探究1]　在本例条件下，求系数最大的项与系数最小的项.
[延伸探究2]　在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求展开式中的常数项.
[反思感悟]　 1. 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论.
(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.
(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
2. 展开式中系数最大的项的求法.
求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.一般采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，运用解出k，即得系数最大的项.
知识点二　二项式系数的和　　　　　　　　　　　　　　　　
1. ＋…＋=　 　.
2. ＋…=＋…=　 　.
例2　(1)的展开式中所有二项式系数的和是　 　；展开式中所有偶数项的二项式系数的和是　 　.
(2)已知(x－my)n的展开式中二项式系数之和为64，x3y3的系数为－160，则实数m=　 　.
[反思感悟]　二项式系数的和为＋…＋=2n，其中奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等，都等于2n－1.
知识点三　二项展开式的各项系数的和　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　设(1－2x)2 025=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025(x∈R).
(1)求a0的值；
(2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 025的值.
[延伸探究1]　若本例条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 025|.
[延伸探究2]　若本例条件不变，求a1＋a3＋…＋a2 025的值.
[反思感悟]　解决各项系数的和的问题的思维流程：
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. (2025·四川内江高二期末)已知(x＋1)4=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4的值为(　 　)
A. 8 B. 12
C. 16 D. 32
2. 在(1＋x)n(n∈N*)的展开式中，若只有x5的系数最大，则n的值为(　 　)
A. 8 B. 9
C. 10 D. 11
3. 在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是 (　 　)
A. 第15项 B. 第16项
C. 第17项 D. 第18项
4. 已知，设(3x－4)n=a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n，则a1＋a2＋…＋an=　 　. 6.3 导学2　二项式系数的性质
知识点一　二项式系数的对称性、增减性与最大值　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数　相等　，即.
2. 增减性与最大值：
(1)若n为奇数，当k≤时，　＜ ，此时递增，当k≥时，　＞ ，此时递减；若n为偶数，当k≤时，　＜ ，此时递增，当k≥＋1时，　＞ ，此时递减.
(2)当n是偶数时，中间的一项 　取得最大值；当n是奇数时，中间的两项 　与 　相等，且同时取得最大值.
例1　在的展开式中，
(1)求二项式系数最大的项.
(2)系数的绝对值最大的项是第几项？
解：Tr＋1=·()8－r·=(－1)r··2r·.
(1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，故T5=·24·=1 120x－6.
(2)设第r＋1项系数的绝对值最大，
则即整理得
∴r=5，或r=6.
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.
[延伸探究1]　在本例条件下，求系数最大的项与系数最小的项.
解：由本例(2)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正.故系数最大的项为T7=·26·x－11=1 792x－11.系数最小的项为T6=(－1)5·25=－1 792.
[延伸探究2]　在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求展开式中的常数项.
解：由题意知n=8，通项为Tk＋1=(－1)k···，令8－k=0，得k=6，故常数项为第7项，且T7=(－1)6··=7.
[反思感悟]　 1. 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论.
(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.
(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
2. 展开式中系数最大的项的求法.
求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.一般采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，运用解出k，即得系数最大的项.
知识点二　二项式系数的和　　　　　　　　　　　　　　　　
1. ＋…＋=　2n　.
2. ＋…=＋…=　2n－1　.
例2　(1)的展开式中所有二项式系数的和是　256　；展开式中所有偶数项的二项式系数的和是　128　.
【解析】的展开式中所有二项式系数的和是28=256，展开式中所有偶数项的二项式系数和是27=128.
(2)已知(x－my)n的展开式中二项式系数之和为64，x3y3的系数为－160，则实数m=　2　.
【解析】由题意得，2n=64，解得n=6，而(x－my)6的通项公式为Tk＋1=x6－k(－my)k，0≤k≤6，k∈N，
∴x3y3的系数为(－m)3=－160，解得m=2.
[反思感悟]　二项式系数的和为＋…＋=2n，其中奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等，都等于2n－1.
知识点三　二项展开式的各项系数的和　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　设(1－2x)2 025=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025(x∈R).
(1)求a0的值；
(2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 025的值.
解：(1)令x=0，得(1－0)2 025=a0，∴a0=1.
(2)令x=1，得(1－2)2 025=a0＋a1＋a2＋…＋a2 025，
∴a0＋a1＋a2＋…＋a2 025=－1，
∴a1＋a2＋…＋a2 025=－2.
[延伸探究1]　若本例条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 025|.
解：∵(1－2x)2 025的展开式中偶数项的系数为负值，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 025|=a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025.
令x=－1，得32 025=a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025，
故|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 025|=32 025.
[延伸探究2]　若本例条件不变，求a1＋a3＋…＋a2 025的值.
解：分别令x=－1，x=1，
得
由②－①，得－1－32 025=2(a1＋a3＋…＋a2 025)，
∴a1＋a3＋…＋a2 025=.
[反思感悟]　解决各项系数的和的问题的思维流程：
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. (2025·四川内江高二期末)已知(x＋1)4=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4的值为(　C　)
A. 8 B. 12
C. 16 D. 32
2. 在(1＋x)n(n∈N*)的展开式中，若只有x5的系数最大，则n的值为(　C　)
A. 8 B. 9
C. 10 D. 11
3. 在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是 (　B　)
A. 第15项 B. 第16项
C. 第17项 D. 第18项
4. 已知，设(3x－4)n=a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n，则a1＋a2＋…＋an=　1 023　.

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