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6.3 导学3　二项式定理的综合应用
知识点一　两个二项式乘积的问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　(1)(2025·云南曲靖高二期末)·(y－x)6的展开式中x3y3的系数为(　 　)
A. －25 B. 25
C. －50 D. 50
(2)已知(x2＋a)的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为(　 　)
A. 8 B. 6
C. 4 D. 2
[反思感悟]　两个二项式乘积的展开式中特定项问题的解题思路：
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点.
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分.
(3)分别求解再相乘，最后求和.
知识点二　形如(a＋b＋c)n的展开式问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　(1)(2025·江苏南京高二期末)在(x2＋3x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　 　)
A. 90 B. 60
C. 30 D. 20
(2)的展开式的常数项是 　.
[反思感悟]　1. 三项式的展开问题，可以利用二项式定理的推导方法来解决，其本质是计数原理的应用，用这种方法可以直接求展开式中的某特定项.
2. 三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为因式分解、项与项结合.项与项结合时，要注意合理性和便捷性.
知识点三　整除和余数问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(1)实数1.9965的近似值为　 　(结果精确到0.001).
(2)(2025·河南郑州高二期末)若a∈N，且0≤a＜9，若442025＋a能被9整除，则a=　 　.　
[反思感悟]　1. 利用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，最后考虑后面(或前面)一、二项即可.
2. 解决求余数问题时，必须构造一个与题目条件有关的二项式.
3. 计算(1＋a)n的近似值的处理方法.
当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1＋a)n≈1＋na，因为这时展开式的后面部分a2＋a3＋…＋an很小，所以可以忽略不计，但是使用这个公式时应注意a的条件，以及对精确程度的要求.若精确程度要求较高，则可使用更精确的近似公式(1＋a)n≈1＋na＋a2等.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　 　)
A. 30 B. 20
C. 15 D. 10
2. 9192被100除所得的余数为 (　 　)
A. 1 B. 81
C. －81 D. －1
3. (x＋y＋3)5展开式中不含y的各项系数之和为(　 　)
A. 25 B. 35
C. 45 D. (x＋3)5
4. 假设今天是第一天，并记为星期一，则第230天是星期　 　. 6.3 导学3　二项式定理的综合应用
知识点一　两个二项式乘积的问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　(1)(2025·云南曲靖高二期末)·(y－x)6的展开式中x3y3的系数为(　A　)
A. －25 B. 25
C. －50 D. 50
【解析】易得(y－x)6展开式的通项公式为Tr＋1=(－1)ry6－rxr，r=0，1，2，…，6，令r=3可得x3y3的系数为－=－20，令r=2可得x3y3的系数为=15，故原展开式中x3y3的系数为2×(－20)＋15=－25.
(2)已知(x2＋a)的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为(　A　)
A. 8 B. 6
C. 4 D. 2
【解析】令x=1，得(1＋a)(1＋1)6=192，∴a=2.的展开式的通项公式Tr＋1=x－2r，又(x2＋2)=x2＋2.令－2r=－2，得r=1；令－2r=0，得r=0，∴展开式中的常数项为x2x－2＋2=8.
[反思感悟]　两个二项式乘积的展开式中特定项问题的解题思路：
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点.
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分.
(3)分别求解再相乘，最后求和.
知识点二　形如(a＋b＋c)n的展开式问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　(1)(2025·江苏南京高二期末)在(x2＋3x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　A　)
A. 90 B. 60
C. 30 D. 20
【解析】要生成x5y2这一项，相当于从5个含有x2，3x，y的括号中，2个取出x2，1个取出3x，2个取出y，即·(x2)2··3x··y2=90x5y2，∴x5y2的系数为90.
(2)的展开式的常数项是 　.
【解析】方法一　原式=·[(x＋)2]5=·(x＋)10.
求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项，T6=·()5x5，
∴所求的常数项为.
方法二　是5个三项式相乘，常数项的产生有三种情况：
①在5个相乘的三项式中，从其中1个三项式
中取，剩余的4个三项式中选2个取，其余2个取，
则满足条件的乘积为··；
②在5个相乘的三项式中，从其中3个三项式中取，剩余的2个三项式分别取与，
则满足条件的乘积为()3···=20；
③从5个相乘的三项式中都取常数，得()5=4.
综上，展开式中的常数项为＋20＋4.
[反思感悟]　1. 三项式的展开问题，可以利用二项式定理的推导方法来解决，其本质是计数原理的应用，用这种方法可以直接求展开式中的某特定项.
2. 三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为因式分解、项与项结合.项与项结合时，要注意合理性和便捷性.
知识点三　整除和余数问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(1)实数1.9965的近似值为　31.681　(结果精确到0.001).
【解析】1.9965=(2－0.004)5=×25－×24×0.0041＋×23×0.0042－×22×0.0043＋×2×0.0044－×0.0045≈32－0.32＋0.001 28=31.681 28，将1.9965精确到0.001，故近似值为31.681.
(2)(2025·河南郑州高二期末)若a∈N，且0≤a＜9，若442025＋a能被9整除，则a=　1　.　
【解析】∵442 025=(45－1)2 025，∴该二项展开式的通项为Tr＋1=·452 025－r×(－1)r，r=0，1，2，…，2 025，当0≤r≤2 024时，Tr＋1=·452 025－r×(－1)r能被9整除，但r=2 025时，T2 026=－1不能被9整除，要使442 025＋a能被9整除，则a－1能被9整除，∵a∈N，0≤a＜9，∴－1≤a－1＜8，∴a－1=0，即a=1.
[反思感悟]　1. 利用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，最后考虑后面(或前面)一、二项即可.
2. 解决求余数问题时，必须构造一个与题目条件有关的二项式.
3. 计算(1＋a)n的近似值的处理方法.
当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1＋a)n≈1＋na，因为这时展开式的后面部分a2＋a3＋…＋an很小，所以可以忽略不计，但是使用这个公式时应注意a的条件，以及对精确程度的要求.若精确程度要求较高，则可使用更精确的近似公式(1＋a)n≈1＋na＋a2等.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　C　)
A. 30 B. 20
C. 15 D. 10
2. 9192被100除所得的余数为 (　B　)
A. 1 B. 81
C. －81 D. －1
3. (x＋y＋3)5展开式中不含y的各项系数之和为(　C　)
A. 25 B. 35
C. 45 D. (x＋3)5
4. 假设今天是第一天，并记为星期一，则第230天是星期　一　. (共17张PPT)
三、二项式定理
导学3　二项式定理的综合应用
高中数学 选择性必修 第三册
计数原理
第六章
知识点一
知识点一　两个二项式乘积的问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　(1)(2025·云南曲靖高二期末)·(y－x)6的展开式中x3y3的系数为(　　)
A. －25 B. 25
C. －50 D. 50
【解析】易得(y－x)6展开式的通项公式为Tr＋1=(－1)ry6－rxr，r=0，1，2，…，6，令r=3可得x3y3的系数为－=－20，令r=2可得x3y3的系数为=15，故原展开式中x3y3的系数为2×(－20)＋15=－25.
A
(2)已知(x2＋a)的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为(　　)
A. 8 B. 6
C. 4 D. 2
【解析】令x=1，得(1＋a)(1＋1)6=192，∴a=2.的展开式的通项公式
Tr＋1=x－2r，又(x2＋2)=x2＋2.令－2r=－2，得r=1；令－2r=0，得r=0，∴展开式中的常数项为x2x－2＋2=8.
A
[反思感悟]　两个二项式乘积的展开式中特定项问题的解题思路：
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点.
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分.
(3)分别求解再相乘，最后求和.
知识点二
知识点二　形如(a＋b＋c)n的展开式问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　(1)(2025·江苏南京高二期末)在(x2＋3x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A. 90 B. 60
C. 30 D. 20
【解析】要生成x5y2这一项，相当于从5个含有x2，3x，y的括号中，2个取出x2，1个取出3x，2个取出y，即·(x2)2··3x··y2=90x5y2，∴x5y2的系数为90.
A
(2)的展开式的常数项是_____________.
【解析】方法一　原式=·[(x＋)2]5=·(x＋)10.
求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项，T6=·()5x5，
∴所求的常数项为.
方法二　是5个三项式相乘，常数项的产生有三种情况：
①在5个相乘的三项式中，从其中1个三项式
中取，剩余的4个三项式中选2个取，其余2个取，
则满足条件的乘积为··；
②在5个相乘的三项式中，从其中3个三项式中取，剩余的2个三项式分别取与，
则满足条件的乘积为()3···=20；
③从5个相乘的三项式中都取常数，得()5=4.
综上，展开式中的常数项为＋20＋4.

[反思感悟]　1. 三项式的展开问题，可以利用二项式定理的推导方法来解决，其本质是计数原理的应用，用这种方法可以直接求展开式中的某特定项.
2. 三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为因式分解、项与项结合.项与项结合时，要注意合理性和便捷性.
知识点三
知识点三　整除和余数问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(1)实数1.9965的近似值为________(结果精确到0.001).
【解析】1.9965=(2－0.004)5=×25－×24×0.0041＋×23×0.0042－×22×0.0043＋×2×0.0044－×0.0045≈32－0.32＋0.001 28=31.681 28，将1.9965精确到0.001，故近似值为31.681.
(2)(2025·河南郑州高二期末)若a∈N，且0≤a＜9，若442025＋a能被9整除，则a=____.
【解析】∵442 025=(45－1)2 025，∴该二项展开式的通项为Tr＋1=·452 025－r×(－1)r，r=0，1，2，…，2 025，当0≤r≤2 024时，Tr＋1=·452 025－r×(－1)r能被9整除，但r=2 025时，T2 026=－1不能被9整除，要使442 025＋a能被9整除，则a－1能被9整除，∵a∈N，0≤a＜9，∴－1≤a－1＜8，∴a－1=0，即a=1.
31.681
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[反思感悟]　1. 利用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，最后考虑后面(或前面)一、二项即可.
2. 解决求余数问题时，必须构造一个与题目条件有关的二项式.
3. 计算(1＋a)n的近似值的处理方法.
当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1＋a)n≈1＋na，因为这时展开式的后面部分a2＋a3＋…＋an很小，所以可以忽略不计，但是使用这个公式时应注意a的条件，以及对精确程度的要求.若精确程度要求较高，则可使用更精确的近似公式(1＋a)n≈1＋na＋a2等.
随堂巩固
1. 在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　)
A. 30 B. 20
C. 15 D. 10
C
2. 9192被100除所得的余数为 (　　)
A. 1 B. 81
C. －81 D. －1
B
3. (x＋y＋3)5展开式中不含y的各项系数之和为(　　)
A. 25 B. 35
C. 45 D. (x＋3)5
C
4. 假设今天是第一天，并记为星期一，则第230天是星期____.
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