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7.1 导学1　条件概率
知识点一　条件概率的概念　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)= 　为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
2. 条件概率的计算方法.
(1)定义法：P(B|A)= 　.
(2)缩小样本空间法：P(B|A)=.
点拨：对条件概率中“条件”的两点说明：
(1)一般地，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件上，再加上“某事件发生”的附加条件)，求另一事件在此条件下发生的概率.
(2)通常情况下，事件B在“事件A已发生”这个附加条件下发生的概率与没有这个附加条件下发生的概率是不同的.
例1　(1)判断下列哪些是条件概率：
①某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，该名女生是高一学生的概率；
②掷一枚骰子，掷出的点数为3的概率；
③在一副扑克牌的52张(去掉两张王牌后)牌中任取1张，在抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率.
(2)集合A={1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.
[反思感悟]　1. 判断某一事件的概率是否为条件概率时，主要看这个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的.
2. 计算条件概率的方法：
(1)定义法：分别计算概率P(AB)和P(A)，条件概率P(B|A)=.
(2)缩小样本空间法：
“缩”：将原来的样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB.
“数”：数出A中事件AB所包含的样本点个数.
“算”：利用古典概型求P(B|A)=，n(AB)与n(A)是缩小样本空间后所包含的样本点的个数.
知识点二　概率的乘法公式　　　　　　　　　　　　　　　　
对任意事件A与B，若P(A)＞0，则　 　.
例2　一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次.求：
(1)第一次取得白球的概率；
(2)第一、第二次都取得白球的概率；
(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率.
[反思感悟]　运用乘法公式求概率的要点：
(1)功能：是一种计算“积事件”概率的方法，即当不容易直接计算P(AB)时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)求解.
(2)推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)＞0，则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=P(C|AB)·P(B|A)P(A).
知识点三　条件概率的性质及应用　　　　　　　　　　　　　　　　
条件概率的性质：
设P(A)＞0，则
(1)P(Ω|A)=　 　.
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=　 　.
(3)设和B互为对立事件，则P(|A)=　 　. 　
例3　在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.
[反思感悟]　1. 利用互斥事件的条件概率加法公式可简化条件概率的计算，但应注意这个性质的使用前提是“两个事件互斥”.
2. 为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个简单的互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列事件的概率中，是条件概率的为(　 　)
A. 甲、乙两人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率
B. 甲、乙两人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下，乙投篮一次命中的概率
C. 有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D. 小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学中遇到红灯的概率
2. 已知P(B|A)=，P(A)=，则P(AB)等于(　 　)
A. B.
C. D.
3. 若B，C是互斥事件且P(B|A)=，P(C|A)=，则P(B∪C|A)等于 (　 　)
A. B.
C. D.
4. 已知某地区内猫的寿命超过10岁的概率为0.9，超过12岁的概率为0.6，那么该地区内，一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率为 　. 7.1 导学1　条件概率
知识点一　条件概率的概念　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)= 　为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
2. 条件概率的计算方法.
(1)定义法：P(B|A)= 　.
(2)缩小样本空间法：P(B|A)=.
点拨：对条件概率中“条件”的两点说明：
(1)一般地，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件上，再加上“某事件发生”的附加条件)，求另一事件在此条件下发生的概率.
(2)通常情况下，事件B在“事件A已发生”这个附加条件下发生的概率与没有这个附加条件下发生的概率是不同的.
例1　(1)判断下列哪些是条件概率：
①某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，该名女生是高一学生的概率；
②掷一枚骰子，掷出的点数为3的概率；
③在一副扑克牌的52张(去掉两张王牌后)牌中任取1张，在抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率.
解：由条件概率定义可知①③是，②不是.
(2)集合A={1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.
解：方法一　设M=“甲抽到奇数”，N=“乙抽到的数比甲抽到的数大”，试验的样本空间记为Ω，
则n(Ω)==6×5=30，n(M)=3×5=15，n(MN)=9.
∴P(M)=，P(MN)=，
∴P(N|M)=.
方法二　将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个.
在这15个样本点中，乙抽到的数比甲抽到的数大的样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个，∴所求概率P=.
[反思感悟]　1. 判断某一事件的概率是否为条件概率时，主要看这个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的.
2. 计算条件概率的方法：
(1)定义法：分别计算概率P(AB)和P(A)，条件概率P(B|A)=.
(2)缩小样本空间法：
“缩”：将原来的样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB.
“数”：数出A中事件AB所包含的样本点个数.
“算”：利用古典概型求P(B|A)=，n(AB)与n(A)是缩小样本空间后所包含的样本点的个数.
知识点二　概率的乘法公式　　　　　　　　　　　　　　　　
对任意事件A与B，若P(A)＞0，则　P(AB)=P(A)P(B|A)　.
例2　一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次.求：
(1)第一次取得白球的概率；
解：设A=“第一次取得白球”，B=“第二次取得白球”，则=“第一次取得黑球”，由题意，得
P(A)=.
(2)第一、第二次都取得白球的概率；
解：P(AB)=P(A)P(B|A)=.
(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率.
解：P(B)=P()P(B|)=.
[反思感悟]　运用乘法公式求概率的要点：
(1)功能：是一种计算“积事件”概率的方法，即当不容易直接计算P(AB)时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)求解.
(2)推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)＞0，则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=P(C|AB)·P(B|A)P(A).
知识点三　条件概率的性质及应用　　　　　　　　　　　　　　　　
条件概率的性质：
设P(A)＞0，则
(1)P(Ω|A)=　1　.
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=　P(B|A)＋P(C|A)　.
(3)设和B互为对立事件，则P(|A)=　1－P(B|A)　. 　
例3　在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.
解：方法一(定义法)　设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，
则P(A)=，P(AB)=，P(AC)=.　
∴P(B|A)=，P(C|A)=.
∴P(B∪C|A)=P(B|A)＋P(C|A)=.
∴所求的条件概率为.
方法二(直接法)　∵n(A)=1×=9，n(B∪C|A)==5，∴P(B∪C|A)=，
∴所求的条件概率为.
[反思感悟]　1. 利用互斥事件的条件概率加法公式可简化条件概率的计算，但应注意这个性质的使用前提是“两个事件互斥”.
2. 为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个简单的互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列事件的概率中，是条件概率的为(　B　)
A. 甲、乙两人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率
B. 甲、乙两人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下，乙投篮一次命中的概率
C. 有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D. 小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学中遇到红灯的概率
2. 已知P(B|A)=，P(A)=，则P(AB)等于(　C　)
A. B.
C. D.
3. 若B，C是互斥事件且P(B|A)=，P(C|A)=，则P(B∪C|A)等于 (　D　)
A. B.
C. D.
4. 已知某地区内猫的寿命超过10岁的概率为0.9，超过12岁的概率为0.6，那么该地区内，一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率为 　. (共19张PPT)
一、条件概率与全概率公式
导学1　条件概率
高中数学 选择性必修 第三册
随机变量及其分布
第七章
知识点一
1. 条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)=_________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
2. 条件概率的计算方法.
(1)定义法：P(B|A)= _________.
(2)缩小样本空间法：P(B|A)=
知识点一　条件概率的概念　


点拨：对条件概率中“条件”的两点说明：
(1)一般地，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件上，再加上“某事件发生”的附加条件)，求另一事件在此条件下发生的概率.
(2)通常情况下，事件B在“事件A已发生”这个附加条件下发生的概率与没有这个附加条件下发生的概率是不同的.
例1　(1)判断下列哪些是条件概率：
①某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，该名女生是高一学生的概率；
②掷一枚骰子，掷出的点数为3的概率；
③在一副扑克牌的52张(去掉两张王牌后)牌中任取1张，在抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率.
解：由条件概率定义可知①③是，②不是.
(2)集合A={1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.
解：方法一　设M=“甲抽到奇数”，N=“乙抽到的数比甲抽到的数大”，试验的样本空间记为Ω，
则n(Ω)==6×5=30，n(M)=3×5=15，n(MN)=9.
∴P(M)=，P(MN)=，
∴P(N|M)=.
方法二　将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个.
在这15个样本点中，乙抽到的数比甲抽到的数大的样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个，∴所求概率P=.
[反思感悟]　1. 判断某一事件的概率是否为条件概率时，主要看这个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的.
2. 计算条件概率的方法：
(1)定义法：分别计算概率P(AB)和P(A)，条件概率P(B|A)=.
(2)缩小样本空间法：
“缩”：将原来的样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB.
“数”：数出A中事件AB所包含的样本点个数.
“算”：利用古典概型求P(B|A)=，n(AB)与n(A)是缩小样本空间后所包含的样本点的个数.
知识点二
对任意事件A与B，若P(A)＞0，则_______________________________________.
例2　一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次.求：
(1)第一次取得白球的概率；
解：设A=“第一次取得白球”，B=“第二次取得白球”，则=“第一次取得黑球”，由题意，得
P(A)=.
(2)第一、第二次都取得白球的概率；
解：P(AB)=P(A)P(B|A)=.
(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率.
解：P(B)=P()P(B|)=.
知识点二　概率的乘法公式
P(AB)=P(A)P(B|A)
[反思感悟]　运用乘法公式求概率的要点：
(1)功能：是一种计算“积事件”概率的方法，即当不容易直接计算P(AB)时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)求解.
(2)推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)＞0，则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=P(C|AB)·P(B|A)P(A).
知识点三
条件概率的性质：
设P(A)＞0，则
(1)P(Ω|A)=______.
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)= ___________________________________.
(3)设和B互为对立事件，则P(|A)= ____________________. 　
知识点三　条件概率的性质及应用
1
P(B|A)＋P(C|A)
1－P(B|A)
例3　在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.
解：方法一(定义法)　设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，
则P(A)=，P(AB)=，P(AC)=.　
∴P(B|A)=，P(C|A)=.
∴P(B∪C|A)=P(B|A)＋P(C|A)=.
∴所求的条件概率为.
方法二(直接法)　∵n(A)=1×=9，n(B∪C|A)==5，∴P(B∪C|A)=，
∴所求的条件概率为.
[反思感悟]　1. 利用互斥事件的条件概率加法公式可简化条件概率的计算，但应注意这个性质的使用前提是“两个事件互斥”.
2. 为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个简单的互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率.
随堂巩固
1. 下列事件的概率中，是条件概率的为(　　)
A. 甲、乙两人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率
B. 甲、乙两人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下，乙投篮一次命中的概率
C. 有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D. 小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学中遇到红灯的概率
B
2. 已知P(B|A)=，P(A)=，则P(AB)等于(　　)
A.
C.
C
3. 若B，C是互斥事件且P(B|A)=，P(C|A)=，则P(B∪C|A)等于 (　　)
A.
C.
D
4. 已知某地区内猫的寿命超过10岁的概率为0.9，超过12岁的概率为0.6，那么该地区内，一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率为______.

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