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7.1 导学2　全概率公式
知识点一　全概率公式　　　　　　　　　　　　　　　　
全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)＞0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)= P(Ai)P(B|Ai)　.
点拨：1. 全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)=P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An).
2. 全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即化整为零的思想方法.
例1　某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求：
(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；
(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率.
解：记事件A，B分别为“取出的为甲厂、乙厂的产品”，事件C为“取出的为废品”，则Ω=A∪B，且A，B互斥，
(1)由题意，得P(A)=，P(B)=，
P(C|A)=0.06，P(C|B)=0.05，
由全概率公式，得P(C)=P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)=.
(2)P(A)=，P(B)=，P(C|A)=0.06，P(C|B)=0.05，
由全概率公式，得P(C)=P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)=.
[反思感悟]　两个事件的全概率问题求解策略：
(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)；
(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率；
(3)求和：所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2).
知识点二　多个事件的全概率问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　甲、乙、丙三人同时对飞碟进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞碟被一人击中且击落的概率为0.2，被两人击中且击落的概率为0.6，若三人都击中，飞碟必定被击落，求飞碟被击落的概率.
解：设B=“飞碟被击落”，Ai=“飞碟被i人击中”，i=1，2，3，则B=A1B＋A2B＋A3B，
依题意，得P(B|A1)=0.2，P(B|A2)=0.6，
P(B|A3)=1.
由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)，
设Hi=“飞碟被第i人击中”，i=1，2，3，
则P(A1)=P(H1H2H3)，P(A2)=P(H1H2＋H1H3＋H2H3)，P(A3)=P(H1H2H3)，又P(H1)=0.4，P(H2)=0.5，P(H3)=0.7，
∴P(A1)=0.36，P(A2)=0.41，P(A3)=0.14，
则P(B)=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)=0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1=0.458.
故飞碟被击落的概率为0.458.
[反思感悟]　“化整为零”求多事件的全概率问题：
(1)如图所示，P(B)=P(Ai)P(B|Ai).
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能的情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.
知识点三　贝叶斯公式　　　　　　　　　　　　　　　　
贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)＞0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，P(B)＞0，有P(Ai|B)= 　= 　，i=1，2，…，n.
例3　某人从甲地出发去乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到.
(1)求此人迟到的概率；
解：设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”，
则P(A)=0.2，P(D|A)=0.5，P(B)=0.4，P(D|B)=0.2，P(C)=0.4，P(D|C)=0.　
由全概率公式得，此人迟到的概率为
P(D)=P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)=0.2×0.5＋0.4×0.2＋0.4×0=0.18.
(2)如果此人迟到了，求他是乘轮船迟到的概率.
解：如果这个人迟到了，由贝叶斯公式得，他乘轮船迟到的概率为P(B|D)=.
[反思感悟]　贝叶斯公式的内涵：
(1)公式P(A1|B)=反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系.
(2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事件A1发生的可能性在各种可能原因中的比重.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 已知P(BA)=0.4，P(B)=0.2，则P(B)等于 (　C　)
A. 0.08 B. 0.8
C. 0.6 D. 0.5
2. 甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别为总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%. 从这批产品之中任取一件，则它是次品的概率为(　C　)
A. 0.012 3 B. 0.023 4
C. 0.034 5 D. 0.045 6
3. 为预测一只股票在未来一定时期内的价格变化，人们往往会分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该只股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该只股票价格将上涨的概率为　64%　.
4. 甲袋中有3个白球，2个黑球，乙袋中有4个白球，4个黑球，从甲袋中任取两球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为 　. (共17张PPT)
一、条件概率与全概率公式
导学2　全概率公式
高中数学 选择性必修 第三册
随机变量及其分布
第七章
知识点一
全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，
且P(Ai)＞0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)=_________________.
点拨：1. 全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)=P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An).
2. 全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即化整为零的思想方法.
知识点一　全概率公式　
P(Ai)P(B|Ai)
例1　某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求：
(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；
(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率.
解：记事件A，B分别为“取出的为甲厂、乙厂的产品”，事件C为“取出的为废品”，则Ω=A∪B，且A，B互斥，
(1)由题意，得P(A)=，P(B)=，
P(C|A)=0.06，P(C|B)=0.05，
由全概率公式，得P(C)=P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)=.
(2)P(A)=，P(B)=，P(C|A)=0.06，P(C|B)=0.05，
由全概率公式，得P(C)=P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)=.
[反思感悟]　两个事件的全概率问题求解策略：
(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)；
(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率；
(3)求和：所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2).
知识点二
例2　甲、乙、丙三人同时对飞碟进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞碟被一人击中且击落的概率为0.2，被两人击中且击落的概率为0.6，若三人都击中，飞碟必定被击落，求飞碟被击落的概率.
解：设B=“飞碟被击落”，Ai=“飞碟被i人击中”，i=1，2，3，则B=A1B＋A2B＋A3B，
依题意，得P(B|A1)=0.2，P(B|A2)=0.6，
P(B|A3)=1.
由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)，
设Hi=“飞碟被第i人击中”，i=1，2，3，
则P(A1)=P(H1H2H3)，P(A2)=P(H1H2＋H1H3＋H2H3)，P(A3)=P(H1H2H3)，又P(H1)=0.4，P(H2)=0.5，P(H3)=0.7，
∴P(A1)=0.36，P(A2)=0.41，P(A3)=0.14，
则P(B)=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)=0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1=0.458.
故飞碟被击落的概率为0.458.
知识点一　多个事件的全概率问题　
[反思感悟]　“化整为零”求多事件的全概率问题：
(1)如图所示，P(B)=P(Ai)P(B|Ai).
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能的情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.
知识点三
知识点三　贝叶斯公式
贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)
＞0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，P(B)＞0，有P(Ai|B)=__________________
= _______________，i=1，2，…，n. 　


例3　某人从甲地出发去乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到.
(1)求此人迟到的概率；
解：设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”，
则P(A)=0.2，P(D|A)=0.5，P(B)=0.4，P(D|B)=0.2，P(C)=0.4，P(D|C)=0.　
由全概率公式得，此人迟到的概率为
P(D)=P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)=0.2×0.5＋0.4×0.2＋0.4×0=0.18.
(2)如果此人迟到了，求他是乘轮船迟到的概率.
解：如果这个人迟到了，由贝叶斯公式得，他乘轮船迟到的概率为P(B|D)=.
[反思感悟]　贝叶斯公式的内涵：
(1)公式P(A1|B)=反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系.
(2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事件A1发生的可能性在各种可能原因中的比重.
随堂巩固
1. 已知P(BA)=0.4，P(B)=0.2，则P(B)等于 (　　)
A. 0.08 B. 0.8
C. 0.6 D. 0.5
C
2. 甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别为总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%. 从这批产品之中任取一件，则它是次品的概率为(　　)
A. 0.012 3 B. 0.023 4
C. 0.034 5 D. 0.045 6
C
3. 为预测一只股票在未来一定时期内的价格变化，人们往往会分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该只股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该只股票价格将上涨的概率为__________.
64%　
4. 甲袋中有3个白球，2个黑球，乙袋中有4个白球，4个黑球，从甲袋中任取两球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为___.
　7.1 导学2　全概率公式
知识点一　全概率公式　　　　　　　　　　　　　　　　
全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)＞0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)= 　.
点拨：1. 全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)=P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An).
2. 全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即化整为零的思想方法.
例1　某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求：
(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；
(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率.
[反思感悟]　两个事件的全概率问题求解策略：
(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)；
(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率；
(3)求和：所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2).
知识点二　多个事件的全概率问题　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　甲、乙、丙三人同时对飞碟进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞碟被一人击中且击落的概率为0.2，被两人击中且击落的概率为0.6，若三人都击中，飞碟必定被击落，求飞碟被击落的概率.
[反思感悟]　“化整为零”求多事件的全概率问题：
(1)如图所示，P(B)=P(Ai)P(B|Ai).
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能的情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.
知识点三　贝叶斯公式　　　　　　　　　　　　　　　　
贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)＞0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，P(B)＞0，有P(Ai|B)= 　= 　，i=1，2，…，n.
例3　某人从甲地出发去乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到.
(1)求此人迟到的概率；
(2)如果此人迟到了，求他是乘轮船迟到的概率.
[反思感悟]　贝叶斯公式的内涵：
(1)公式P(A1|B)=反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系.
(2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事件A1发生的可能性在各种可能原因中的比重.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 已知P(BA)=0.4，P(B)=0.2，则P(B)等于 (　 　)
A. 0.08 B. 0.8
C. 0.6 D. 0.5
2. 甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别为总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%. 从这批产品之中任取一件，则它是次品的概率为(　 　)
A. 0.012 3 B. 0.023 4
C. 0.034 5 D. 0.045 6
3. 为预测一只股票在未来一定时期内的价格变化，人们往往会分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该只股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该只股票价格将上涨的概率为　 　.
4. 甲袋中有3个白球，2个黑球，乙袋中有4个白球，4个黑球，从甲袋中任取两球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为 　.

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