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4.5.2　用二分法求方程的近似解
素养目标 思维导图
1.结合具体连续函数及其图象的特点,探索 用二分法求方程近似解的思路(数学抽象). 2.能借助计算工具用二分法求方程的近似 解,了解用二分法求方程的近似解具有一般 性(数学抽象、数学运算).
课前自主学习
问题1.在一档娱乐节目中,主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格,若猜中了,就把物
品奖给选手.某次竞猜的物品为价格在1 000元之内的一款手机,选手开始报价,选手说
“800”,主持人说“高了”;选手说“400”,主持人说“低了”.
(1)如果是你,你知道接下来该如何竞猜吗
提示:接下来应该猜“600”,即区间[400,800]的中点.
(2)通过这种方法能猜到具体价格吗
提示:可以,通过不断地缩小价格所在的区间,直至猜到手机的价格.
(3)同样,上节课我们已经知道f(x)=ln x+2x-6的零点在区间(2,3)内,那么如何缩小零点所在
区间(2,3)呢
提示:取区间(2,3)的中点x0=2.5,验证f(2)·f(2.5)<0是否成立,若成立,则函数f(x)的零点在区
间(2,2.5)内,否则在区间(2.5,3)内.
问题2.如图所示,f(x)的图象与x轴有一个交点,如何求方程f(x)=0的解
假设在区间[-1,5]上,f(x)的图象是一条连续的曲线,
且f(-1)·f(5)<0,如何按照二分法的思想求方程f(x)=0的一个解
提示:取[-1,5]的中点2,因为f(5)<0,f(2)>0,即f(2)·f(5)<0.
所以在区间[2,5]内有方程的解.
于是再取[2,5]的中点3.5…这样继续下去,如果取到某个区间的中点x0,恰使f(x0)=0,
则x0就是所求的一个解;如果区间中的点的函数值总不等于零,那么,不断地重复上
述操作,就得到一系列闭区间,方程的一个解在这些区间中,区间长度越来越小,端点
逐步逼近方程的解,可以得到一个近似解.
【核心概念】
1.二分法的概念
对于在区间[a,b]上图象连续不断且__________的函数y=f(x),通过不断地把函数
f(x)的零点所在的区间_________,使区间的两个端点_____________,进而得到零
点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系,可用二分法来求
方程的_______.
f(a)·f(b)<0
一分为二
逐步逼近零点
近似解
2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
(1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证__________;
(2)求区间(a,b)的中点__;
(3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:
①若______,则c就是函数的零点;
②若f(a)·f(c)<0[此时零点x0∈_____],则令b=c;
③若f(c)·f(b)<0[此时零点x0∈_____],则令a=c.
(4)判断是否达到精确度ε:若_______,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤(2)~(4).
f(a)·f(b)<0
c
f(c)=0
(a,c)
(c,b)
|a-b|<ε
提醒:“精确度”与“精确到”的区别
“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值ε,即|a-b|<ε;
“精确到”是指某个数的数位达到某个规定的数位,如计算1-,精确到0.01,即0.33.
课堂合作探究
探究点一　二分法概念的理解
【典例1】(1)已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解
的个数分别为(　　)
A.4,4　　　B.3,4　　　C.5,4　　　D.4,3
(2)下列关于函数f(x),x∈[a,b]的命题中正确的是(　　)
A.若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点
B.若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可以用二分法求x0的近似值
C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点
D.用二分法求方程的根时,得到的都是近似解
【思维导引】
【解析】(1)选D.图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;左、右函数值异号的有
3个零点,所以可以用二分法求解的个数为3.
(2)选A.使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件,B不正确;f(x)=0的根也一定是
函数f(x)的零点,C不正确;用二分法求方程的根时,得到的也可能是精确解,D不正确,
只有A正确.
【类题通法】
1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,逐步逼近零点的方法,找到零点附
近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零
点.
2.只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分
法”求函数零点.
【定向训练】
1.下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)
A.y=3x-1 B.y=x3 C.y=|x| D.y=ln x
【解析】选C.对于A,y=3x-1为单调递增函数,有唯一零点x=,且函数值在零点两侧异号,故A
能用二分法求零点;
对于B,y=x3为单调递增函数,有唯一零点x=0,且函数值在零点两侧异号,故B能用二分法求零
点;
对于C,y=|x|不是单调函数,有唯一零点x=0,但函数值在零点两侧都是正的,故C不能用二分法
求零点;
对于D,y=ln x为单调递增函数,有唯一零点x=1,且函数值在零点两侧异号,故D能用二分法求
零点.
2.关于用二分法求函数零点的近似值,下列说法中正确的是 (　　)
A.函数只要有零点,就能用二分法求出其近似值
B.零点是整数的函数不能用二分法求出其近似值
C.多个零点的函数,不能用二分法求零点的近似解
D.一个单调函数如果有零点,就能用二分法求出其近似值
【解析】选D.根据二分法求函数零点的原理,零点左右两侧的函数值必须异号才可以求
解,故A选项错误;
对于B选项,二分法求函数零点与函数零点的特征没有关系,故B选项错误;
对于C选项,二分法求函数零点与函数零点个数没有关系,故C选项错误;
对于D选项,一个单调函数如果有零点,则满足函数零点存在定理,可以用二分法求解,故D
选项正确.
探究点二　利用二分法求方程的近似解
【典例2】(1)用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,
并用计算器得到数据如表:
则由表中的数据,可得方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解(误差不超过0.1)为 (　　)
A.1.125 B.1.312 5
C.1.437 5 D.1.468 75
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f(x) 1.079 4 0.191 8 -0.360 4 -0.998 9
(2)以下是用二分法求方程x3+3x-5=0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程,
请补充完整,并写出结论.
设函数f(x)=x3+3x-5,其图象在(-∞,+∞)上是连续不断的一条曲线.
先求值,f(0)=　　　　,f(1)=　　　　,f(2)=　　　　,f(3)=　　　　,所以f(x)在区间
　　　　内存在零点x0.填表:
区间 中点m f(m)的符号 区间长度




【思维导引】(1)由题表知f(1.25)·f(1.375)<0,故由二分法思想再取(1.25,1.375)的中
点,当区间长度小于精确度时便得到近似解.
(2)先利用函数求得函数值,再利用二分法求近似解的过程求解.
【解析】(1)选B.因为f(1.25)·f(1.375)<0,故根据二分法的思想,知函数f(x)的零点在
区间(1.25,1.375)内,但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1,因此需要取(1.25,1.375)
的中点1.312 5,
两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相
异,又区间的长度为0.062 5<0.1,因此1.312 5是一个近似解.
(2)因为f(x)=x3+3x-5,所以f(0)=-5,f(1)=-1,f(2)=9,f(3)=31,
所以f(x)在区间(1,2)内存在零点x0,填表为
因为|1.187 5-1.125|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取为1.187 5.
答案:-5　-1　9　31　(1,2)　表见解析
区间 中点m f(m)的符号 区间长度
(1,2) 1.5 + 1
(1,1.5) 1.25 + 0.5
(1,1.25) 1.125 - 0.25
(1.125,1.25) 1.187 5 + 0.125
(1.125,1.187 5) 1.156 25 + 0.062 5
【类题通法】用二分法求方程近似解的关注点
(1)要选好计算的初始区间,这个区间既要包含所求的根,又要使其长度尽量小;
(2)要依据给定的精确度,及时检验所得区间端点是否达到要求(达到给定的精确度)
以决定是停止计算还是继续计算.
探究点三　利用二分法求函数零点的近似值
【典例3】用二分法求函数f(x)=x3-3的一个正零点(精确度为0.01).
【思维导引】
【解析】由于f(1)=-2<0,f(2)=5>0,因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐次
计算,见表如下:
由于|1.445 312 5-1.437 5|=0.007 812 5<0.01,因此函数f(x)=x3-3的一个正零点可以为
1.437 5.
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值
第1次 1 -2 2 5
第2次 1 -2 1.5 0.375
第3次 1.25 -1.046 9 1.5 0.375
第4次 1.375 -0.400 4 1.5 0.375
第5次 1.437 5 -0.029 5 1.5 0.375
第6次 1.437 5 -0.029 5 1.468 75 0.168 4
第7次 1.437 5 -0.029 5 1.453 125 0.068 38
第8次 1.437 5 -0.029 5 1.445 312 5 0.019 2
【类题通法】
(1)二分法求函数的零点可以取的初始区间的端点的函数值必须满足异号.
(2)看清题目的精确度,当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度ε时,
则二分法步骤结束.
【拓展延伸】精确度ε与计算次数的关系
精确度是方程近似解的一个重要指标,它由计算次数决定.若初始区间为(a,b),那么
经过n次取中点后,区间的长度是,只要这个区间的长度小于精确度ε,那么这个
区间内的任意一个值都可以作为方程的近似解,因此计算次数和精确度满足关系
<ε,即n>log2,其中n只取正整数.
课堂练习
1.(2024·泰安高一检测)用二分法求如图所示的图象对应的函数f(x)的零点时,不可
能求出的零点是 (　　)
A.x1　 B.x2　
C.x3　 D.x4
【解析】选C.能用二分法求在[a,b]内的零点的函数必须满足图象在区间[a,b]上连
续不断,且f(a)f(b)<0.而x3附近的函数值都小于零,不满足区间端点处函数值符号相
异的条件.
√
2.下列函数不宜用二分法求零点的是 (　　)
A.f(x)=x3-1
B.f(x)=ln x+3
C.f(x)=x2-2x+2
D.f(x)=-x2+4x-1
【解析】选C.因为f(x)=x2-2x+2=(x-)2≥0,不存在小于0的函数值,
所以不能用二分法求零点.
√
3.用二分法求函数f(x)=3x-7的零点时,初始区间可选为 (　　)
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
【解析】选C.f(-1)=-7=-7=-<0,f(0)=30-7=1-7=-6<0,f(1)=31-7=-4<0,
f(2)=32-7=9-7=2>0,
故函数f(x)的零点在区间(1,2)上,
故初始区间可选为(1,2).
√
4.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用二分法求这
个零点(精确度为0.01)的近似值,那么应将区间(0,0.1)等分的次数至少
为　　　　　　　.
【解析】设等分的最少次数为n,则由<0.01,得2n>10,
所以n的最小值为4.
答案:4
5.用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点为x0=2.5,那么下一
个有根的区间是　　　　.
【解析】令f(x)=x3-2x-5,则f(2)=-1<0,
f(3)=16>0,f(2.5)=5.625>0.
因为f(2)·f(2.5)<0,
所以下一个有根的区间为[2,2.5).
答案:[2,2.5)
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