资源简介

(共28张PPT)
4.4.3　不同函数增长的差异
素养目标 思维导图
1.利用函数图象及数据表格,对几 种常见增长类型的函数的增长状 况进行比较,初步体会它们的增长 差异性(直观想象). 2.了解函数模型的广泛应用(数学 建模).
课前自主学习
观察函数y=x2,y=2x,y=log2x在区间(0,+∞)上的图象,思考以下几个问题:
问题1.三个函数在区间(0,+∞)上的图象有什么特点
提示:三个函数在区间(0,+∞)上的图象都是上升的,即单调递增.
问题2.当x趋于无穷大时,三个函数中哪个函数的增长速度最快
哪个最慢
提示:三个函数的增长速度差异很大,其中y=2x增长速度最快,
y=log2x增长速度最慢.
问题3.试着完成下面的填空:
函数 y=2x y=log2x y=x2
在(0,+∞)上的增减性 _______ _______ _______
增长速度 _________ 越来越慢 相对平稳
增函数
增函数
增函数
越来越快
【核心概念】
1.常见的函数模型
_________、_________、_________、_________、_______.
2.三类函数的比较
函数 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xα
(α>0)
单调性 增函数 增函数 增函数
增长速度 越来越快 越来越慢 比较平稳
一次函数
二次函数
指数函数
对数函数
幂函数
3.增长率问题
日常生活中常见的问题,计算公式为__________,若某月的产值是b,月增长率为p,
则此月开始第n个月后的产值是_______.
y=N(1+p)x
b(1+p)n
课堂合作探究
探究点一　三类函数增长的差异
【典例1】(1)四个物体同时从某一点出发向前运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间
x(x>1)的函数关系是f1(x)=x2,f2(x)=2x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果它们一直运动下去,最
终在最前面的物体具有的函数关系是(　　)
A.f1(x)=x2 B.f2(x)=2x
C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x
(2)下列函数中,当x足够大时增长速度最快的是(　　)
A.y=2 024x　 B.y=x2 024
C.y=log2 024x　 D.y=2 024x
【思维导引】(1)本题考查不同函数的增长速度差异,关键是能够明确指数函数增
长速度最快,即可得解.
(2)根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长速度,选出增长速度最快
的选项.
【解析】(1)选D.当x>4时,2x>x2>2x>log2x,可知f4(x)的增长速度最快,所以最终在最
前面的物体具有的函数关系为f4(x)=2x.
(2)选A.比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知,指数函数增长速度最
快.
【类题通法】
函数增长快慢对函数曲线的影响
随着自变量的增大,如果函数值增长越来越快,那么函数的图象越“陡”,类似于指
数函数的图象;如果函数值增长越来越慢,那么函数的图象越“缓”,类似于对数函
数的图象.
【定向训练】
(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.函数y=x减小的速度越来越慢
B.在指数函数y=ax(a>1)中,当x>0时,底数a越大,其增长速度越快
C.不存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>x100
D.当a>1,k>0时,在区间(0,+∞)内,对任意的x,总有logax【解析】选AB.对于A,由对数函数的性质知,函数y=x减小的速度越来越慢,选
项A正确;
对于B,由指数函数的性质知,在指数函数y=ax(a>1)中,当x>0时,底数a越大,其增长
速度越快,选项B正确;
对于C,由指数函数的性质知,随x的增大,y=1.1x的增长速度是非常快的,远远超过幂
函数y=x100的增长速度,因此一定存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>x100,选项C不
正确;
对于D,取a=2,k=4,由图知,
在区间(0,+∞)内,对任意的x,logax探究点二　三类函数图象的比较
【典例2】如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液
体,经过3分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H是圆锥形漏斗中液面
下落的高度,则H与下落时间t(分)的函数关系表示的图象只可能是(　　)
【思维导引】结合题意分析随t的变化H的变化情况,重点关注H的变化快慢情况.
【解析】选B.由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口,因为圆柱中液面上升的速度是一个常量,即漏斗中液体漏出的速度是一定的,因此H增长的速度越来越大.
【定向训练】
某工厂8年来某产品总产量y与时间t(年)的函数关系如图,则:
①前3年总产量增长速度越来越快;
②前3年总产量增长速度越来越慢;
③第3年后,这种产品停止生产.
以上说法中正确的是　　　　　　.(填序号)
【解析】由题图可知前3年的总产量增长速度越来越快;
而图象在区间(3,8)上平行于x轴,说明总产量没有变化,
所以第3年后该产品停止生产.
因此只有①③正确.
答案:①③
探究点三　三类函数模型的构建与选取
【典例3】(2025·永州高一检测)某企业投资特色农业,为了实现既定销售利润目标,
准备制定一个激励销售人员的奖励方案:按销售利润进行奖励,总奖金额y(单位:万
元)关于销售利润x(单位:万元)的函数的图象接近如图所示,现有以下三个函数模型
供企业选择:①y=kx+b(k>0),②y=k·2x+m(k>0),③y=klog3(+3)+n(k>0).
(1)请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型,并说明理由;
(2)根据你在(1)中选择的函数模型,如果总奖金额不少于
6万元,则至少应完成销售利润多少万元
【解析】(1)对于模型①,y=kx+b,图象为直线,增长速度不变,故①错误;
由题图可知,该函数的增长速度较慢,
对于模型②,指数型函数是爆炸型增长,故②错误;
对于模型③,对数型函数增长速度较慢,符合题意,故选模型③.
(2)由(1)可知,选模型③,所求函数过点(0,0),(18,3),则
解得
故所求函数为y=3log3(+3)-3,
所以3log3(+3)-3≥6,即log3(+3)≥3,
所以+3≥27,所以x≥72,所以至少应完成销售利润72万元.
【类题通法】不同函数模型的选取标准
不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律:(1)线性函数增长模型适合于
描述增长速度不变的变化规律;(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的
变化规律;(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律;(4)幂函数增
长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.
因此需抓住题中蕴含的数学信息,恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来
解决实际问题.
【知识延拓】三种函数模型的解析式及其增长特点的总结
(1)指数函数模型:解析式为f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>0,且b≠1),当b>1时,增长
特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”;当
0(2)对数函数模型:解析式为f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m>0,a>0,且a≠1),当a>1时,
增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,
常称之为“蜗牛式增长”;当0(3)幂函数模型:解析式为f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1,α>0),其增长情况由a和α
的取值确定,常见的有二次函数模型.
【定向训练】
某化工厂开发研制了一种新产品,在前三个月的月生产量依次为100 t,120 t,130 t.为
了预测今后各个月的生产量,需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模拟
月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数
y=f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均为待定系数,x∈N*)或函数y=g(x)=pqx+r(p,q,r均为待定系
数,x∈N*),现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t,则选用这两个函
数中的哪一个作为模拟函数较好
【解析】根据题意可列方程组
解得
所以y=f(x)=-5x2+35x+70.①
同理y=g(x)=-80×0.5x+140.②
再将x=4分别代入①式与②式得,f(4)=-5×42+35×4+70=130,
g(4)=-80×0.54+140=135.
与f(4)相比,g(4)在数值上更接近第四个月的实际月产量,所以②式作为模拟函数比
①式更好,故选用函数y=g(x)=pqx+r作为模拟函数较好.
课堂练习
1.在某个物理实验中,测量得到变量x和变量y的几组数据,如表:
则对x,y最适合的拟合函数是 (　　)
A.y=2x　 B.y=x2-1
C.y=2x-2　 D.y=log2x
【解析】选D.将x=0.50代入计算,可以排除A;将x=2.01代入计算,可以排除B,C.
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y -0.99 0.01 0.98 2.00
√
2.高为H,满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示,其底部碰了一个小洞,满缸水从洞
中流出,若鱼缸水深为h时水的体积为v,则函数v=f(h)的大致图象是 (　　)
【解析】选B.当h=0时,v=0,可排除A,C.
因为鱼缸中间粗两头细,所以当h在附近时,体积变化较快;h<时,增加越来越
快;h>时,增加越来越慢.
√
3.已知函数f(x)=3x,g(x)=2x,当x∈R时,f(x)与g(x)的大小关系为　　　　　.
【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)=3x,g(x)=2x的图象,如图所示,
由于函数f(x)=3x的图象在函数g(x)=2x图象的上方,因此f(x)>g(x).
答案:f(x)>g(x)
4.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q呈指数函数
型变化,满足解析式Q=Q0e-0.002 5t,其中Q0是臭氧的初始量.(参考数据ln 2≈0.693 1)
(1)随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少
(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失
【解析】(1)因为此函数是减函数,所以臭氧的含量减少.
(2)令Q0e-0.002 5t=,即e-0.002 5t=,
-0.002 5t=ln,利用计算器解得t≈277.26,
所以278年后将会有一半的臭氧消失.
谢 谢

展开更多......

收起↑