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(共28张PPT)
4.5.3　函数模型的应用
素养目标 思维导图
1.理解函数是描述客观世界中变量关系 和规律的重要数学语言和工具,在实际情 境中,会选择合适的函数类型刻画现实问 题的变化规律(数学建模、直观想象). 2.结合现实情境中的具体问题,利用计算 工具,比较对数函数、指数函数增长速度 的差异,理解“对数增长”“指数爆炸”等术 语的现实含义(数学抽象).
课堂合作探究
探究点一　指数函数模型
【典例1】某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下列
问题:
(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式.
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人).
(3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年).
(1.01210≈1.127,log1.0121.20≈15)
【思维导引】具体列出一年后、二年后、三年后的人口总数,利用归纳的方法,
确定函数关系.
【解析】(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100(1+1.2%),
2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100(1+1.2%)2,
3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2·1.2%=100(1+1.2%)3,
x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.
(2)10年后该城市人口数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万).
(3)设x年后该城市人口将达到120万,
即100×(1+1.2%)x=120,
所以1.012x=1.20.
所以x=log1.012 1.20≈15(年).
【类题通法】指数型函数模型在生活中的应用
(1)在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指
数型函数模型表示.通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)
的形式.
(2)增长率问题多抽象为指数函数形式,当由指数函数形式来确定相关的量的值要
求不严格时,可以通过图象近似求解.用函数的图象求解未知量的值或确定变量的
取值范围,是数学中常用的方法之一.
【定向训练】
(2025·常州高一检测)教室通风的目的是通过空气的流动,排出室内的污浊空气和
致病微生物,降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度,送进室外的新鲜空气.按照国
家标准,教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%,经测定,教室内空气中含有
0.25%的二氧化碳,若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%,且y随时间t(单位:分
钟)的变化规律可以用函数y=0.05+λ(λ∈R)描述,则该教室内的二氧化碳浓度
达到国家标准需要的时间t(单位:分钟)的最小整数值为(　　)
(参考数据:ln 2≈0.693,ln 3≈1.098)
A.6 B.7 C.10 D.11
【解析】选B.依题意,当t=0时,y=0.05+λ=0.05+λ=0.25,
解得λ=0.2,
所以y=0.05+0.2,由y=0.05+0.2≤0.15得≤,
所以ln()≤ln ,则-≤-ln 2,
故t≥10×ln 2≈10×0.693=6.93,
所以t的最小整数值为7.
探究点二　对数函数模型
【典例2】(13分)(2025·上海高一检测)声音强度D(分贝)由公式D=10lg( )给出,
其中I(W/cm2)为声音能量.当声音能量小于10-16W/cm2时,人听不见声音.当声音强
度大于60分贝时,属于噪声,70分贝开始损害听力神经,90分贝以上就会使听力受损,
而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内,一分钟就会暂时性失聪.
(1)求I=10-13W/cm2时的声音强度;
(2)求噪声的能量范围;
(3)当能量达到多少时,人会暂时性失聪
【思维导引】(1)将I=10-13W/cm2代入公式求出声音强度.
(2)根据题意,得到60=10lg( ),解出I.
(3)令100=10lg( ),120=10lg( ),解得I1,I2即可.
【解析】(1)将I=10-13W/cm2代入公式,
可得D=10lg( ) =30(分贝).……3分
(2)噪声的声音强度大于60分贝,代入公式可得60=10lg( ),
解得I=106×10-16=10-10(W/cm2). ……5分
故噪声的能量范围为{I|I>10-10}. ……7分
(3)人在100分贝至120分贝的空间内会暂时性失聪.
令100=10lg(),解得I1=10-6, ……9分
令120=10lg(),解得I2=10-4, ……12分
所以当能量达到10-6W/cm2~10-4W/cm2时,人会暂时性失聪. ……13分
【类题通法】
对数函数y=logax(x>0,a>1)经复合可以得到对数型函数,其函数值变化比较缓慢.
直接以对数型函数作为模型的应用问题不是很多,但我们知道,对数运算实际上是
求指数的运算,因此在指数函数模型中,也常用对数计算.
【定向训练】
1.土地沙漠化的治理,对中国乃至世界来说都是一个难题,我国创造了治沙成功案
例——毛乌素沙漠.某沙漠经过一段时间的治理,已有1 000公顷植被,假设每年植被
面积以20%的增长率呈指数增长,按这种规律发展下去,则植被面积达到4 000公顷
至少需要经过的年数为(　　)
(参考数据:取lg 2≈0.3,lg 3≈0.48)
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】选C.设经过x∈N年后,植被面积为1 000×公顷,由1 000×≥4 000,
得x≥4.
因为4===≈7.5,所以x≥7.5,
又因为x∈N,故植被面积达到4 000公顷至少需要经过的年数为8.
2.我们处在一个有声的世界里,不同场合人们对声音的音量会有不同的要求.音量
大小的单位是分贝(dB).对于一个强度为I的声波,其音量的大小η可由如下公式计
算:η=10·lg (其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度).设η1=70 dB的声音强度
为I1,η2=60 dB的声音强度为I2,则I1是I2的(　　)
A.倍　 B.10倍　
C.10倍　 D.ln 倍
【解析】选B.由题意得,70=10lg ,则I1=I0×107.同理得I2=I0×106,所以=10.
3.探月工程嫦娥五号任务的圆满成功,标志着探月工程“绕、落、回”三步走规划圆满收官.近
年来,得益于我国先进的运载火箭技术,我国在航天领域取得了巨大成就.据了解,在不考虑空
气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式v=v0×ln 计算火箭的最大速度v,其中v0(单
位:m/s)是喷流相对速度,m(单位:kg)是火箭(除推进器外)的质量,M(单位:kg)是推进器与火箭
质量的总和,称为“总质比”,已知A型火箭的喷流相对速度为1 000 m/s.
(1)当“总质比”为200时,利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度;
(2)经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍,“总质比”变为
原来的,若要使火箭的最大速度至少增加500 m/s,求在材料更新和技术改进前“总质比”的最
小整数值.(参考数据:ln 200≈5.3,2.718【解析】(1)依题意,得v=v0ln =1 000×ln 200≈1 000×5.3=5 300(m/s).
(2)材料更新和技术改进前火箭的最大速度v1=v0ln =1 000ln ,材料更新和技术改进后火箭
的最大速度v2=v0ln =1 500ln .
若要使火箭的最大速度至少增加500 m/s,则v2-v1=1 500ln -1 000ln ≥500,即3ln -2ln ≥1,
所以3ln -2ln =ln()3-ln()2=ln =ln ≥1,即≥e,所以≥27e.
因为2.71873.386,
所以在材料更新和技术改进前“总质比”的最小整数值为74.
探究点三　拟合函数模型的应用
【典例3】某新型企业为获得更大利润,须不断加大投资,若预计年利润低于10%时,则该企业
就考虑转型,如表显示的是某企业几年来利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组
数据:
给出以下3个函数模型:
①y=-x+b;②y=abx(a≠0,b>0且b≠1);
③y=loga(x+b)(a>0且a≠1).
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间的关系,并求出其解析式;
(2)试判断该企业年利润为6百万元时,该企业是否要考虑转型.
年份 2018 2019 2020 2021 …
投资成本x 3 5 9 17 …
年利润y 1 2 3 4 …
【思维导引】(1)结合表格数据选择函数模型即可;
(2)结合题意判断企业是否需要转型即可.
【解析】(1)由表格中的数据可知,年利润y是随着投资成本x的递增而递增的,
而①y=-x+b单调递减,所以不符合题意;
将(3,1),(5,2)代入y=abx(a≠0,b>0且b≠1),
得,解得,
所以y=·()x=.
当x=9时,y=23=8,所以不符合题意;
将(3,1),(5,2)代入y=loga(x+b)(a>0且a≠1),得,解得,
所以y=log2(x-1),
当x=9时,y=log28=3,
当x=17时,y=log216=4,
所以符合题意,故可用③来描述x,y之间的关系.
(2)令log2(x-1)=6,则x=65,
因为年利润≈9.2%<10%,即年利润低于10%,所以该企业要考虑转型.
【类题通法】数据拟合问题的三种求解策略
(1)直接法:若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题中直接给出了需要用
的数学模型,则可直接代入表中的数据,问题即可获解.
(2)列式比较法:若题目所涉及的是最优化方案问题,则可根据表格中的数据先列式,
然后进行比较.
(3)描点观察法:可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点,作出散点图,然后观察
这些点的位置变化情况,确定所需要用的数学模型,问题即可顺利解决.
课堂练习
1.在一次数学实验中,采集到如下几组数据:
则x,y的函数关系最接近(其中a,b为待定系数)函数 (　　)
A.y=a+bx　B.y=bx　C.y=ax2+b　D.y=
x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
√
【解析】选B.散点图如图所示:
由散点图可知,此函数图象不是直线,排除A;此函数图象是上升的,是增函数,排除
C,D.
2.某林场计划第一年造林10 000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林
(　　)
A.14 400亩 B.172 800亩
C.17 280亩 D.20 736亩
【解析】选C.因为年增长率为20%,所以第四年造林为10 000×(1+20%)3=
17 280(亩).
√
3.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游
速可以表示为函数v=log3,单位是 m/s,其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当一
条鲑鱼的耗氧量是2 700个单位时,它的游速是　　　　　m/s.
【解析】当O=2 700时,v=log3=log3=log327=(m/s).
答案:
4.为了保证信息安全传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下:
已知加密函数为y=ax-2(x为明文、y为密文),如果明文“3”通过加密后得到密文为
“6”,再发送,接受方通过解密得到明文“3”,若接受方接到密文为“14”,则原发的明文
是　　　　.
【解析】依题意y=ax-2中,当x=3时,y=6,
故6=a3-2,解得a=2,所以加密函数为y=2x-2,因此当y=14时,由14=2x-2,解得x=4.
答案:4
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