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7.2 离散型随机变量及其分布列
知识点一　随机变量的概念及判定　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 随机变量的概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有　唯一　的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.
2. 离散型随机变量：可能取值为　有限个　或可以　一一列举　的随机变量，我们称之为离散型随机变量. 通常用　大写英文字母　表示随机变量，用　小写英文字母　表示随机变量的取值.
点拨：对随机变量的理解：
(1)随机变量的取值是将随机试验的结果数量化；
(2)随机变量的取值对应于某随机试验的某一次随机结果；
(3)有些随机试验的结果不具有数量关系，但仍可以用数量来表示；
(4)对随机变量的所有可能取值都要明确，不能重复也不能遗漏.
例1　(1)已知袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个球，下列可以作为离散型随机变量的是 (　C　)
A. 至少取到1个白球　B. 至多取到1个白球
C. 取到白球的个数　　D. 取到的球的个数
【解析】根据离散型随机变量的定义可得，选项C是离散型随机变量，其结果可以一一列出，用随机变量X表示取到白球的个数，则X的可能取值为0，1，2.
(2)指出下列随机变量是否为离散型随机变量，并说明理由.
①白炽灯的寿命；
②某长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化时，该水位站所测水位；
③一个学习小组有5个男同学和5个女同学，从中任取3人，其中男同学的人数.
解：①不是离散型随机变量.白炽灯的寿命的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出.
②不是离散型随机变量.水位在(0，29]这一范围内连续变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出.
③是离散型随机变量.从10个人中取3人，所得的结果有限，且其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.
[反思感悟]　判断离散型随机变量的方法：
(1)明确随机试验的所有可能结果.
(2)将随机试验的结果数量化.
(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.
知识点二　离散型随机变量的分布列及性质　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率　P(X=xi)=pi　，i=1，2，3，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
离散型随机变量的分布列可以用表格表示：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
2. 离散型随机变量的分布列的性质：
(1)　pi≥0　，i=1，2，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pn=　1　.
例2　(1)设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：①2X＋1的分布列；②|X－1|的分布列.
解：①由分布列的性质，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m=1，∴m=0.3.
依题意，2X＋1的取值为1，3，5，7，9，则2X＋1的分布列为
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
②依题意，知|X－1|的取值为0，1，2，3，
又P(|X－1|=1)=P(X=0)＋P(X=2)=0.3，则|X－1|的分布列为
|X－1| 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
(2)设随机变量X的分布列P=ak(k=1，2，3，4，5).
求：①常数a的值；②P.
解：①由题意，所给分布列为
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a=1，解得a=.
②方法一　P=P＋P＋P(X=1)=.
方法二　P=1－P=1－.　
[延伸探究]　若本例(2)条件不变，求P.
解：∵＜X＜，∴X=.
∴P=P＋P＋P.
[反思感悟]　求离散型随机变量的分布列的关键：
(1)找出随机变量的所有可能取值.
(2)计算每一个取值所对应的概率，并利用分布列的性质对计算结果进行检验.
知识点三　两点分布　　　　　　　　　　　　　　　　
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X=如果P(A)=p，则P()=1－p，那么X的分布列如表所示.
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从　两点　分布或0－1分布.
点拨： 两点分布的特点：
(1)两点分布中只有两个结果，且两个结果是对立的；
(2)由对立事件的概率可知P(X=0)＋P(X=1)=1.
例3　一个袋中有质地、大小完全相同的3个白球和4个红球.
(1)从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，设X=求X的分布列；
(2)从中任意摸出2个球，
设η=求η的分布列.
解：(1)依题意，X服从两点分布，
P(X=0)=，P(X=1)=，
∴X的分布列为
X 0 1
P
(2)由题意知，P(η=0)=，P(η=1)=，∴η的分布列为
η 0 1
P
[反思感悟]　判断一个分布是否为两点分布：
(1)看取值：随机变量只取0和1.
(2)验概率：检验P(X=0)＋P(X=1)=1是否成立.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列说法中，X不可以作为离散型随机变量的是　(　C　)
A. 某座大桥一天经过的车辆数X
B. 某手机号码一天之内收到的短信条数X
C. 一天之内的温度X
D. 一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分
2. 已知随机变量X的分布列如表所示，则P(X=2)等于(　C　)
X 1 2 3
P a 2a 3a
A. B.
C. D.
3. 某人正在进行射击练习，现有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，设射击次数为ξ，则“ξ=5”表示的试验结果是　前4次未击中目标(或第5次才击中目标)　.
4. 一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量X，则P= 　. (共23张PPT)
二、离散型随机变量及其分布列
高中数学 选择性必修 第三册
随机变量及其分布
第七章
知识点一
1. 随机变量的概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有______的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.
2. 离散型随机变量：可能取值为________或可以__________的随机变量，我们称之为离散型随机变量. 通常用______________表示随机变量，用______________表示随机变量的取值.
知识点一　随机变量的概念及判定
唯一
有限个
一一列举
大写英文字母
小写英文字母　
点拨：对随机变量的理解：
(1)随机变量的取值是将随机试验的结果数量化；
(2)随机变量的取值对应于某随机试验的某一次随机结果；
(3)有些随机试验的结果不具有数量关系，但仍可以用数量来表示；
(4)对随机变量的所有可能取值都要明确，不能重复也不能遗漏.
例1　(1)已知袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个球，下列可以作为离散型随机变量的是 (　　)
A. 至少取到1个白球　 B. 至多取到1个白球
C. 取到白球的个数　　 D. 取到的球的个数
【解析】根据离散型随机变量的定义可得，选项C是离散型随机变量，其结果可以一一列出，用随机变量X表示取到白球的个数，则X的可能取值为0，1，2.
C
(2)指出下列随机变量是否为离散型随机变量，并说明理由.
①白炽灯的寿命；
②某长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化时，该水位站所测水位；
③一个学习小组有5个男同学和5个女同学，从中任取3人，其中男同学的人数.
解：①不是离散型随机变量.白炽灯的寿命的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出.
②不是离散型随机变量.水位在(0，29]这一范围内连续变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出.
③是离散型随机变量.从10个人中取3人，所得的结果有限，且其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.
[反思感悟]　判断离散型随机变量的方法：
(1)明确随机试验的所有可能结果.
(2)将随机试验的结果数量化.
(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.
知识点二
1. 离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率____________________，i=1，2，3，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
离散型随机变量的分布列可以用表格表示：
2. 离散型随机变量的分布列的性质：
(1)_____________，i=1，2，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pn=__________.
知识点二　离散型随机变量的分布列及性质
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
　P(X=xi)=pi
pi≥0
1
例2　(1)设离散型随机变量X的分布列为
求：①2X＋1的分布列；②|X－1|的分布列.
解：①由分布列的性质，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m=1，∴m=0.3.
依题意，2X＋1的取值为1，3，5，7，9，则2X＋1的分布列为
②依题意，知|X－1|的取值为0，1，2，3，
又P(|X－1|=1)=P(X=0)＋P(X=2)=0.3，则|X－1|的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
|X－1| 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
(2)设随机变量X的分布列P=ak(k=1，2，3，4，5).
求：①常数a的值；②P.
解：①由题意，所给分布列为
由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a=1，解得a=.
②方法一　P=P＋P＋P(X=1)=.
方法二　P=1－P=1－.　
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
[延伸探究]　若本例(2)条件不变，求P.
解：∵＜X＜，∴X=.
∴P=P＋P＋P.
[反思感悟]　求离散型随机变量的分布列的关键：
(1)找出随机变量的所有可能取值.
(2)计算每一个取值所对应的概率，并利用分布列的性质对计算结果进行检验.
知识点三
知识点三　两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X=如果P(A)=p，则P()=1－p，那么X的分布列如表所示.
我们称X服从______________分布或0－1分布.
X 0 1
P 1－p p
两点
点拨： 两点分布的特点：
(1)两点分布中只有两个结果，且两个结果是对立的；
(2)由对立事件的概率可知P(X=0)＋P(X=1)=1.
例3　一个袋中有质地、大小完全相同的3个白球和4个红球.
(1)从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，设X=求X的分布列；
(2)从中任意摸出2个球，
设η=求η的分布列.
解：(1)依题意，X服从两点分布，
P(X=0)=，P(X=1)=，
∴X的分布列为
X 0 1
P
(2)由题意知，P(η=0)=，P(η=1)=，∴η的分布列为
η 0 1
P
[反思感悟]　判断一个分布是否为两点分布：
(1)看取值：随机变量只取0和1.
(2)验概率：检验P(X=0)＋P(X=1)=1是否成立.
随堂巩固
1. 下列说法中，X不可以作为离散型随机变量的是　(　　)
A. 某座大桥一天经过的车辆数X
B. 某手机号码一天之内收到的短信条数X
C. 一天之内的温度X
D. 一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分
C　
2. 已知随机变量X的分布列如表所示，则P(X=2)等于(　　)
A.
C.
X 1 2 3
P a 2a 3a
C　
3. 某人正在进行射击练习，现有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，设射击次数为ξ，则“ξ=5”表示的试验结果是________________________________________.
前4次未击中目标(或第5次才击中目标)
4. 一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量X，则P=____.
7.2 离散型随机变量及其分布列
知识点一　随机变量的概念及判定　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 随机变量的概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有　 　的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.
2. 离散型随机变量：可能取值为　 　或可以　 　的随机变量，我们称之为离散型随机变量. 通常用　 　表示随机变量，用　 　表示随机变量的取值.
点拨：对随机变量的理解：
(1)随机变量的取值是将随机试验的结果数量化；
(2)随机变量的取值对应于某随机试验的某一次随机结果；
(3)有些随机试验的结果不具有数量关系，但仍可以用数量来表示；
(4)对随机变量的所有可能取值都要明确，不能重复也不能遗漏.
例1　(1)已知袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个球，下列可以作为离散型随机变量的是 (　 　)
A. 至少取到1个白球　B. 至多取到1个白球
C. 取到白球的个数　　D. 取到的球的个数
(2)指出下列随机变量是否为离散型随机变量，并说明理由.
①白炽灯的寿命；
②某长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化时，该水位站所测水位；
③一个学习小组有5个男同学和5个女同学，从中任取3人，其中男同学的人数.
[反思感悟]　判断离散型随机变量的方法：
(1)明确随机试验的所有可能结果.
(2)将随机试验的结果数量化.
(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.
知识点二　离散型随机变量的分布列及性质　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率　 　，i=1，2，3，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
离散型随机变量的分布列可以用表格表示：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
2. 离散型随机变量的分布列的性质：
(1)　 　，i=1，2，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pn=　 　.
例2　(1)设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：①2X＋1的分布列；②|X－1|的分布列.
(2)设随机变量X的分布列P=ak(k=1，2，3，4，5).
求：①常数a的值；②P.
[延伸探究]　若本例(2)条件不变，求P.
[反思感悟]　求离散型随机变量的分布列的关键：
(1)找出随机变量的所有可能取值.
(2)计算每一个取值所对应的概率，并利用分布列的性质对计算结果进行检验.
知识点三　两点分布　　　　　　　　　　　　　　　　
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X=如果P(A)=p，则P()=1－p，那么X的分布列如表所示.
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从　 　分布或0－1分布.
点拨： 两点分布的特点：
(1)两点分布中只有两个结果，且两个结果是对立的；
(2)由对立事件的概率可知P(X=0)＋P(X=1)=1.
例3　一个袋中有质地、大小完全相同的3个白球和4个红球.
(1)从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，设X=求X的分布列；
(2)从中任意摸出2个球，
设η=求η的分布列.
[反思感悟]　判断一个分布是否为两点分布：
(1)看取值：随机变量只取0和1.
(2)验概率：检验P(X=0)＋P(X=1)=1是否成立.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列说法中，X不可以作为离散型随机变量的是　(　 　)
A. 某座大桥一天经过的车辆数X
B. 某手机号码一天之内收到的短信条数X
C. 一天之内的温度X
D. 一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分
2. 已知随机变量X的分布列如表所示，则P(X=2)等于(　 　)
X 1 2 3
P a 2a 3a
A. B.
C. D.
3. 某人正在进行射击练习，现有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，设射击次数为ξ，则“ξ=5”表示的试验结果是　 　.
4. 一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量X，则P= 　.

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