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三、离散型随机变量的数字特征
导学1　离散型随机变量的均值
高中数学 选择性必修 第三册
随机变量及其分布
第七章
知识点一
1. 均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示，
则称E(X)=____________________________=xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称____________.
2. 两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=______________
_____________ .
知识点一　离散型随机变量的均值
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
　x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
期望
0×(1－p)＋1　
×p=p
点拨：1. 均值是随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数.
2. 随机变量的均值是一个确定的数，样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动.
例1　(1)(2025·广东惠州高二检测)若离散型随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=3P(X=1)，则E(X)=___.
【解析】∵随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=3P(X=1)，P(X=0)＋P(X=1)=1，∴P(X=0)=，P(X=1)=，∴E(X)=0×＋1×.

(2)(2025·广东韶关高二期末)一个袋子中有大小相同的6个小球，分别标记着1，2，2，3，4，5，现从中随机摸出3个小球.记摸到的小球上的数字的最小值为X.求：
①P(X=2)；
②X的分布列和数学期望.
解：①从中随机摸出3个小球共有=20(种)，
摸到的小球上的数字的最小值为X=2，则3个球中至少有一个是2号球，且不能有比它小的1号球，
∴3个小球中只有一个2的有=6(种)，恰有两个2的有=3(种)，则P(X=2)=.
②根据题意X的取值可以为1，2，3，
P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，∴X的分布列为
E(X)=1×＋2×＋3×.
X 1 2 3
P
[反思感悟]　求随机变量X的均值的步骤：
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值；
(2)求出X取每个值的概率P(X=k)；
(3)写出X的分布列；
(4)利用均值的定义求E(X).
知识点二
离散型随机变量的均值的性质：
若Y=aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)=____________.
知识点二　离散型随机变量均值的性质
aE(X)＋b
例2　 已知随机变量X的分布列为
若Y=－2X，则E(Y)=____.
【解析】由分布列的性质，得＋m＋=1，解得m=，∴E(X)=(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×=－.
由Y=－2X，得E(Y)=－2E(X)，即E(Y)=－2×.
X －2 －1 0 1 2
P m

[延伸探究1]　本例条件不变，若Y=2X－3，求E(Y).
解：由本例知E(X)=－，则E(Y)=E(2X－3)=2E(X)－3=2×－3=－.
[延伸探究2]　本例条件不变，若Y=aX＋3，且E(Y)=－，求a的值.
解：由本例知E(X)=－，则E(Y)=E(aX＋3)=aE(X)＋3=－a＋3=－，∴a=15.
[反思感悟]　求线性关系的随机变量η=aξ＋b的均值的方法：
(1)定义法：先列出η的分布列，再求均值.
(2)性质法：直接套用公式，E(η)=E(aξ＋b)=aE(ξ)＋b，求解即可.
知识点三
知识点三　离散型随机变量均值的应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(2025·安徽铜陵期末)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：
方案一　投资股市.
方案二　购买基金.
投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概率
投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概率 p q
(1)当p=时，求q的值；
(2)若要将10万元钱进行投资，决定在投资股市和购买基金这两种方案中选择一种，已知p=，q=，那么选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？请给出结果并说明理由.
解：(1)购买基金后，投资结果有“获利20%”“不赔不赚”和“亏损10%”三种，且三种投资结果相互独立，
则p＋＋q=1，且p=，∴＋q=1，解得q=.
(2)假设选择投资股市的方案进行投资，且记X为投资股票的获利金额(单位：万元)，
随机变量X的分布列为
X 4 0 －2
P
则E(X)=4×＋0×＋(－2)×；
假设选择购买基金的方案进行投资，且记Y为购买基金的获利金额(单位：万元)，
随机变量Y的分布列为
则E(Y)=2×＋0×＋(－1)×；
∵E(X)＞E(Y)，
∴选择投资股市，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大.　
Y 2 0 －1
P
随堂巩固
1. 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为(　　)
A. 0 B.
C. 1 D. －1
A　
2. 已知离散型随机变量Y的分布列为
数学期望E(Y)等于(　　)
A.
C. 1 D. 2
Y 0 1 2
P
B　
3. 已知随机变量X的分布列如表所示，若E(X)=5，则a等于(　　)
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
X 3 a
P b
C
4. 利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是__________.
自然状况 方案盈利概率 A1 A2 A3 A4
S1 0.25 50 70 －20 98
S2 0.30 65 26 52 82
S3 0.45 26 16 78 －10
　A37.3 导学1　离散型随机变量的均值
知识点一　离散型随机变量的均值　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E(X)=　 　=xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称　 　.
2. 两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=　 　.
点拨：1. 均值是随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数.
2. 随机变量的均值是一个确定的数，样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动.
例1　(1)(2025·广东惠州高二检测)若离散型随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=3P(X=1)，则E(X)= 　.
(2)(2025·广东韶关高二期末)一个袋子中有大小相同的6个小球，分别标记着1，2，2，3，4，5，现从中随机摸出3个小球.记摸到的小球上的数字的最小值为X.求：
①P(X=2)；
②X的分布列和数学期望.
[反思感悟]　求随机变量X的均值的步骤：
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值；
(2)求出X取每个值的概率P(X=k)；
(3)写出X的分布列；
(4)利用均值的定义求E(X).
知识点二　离散型随机变量均值的性质　　　　　　　　　　　　　　　　
离散型随机变量的均值的性质：
若Y=aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)=　 　.
例2　 已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2
P m
若Y=－2X，则E(Y)= 　.
[延伸探究1]　本例条件不变，若Y=2X－3，求E(Y).
[延伸探究2]　本例条件不变，若Y=aX＋3，且E(Y)=－，求a的值.
[反思感悟]　求线性关系的随机变量η=aξ＋b的均值的方法：
(1)定义法：先列出η的分布列，再求均值.
(2)性质法：直接套用公式，E(η)=E(aξ＋b)=aE(ξ)＋b，求解即可.
知识点三　离散型随机变量均值的应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(2025·安徽铜陵期末)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：
方案一　投资股市.
投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概率
方案二　购买基金.
投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概率 p q
(1)当p=时，求q的值；
(2)若要将10万元钱进行投资，决定在投资股市和购买基金这两种方案中选择一种，已知p=，q=，那么选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？请给出结果并说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为(　 　)
A. 0 B.
C. 1 D. －1
2. 已知离散型随机变量Y的分布列为
Y 0 1 2
P
数学期望E(Y)等于(　 　)
A. B.
C. 1 D. 2
3. 已知随机变量X的分布列如表所示，若E(X)=5，则a等于(　 　)
X 3 a
P b
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
4. 利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是　 　.
自然状况 方案盈利概率 A1 A2 A3 A4
S1 0.25 50 70 －20 98
S2 0.30 65 26 52 82
S3 0.45 26 16 78 －107.3 导学1　离散型随机变量的均值
知识点一　离散型随机变量的均值　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E(X)=　x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　=xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称　期望　.
2. 两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=　0×(1－p)＋1×p=p　.
点拨：1. 均值是随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数.
2. 随机变量的均值是一个确定的数，样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动.
例1　(1)(2025·广东惠州高二检测)若离散型随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=3P(X=1)，则E(X)= 　.
【解析】∵随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=3P(X=1)，P(X=0)＋P(X=1)=1，∴P(X=0)=，P(X=1)=，∴E(X)=0×＋1×.
(2)(2025·广东韶关高二期末)一个袋子中有大小相同的6个小球，分别标记着1，2，2，3，4，5，现从中随机摸出3个小球.记摸到的小球上的数字的最小值为X.求：
①P(X=2)；
②X的分布列和数学期望.
解：①从中随机摸出3个小球共有=20(种)，
摸到的小球上的数字的最小值为X=2，则3个球中至少有一个是2号球，且不能有比它小的1号球，
∴3个小球中只有一个2的有=6(种)，恰有两个2的有=3(种)，则P(X=2)=.
②根据题意X的取值可以为1，2，3，
P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，∴X的分布列为
X 1 2 3
P
E(X)=1×＋2×＋3×.
[反思感悟]　求随机变量X的均值的步骤：
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值；
(2)求出X取每个值的概率P(X=k)；
(3)写出X的分布列；
(4)利用均值的定义求E(X).
知识点二　离散型随机变量均值的性质　　　　　　　　　　　　　　　　
离散型随机变量的均值的性质：
若Y=aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)=　aE(X)＋b　.
例2　 已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2
P m
若Y=－2X，则E(Y)= 　.
【解析】由分布列的性质，得＋m＋=1，解得m=，∴E(X)=(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×=－.
由Y=－2X，得E(Y)=－2E(X)，即E(Y)=－2×.
[延伸探究1]　本例条件不变，若Y=2X－3，求E(Y).
解：由本例知E(X)=－，则E(Y)=E(2X－3)=2E(X)－3=2×－3=－.
[延伸探究2]　本例条件不变，若Y=aX＋3，且E(Y)=－，求a的值.
解：由本例知E(X)=－，则E(Y)=E(aX＋3)=aE(X)＋3=－a＋3=－，∴a=15.
[反思感悟]　求线性关系的随机变量η=aξ＋b的均值的方法：
(1)定义法：先列出η的分布列，再求均值.
(2)性质法：直接套用公式，E(η)=E(aξ＋b)=aE(ξ)＋b，求解即可.
知识点三　离散型随机变量均值的应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(2025·安徽铜陵期末)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：
方案一　投资股市.
投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概率
方案二　购买基金.
投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概率 p q
(1)当p=时，求q的值；
(2)若要将10万元钱进行投资，决定在投资股市和购买基金这两种方案中选择一种，已知p=，q=，那么选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？请给出结果并说明理由.
解：(1)购买基金后，投资结果有“获利20%”“不赔不赚”和“亏损10%”三种，且三种投资结果相互独立，
则p＋＋q=1，且p=，∴＋q=1，解得q=.
(2)假设选择投资股市的方案进行投资，且记X为投资股票的获利金额(单位：万元)，
随机变量X的分布列为
X 4 0 －2
P
则E(X)=4×＋0×＋(－2)×；
假设选择购买基金的方案进行投资，且记Y为购买基金的获利金额(单位：万元)，
随机变量Y的分布列为
Y 2 0 －1
P
则E(Y)=2×＋0×＋(－1)×；
∵E(X)＞E(Y)，
∴选择投资股市，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大.　
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为(　A　)
A. 0 B.
C. 1 D. －1
2. 已知离散型随机变量Y的分布列为
Y 0 1 2
P
数学期望E(Y)等于(　B　)
A. B.
C. 1 D. 2
3. 已知随机变量X的分布列如表所示，若E(X)=5，则a等于(　C　)
X 3 a
P b
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
4. 利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是　A3　.
自然状况 方案盈利概率 A1 A2 A3 A4
S1 0.25 50 70 －20 98
S2 0.30 65 26 52 82
S3 0.45 26 16 78 －10

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