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三、离散型随机变量的数字特征
导学2　离散型随机变量的方差
高中数学 选择性必修 第三册
随机变量及其分布
第七章
知识点一
1. 方差：设离散型随机变量X的分布列为
D(X)=_____________________________________________=
(xi－E(X))2pi能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差.并称为随机变量X的____________，记为σ(X).
知识点一　离散型随机变量的方差
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2
　标准差
2. 方差与标准差的意义.
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越______；方差或标准差越大，随机变量的取值越______.
集中
分散
例1　(2025·北京高二期中)将6个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~6.现从中任取3个球，以X表示取出球的最大号码.
求：(1)X的分布列；
(2)X的期望及方差.
解：(1)由已知可得随机变量X的可能取值有：3，4，5，6，
∴P(X=3)=，P(X=4)=，P(X=5)=，P(X=6)=，
∴分布列为
(2)E(X)=3×＋4×＋5×＋6×，
D(X)=.
X 3 4 5 6
P
[反思感悟]　求离散型随机变量方差的步骤：
(1)明确随机变量的所有可能取值，并理解每一个取值的意义.
(2)求出随机变量各个取值的概率.
(3)列出随机变量的分布列.
(4)由分布列计算E(X)，进而求出随机变量的方差D(X).
知识点二
设a，b为常数，X为离散型随机变量，则
(1)D(X＋b)=__________.
(2)D(aX＋b)=__________.
(3)若X服从两点分布，则D(X)=___________.
(4)D(X)=E(X2)－(E(X))2.
知识点二　离散型随机变量的方差的性质
D(X)　
a2D(X)
p(1－p)
例2　(1)(2025·辽宁葫芦岛高二检测)已知离散型随机变量X满足D(X)=0.01，且3X＋Y=1，则D(Y)等于(　　)
A. 0.07 B. 0.03
C. 0.09 D. －0.09
【解析】由3X＋Y=1有Y=1－3X，∴D(Y)=(－3)2D(X)=9×0.01=0.09.
C
(2)已知随机变量X的分布列为
若E(X)=，
(i)求D(X)；
(ii)若Y=3X－2，求.
解：由分布列的性质，得＋p=1，解得p=.
∵E(X)=0×＋1×x=，∴x=2.
(i)方法一　D(X)=.
方法二　D(X)=E(X2)－(E(X))2=02×＋12×＋22×=1－.
(ii)∵Y=3X－2，∴D(Y)=D(3X－2)=9D(X)=5，∴.
X 0 1 x
P p
[反思感悟]　求随机变量Y=aX＋b的方差的两种方法：
(1)先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；
(2)运用公式D(aX＋b)=a2D(X)求解.
知识点三
知识点三　方差的实际应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(2025·云南昆明高二期末)某投资公司在2025年年初准备将1 000万元投到“低碳”项目上，现有两个“低碳”项目供选择：
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资该项目，到年底可能获利40%，也可能亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资该项目，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为. 设投资项目一和项目二的收益分别为ξ1万元和ξ2万元.
(1)试分别写出随机变量ξ1和ξ2的分布列；
解：由题意随机变量ξ1和ξ2的分布列为
(2)针对以上两个投资项目，请你从投资收益的角度，为投资公司选择一个合理的投资项目，并说明理由.
解：E(ξ1)=400×＋(－100)×=200(万元)，
E(ξ2)=500×＋(－300)×＋0×=200(万元)，
又D(ξ1)=(400－200)2×＋(－100－200)2×=60 000，
D(ξ2)=(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×=140 000，
由E(ξ1)=E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)说明项目一、项目二获利的期望值相等，但项目一的获利更稳定，
综上，该投资公司投资项目一更合理.
ξ1 400 －100
P
ξ2 500 －300 0
P
[反思感悟]　均值、方差在决策中的作用：
(1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高.
(2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定.
(3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断.
随堂巩固
1. (2025·陕西商洛高二期末)若随机变量X满足P(X=2)=0.4，P(X=7)=0.6，则下列说法中，正确的是(　　)
A. E(X)=4.6 B. E(X)=4
C. D(X)=6 D. D(X)=6.4
C　
2. 已知离散型随机变量X的分布列为
其方差D(X)等于(　　)
A. 1 B. 0.6
C. 2.44 D. 2.4
X 1 3 5
P 0.5 m 0.2
C
3. 有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值相等，方差分别为D(X甲)=11，D(X乙)=3.4.由此可以估计(　　)
A. 甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B. 乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C. 甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D. 甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
B
4. 设随机试验的结果只有A发生和A不发生，且A发生的概率P(A)=m，令随机变量X=则X的方差D(X)等于(　　)
A. m B. 2m(1－m)
C. m(m－1) D. m(1－m)
D7.3 导学2　离散型随机变量的方差
知识点一　离散型随机变量的方差　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 方差：设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
D(X)=　 =
(xi－E(X))2pi能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差.并称为随机变量X的　 　，记为σ(X).
2. 方差与标准差的意义.
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越　 　；方差或标准差越大，随机变量的取值越　 　.
例1　(2025·北京高二期中)将6个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~6.现从中任取3个球，以X表示取出球的最大号码.
求：(1)X的分布列；
(2)X的期望及方差.
[反思感悟]　求离散型随机变量方差的步骤：
(1)明确随机变量的所有可能取值，并理解每一个取值的意义.
(2)求出随机变量各个取值的概率.
(3)列出随机变量的分布列.
(4)由分布列计算E(X)，进而求出随机变量的方差D(X).
知识点二　离散型随机变量的方差的性质　　　　　　　　　　　　　　　　
设a，b为常数，X为离散型随机变量，则
(1)D(X＋b)=　 　.
(2)D(aX＋b)=　 　.
(3)若X服从两点分布，则D(X)=　 　.
(4)D(X)=E(X2)－(E(X))2.
例2　(1)(2025·辽宁葫芦岛高二检测)已知离散型随机变量X满足D(X)=0.01，且3X＋Y=1，则D(Y)等于(　 　)
A. 0.07 B. 0.03
C. 0.09 D. －0.09
(2)已知随机变量X的分布列为
X 0 1 x
P p
若E(X)=，
(i)求D(X)；
(ii)若Y=3X－2，求.
[反思感悟]　求随机变量Y=aX＋b的方差的两种方法：
(1)先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；
(2)运用公式D(aX＋b)=a2D(X)求解.
知识点三　方差的实际应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(2025·云南昆明高二期末)某投资公司在2025年年初准备将1 000万元投到“低碳”项目上，现有两个“低碳”项目供选择：
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资该项目，到年底可能获利40%，也可能亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资该项目，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为. 设投资项目一和项目二的收益分别为ξ1万元和ξ2万元.
(1)试分别写出随机变量ξ1和ξ2的分布列；
(2)针对以上两个投资项目，请你从投资收益的角度，为投资公司选择一个合理的投资项目，并说明理由.
[反思感悟]　均值、方差在决策中的作用：
(1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高.
(2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定.
(3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. (2025·陕西商洛高二期末)若随机变量X满足P(X=2)=0.4，P(X=7)=0.6，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. E(X)=4.6 B. E(X)=4
C. D(X)=6 D. D(X)=6.4
2. 已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 3 5
P 0.5 m 0.2
其方差D(X)等于(　 　)
A. 1 B. 0.6
C. 2.44 D. 2.4
3. 有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值相等，方差分别为D(X甲)=11，D(X乙)=3.4.由此可以估计(　 　)
A. 甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B. 乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C. 甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D. 甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
4. 设随机试验的结果只有A发生和A不发生，且A发生的概率P(A)=m，令随机变量X=则X的方差D(X)等于(　 　)
A. m B. 2m(1－m)
C. m(m－1) D. m(1－m)7.3 导学2　离散型随机变量的方差
知识点一　离散型随机变量的方差　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 方差：设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
D(X)=　(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2=
(xi－E(X))2pi能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差.并称为随机变量X的　标准差　，记为σ(X).
2. 方差与标准差的意义.
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越　集中　；方差或标准差越大，随机变量的取值越　分散　.
例1　(2025·北京高二期中)将6个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~6.现从中任取3个球，以X表示取出球的最大号码.
求：(1)X的分布列；
(2)X的期望及方差.
解：(1)由已知可得随机变量X的可能取值有：3，4，5，6，
∴P(X=3)=，P(X=4)=，P(X=5)=，P(X=6)=，
∴分布列为
X 3 4 5 6
P
(2)E(X)=3×＋4×＋5×＋6×，
D(X)=.
[反思感悟]　求离散型随机变量方差的步骤：
(1)明确随机变量的所有可能取值，并理解每一个取值的意义.
(2)求出随机变量各个取值的概率.
(3)列出随机变量的分布列.
(4)由分布列计算E(X)，进而求出随机变量的方差D(X).
知识点二　离散型随机变量的方差的性质　　　　　　　　　　　　　　　　
设a，b为常数，X为离散型随机变量，则
(1)D(X＋b)=　D(X)　.
(2)D(aX＋b)=　a2D(X)　.
(3)若X服从两点分布，则D(X)=　p(1－p)　.
(4)D(X)=E(X2)－(E(X))2.
例2　(1)(2025·辽宁葫芦岛高二检测)已知离散型随机变量X满足D(X)=0.01，且3X＋Y=1，则D(Y)等于(　C　)
A. 0.07 B. 0.03
C. 0.09 D. －0.09
【解析】由3X＋Y=1有Y=1－3X，∴D(Y)=(－3)2D(X)=9×0.01=0.09.
(2)已知随机变量X的分布列为
X 0 1 x
P p
若E(X)=，
(i)求D(X)；
(ii)若Y=3X－2，求.
解：由分布列的性质，得＋p=1，解得p=.
∵E(X)=0×＋1×x=，∴x=2.
(i)方法一　D(X)=.
方法二　D(X)=E(X2)－(E(X))2=02×＋12×＋22×=1－.
(ii)∵Y=3X－2，∴D(Y)=D(3X－2)=9D(X)=5，∴.
[反思感悟]　求随机变量Y=aX＋b的方差的两种方法：
(1)先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；
(2)运用公式D(aX＋b)=a2D(X)求解.
知识点三　方差的实际应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(2025·云南昆明高二期末)某投资公司在2025年年初准备将1 000万元投到“低碳”项目上，现有两个“低碳”项目供选择：
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资该项目，到年底可能获利40%，也可能亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资该项目，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为. 设投资项目一和项目二的收益分别为ξ1万元和ξ2万元.
(1)试分别写出随机变量ξ1和ξ2的分布列；
解：由题意随机变量ξ1和ξ2的分布列为
ξ1 400 －100
P
　
ξ2 500 －300 0
P
(2)针对以上两个投资项目，请你从投资收益的角度，为投资公司选择一个合理的投资项目，并说明理由.
解：E(ξ1)=400×＋(－100)×=200(万元)，
E(ξ2)=500×＋(－300)×＋0×=200(万元)，
又D(ξ1)=(400－200)2×＋(－100－200)2×=60 000，
D(ξ2)=(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×=140 000，
由E(ξ1)=E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)说明项目一、项目二获利的期望值相等，但项目一的获利更稳定，
综上，该投资公司投资项目一更合理.
[反思感悟]　均值、方差在决策中的作用：
(1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高.
(2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定.
(3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. (2025·陕西商洛高二期末)若随机变量X满足P(X=2)=0.4，P(X=7)=0.6，则下列说法中，正确的是(　C　)
A. E(X)=4.6 B. E(X)=4
C. D(X)=6 D. D(X)=6.4
2. 已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 3 5
P 0.5 m 0.2
其方差D(X)等于(　C　)
A. 1 B. 0.6
C. 2.44 D. 2.4
3. 有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值相等，方差分别为D(X甲)=11，D(X乙)=3.4.由此可以估计(　B　)
A. 甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B. 乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C. 甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D. 甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
4. 设随机试验的结果只有A发生和A不发生，且A发生的概率P(A)=m，令随机变量X=则X的方差D(X)等于(　D　)
A. m B. 2m(1－m)
C. m(m－1) D. m(1－m)

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