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7.4 导学1　二项分布
知识点一　n重伯努利试验的概念及特征　　　　　　　　　　　　　　　　
1. n重伯努利试验：将一个伯努利试验　 　进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
2. n重伯努利试验的共同特征：
(1)同一个伯努利试验　 　做n次；
(2)各次试验的结果　 　.
点拨：“重复”意味着各次试验成功的概率相同.
例1　判断下列试验是不是n重伯努利试验.
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
(2)某人正在进行射击训练，他击中目标的概率是稳定的.若他连续射击了10次，其中6次击中；
(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球.
[反思感悟]　n重伯努利试验的判断依据：
(1)试验在相同的条件下可以重复进行.
(2)每次试验相互独立，互不影响.
(3)每次试验都只有两种结果，即事件发生或事件不发生.
知识点二　二项分布的概念与表示　　　　　　　　　　　　　　　　
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)= 　，k=0，1，2，…，n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作　 　.
点拨： 两点分布与二项分布的联系：
(1)两点分布与二项分布的随机变量都只有两个可能结果；
(2)两点分布是n=1时的二项分布.
例2　已知甲、乙两人在进行射击训练，若甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击的结果之间相互没有影响(结果须用分数作答).
(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.
[延伸探究]　本例条件不变，求两人各射击2次，甲、乙均击中目标1次的概率.
[反思感悟]　利用二项分布求概率的三个步骤：
(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验；
(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆；
(3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式进行计算，最后再利用互斥事件概率加法公式求解.
知识点三　二项分布的均值与方差　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 若X服从两点分布，则E(X)=　 　，D(X)=　 　.
2. 若X~B(n，p)，则E(X)=　 　，D(X)=　 　.
例3　(1)(2025·江苏南通高二期末)随机变量X~B(n， p).若D(2X＋1)=λD(X)，则λ=　 　；若D(2X＋1)=E(X2)，则p的最大值为 　.
(2)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到3次黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是.
(i)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；
(ii)在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球的个数，求ξ的分布列、均值和方差.
[反思感悟]　解决此类问题的第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步是代入相应的公式求解.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的运行有直接的关系，这是一种自然现象.根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节中的连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
2. 为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每家店铺分别招收了两名员工.若某节假日每位员工的休假概率均为，且是否休假之间互不影响.若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则需调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则只能停业，则两家店铺该节假日都能正常营业的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
3. 已知随机变量X~B(3，p)，若E(X)＋D(X)=，则P(X≥1)= 　.
4. 某学校有A，B两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择A餐厅和选择B餐厅的概率均为.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为，则某同学第2天去A餐厅用餐的概率为 　；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量X为该班3名同学中第 2天选择B餐厅的人数，则随机变量X的均值E(X)= 　. (共19张PPT)
四、二项分布与超几何分布
导学1　二项分布
高中数学 选择性必修 第三册
随机变量及其分布
第七章
知识点一
1. n重伯努利试验：将一个伯努利试验____________进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
2. n重伯努利试验的共同特征：
(1)同一个伯努利试验______做n次；
(2)各次试验的结果__________.
点拨：“重复”意味着各次试验成功的概率相同.
知识点一　n重伯努利试验的概念及特征　
　独立地重复
　重复　
相互独立
例1　判断下列试验是不是n重伯努利试验.
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
(2)某人正在进行射击训练，他击中目标的概率是稳定的.若他连续射击了10次，其中6次击中；
(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球.
解：(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验.
(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验.
(3)每次抽取时，球的个数不一样多，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验.
[反思感悟]　n重伯努利试验的判断依据：
(1)试验在相同的条件下可以重复进行.
(2)每次试验相互独立，互不影响.
(3)每次试验都只有两种结果，即事件发生或事件不发生.
知识点二
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=__________________，k=0，1，2，…，n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作______________.
点拨： 两点分布与二项分布的联系：
(1)两点分布与二项分布的随机变量都只有两个可能结果；
(2)两点分布是n=1时的二项分布.
知识点二　二项分布的概念与表示
pk(1－p)n－k　
X~B(n，p)　
例2　已知甲、乙两人在进行射击训练，若甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击的结果之间相互没有影响(结果须用分数作答).
(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.
解：(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，
由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，
故P(A1)=1－P()=1－.
(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则
P(A2)=，
P(B2)=，
由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)=.
[延伸探究]　本例条件不变，求两人各射击2次，甲、乙均击中目标1次的概率.
解：记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P(A3)=，P(B3)=，∴甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B3)=.
[反思感悟]　利用二项分布求概率的三个步骤：
(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验；
(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆；
(3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式进行计算，最后再利用互斥事件概率加法公式求解.
知识点三
知识点三　二项分布的均值与方差
1. 若X服从两点分布，则E(X)=______，D(X)=__________________.
2. 若X~B(n，p)，则E(X)=________，D(X)=__________________.
p　
p(1－p)　
np　
　np(1－p)　
例3　(1)(2025·江苏南通高二期末)随机变量X~B(n， p).若D(2X＋1)=λD(X)，则λ=_____；若D(2X＋1)=E(X2)，则p的最大值为___.
【解析】由X~B(n，p)，得D(X)=np(1－p)，0＜p＜1，又λD(X)= D(2X＋1)=4D(X)，因此λ=4；又E(X)=np，D(X)=E(X2)－(E(X))2，则4np(1－p)=np(1－p)＋(np)2，解得p=，而n∈N*，∴当n=1时，pmax=.

　4　
(2)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到3次黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是.
(i)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；
(ii)在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球的个数，求ξ的分布列、均值和方差.
解：(i)设M=“小球落入A袋”，N=“小球落入B袋”，
则P(M)=，∴P(N)=1－P(M)=1－.
(ii)易知ξ~B，则ξ的分布列为P(ξ=k)=·(k=0，1，2，3，4)，
故P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，P(ξ=2)=，P(ξ=3)=，P(ξ=4)=.
故ξ的分布列为
E(ξ)=4×，D(ξ)=4×.
ξ 0 1 2 3 4
P
[反思感悟]　解决此类问题的第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步是代入相应的公式求解.
随堂巩固
1. 唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的运行有直接的关系，这是一种自然现象.根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节中的连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为(　　)
A.
C.
A
2. 为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每家店铺分别招收了两名员工.若某节假日每位员工的休假概率均为，且是否休假之间互不影响.若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则需调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则只能停业，则两家店铺该节假日都能正常营业的概率为(　　)
A.
C.
D　
3. 已知随机变量X~B(3，p)，若E(X)＋D(X)=，则P(X≥1)=____.

4. 某学校有A，B两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择A餐厅和选择B餐厅的概率均为.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为，则某同学第2天去A餐厅用餐的概率为______；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量X为该班3名同学中第 2天选择B餐厅的人数，则随机变量X的均值E(X)=_______.
　
　7.4 导学1　二项分布
知识点一　n重伯努利试验的概念及特征　　　　　　　　　　　　　　　　
1. n重伯努利试验：将一个伯努利试验　独立地重复　进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
2. n重伯努利试验的共同特征：
(1)同一个伯努利试验　重复　做n次；
(2)各次试验的结果　相互独立　.
点拨：“重复”意味着各次试验成功的概率相同.
例1　判断下列试验是不是n重伯努利试验.
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
(2)某人正在进行射击训练，他击中目标的概率是稳定的.若他连续射击了10次，其中6次击中；
(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球.
解：(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验.
(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验.
(3)每次抽取时，球的个数不一样多，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验.
[反思感悟]　n重伯努利试验的判断依据：
(1)试验在相同的条件下可以重复进行.
(2)每次试验相互独立，互不影响.
(3)每次试验都只有两种结果，即事件发生或事件不发生.
知识点二　二项分布的概念与表示　　　　　　　　　　　　　　　　
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)= pk(1－p)n－k　，k=0，1，2，…，n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作　X~B(n，p)　.
点拨： 两点分布与二项分布的联系：
(1)两点分布与二项分布的随机变量都只有两个可能结果；
(2)两点分布是n=1时的二项分布.
例2　已知甲、乙两人在进行射击训练，若甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击的结果之间相互没有影响(结果须用分数作答).
(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.
解：(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，
由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，
故P(A1)=1－P()=1－.
(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则
P(A2)=，
P(B2)=，
由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)=.
[延伸探究]　本例条件不变，求两人各射击2次，甲、乙均击中目标1次的概率.
解：记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P(A3)=，P(B3)=，∴甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B3)=.
[反思感悟]　利用二项分布求概率的三个步骤：
(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验；
(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆；
(3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式进行计算，最后再利用互斥事件概率加法公式求解.
知识点三　二项分布的均值与方差　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 若X服从两点分布，则E(X)=　p　，D(X)=　p(1－p)　.
2. 若X~B(n，p)，则E(X)=　np　，D(X)=　np(1－p)　.
例3　(1)(2025·江苏南通高二期末)随机变量X~B(n， p).若D(2X＋1)=λD(X)，则λ=　4　；若D(2X＋1)=E(X2)，则p的最大值为 　.
【解析】由X~B(n，p)，得D(X)=np(1－p)，0＜p＜1，又λD(X)= D(2X＋1)=4D(X)，因此λ=4；又E(X)=np，D(X)=E(X2)－(E(X))2，则4np(1－p)=np(1－p)＋(np)2，解得p=，而n∈N*，∴当n=1时，pmax=.
(2)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到3次黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是.
(i)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；
(ii)在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球的个数，求ξ的分布列、均值和方差.
解：(i)设M=“小球落入A袋”，N=“小球落入B袋”，
则P(M)=，∴P(N)=1－P(M)=1－.
(ii)易知ξ~B，则ξ的分布列为P(ξ=k)=·(k=0，1，2，3，4)，
故P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，P(ξ=2)=，P(ξ=3)=，P(ξ=4)=.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
E(ξ)=4×，D(ξ)=4×.
[反思感悟]　解决此类问题的第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步是代入相应的公式求解.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的运行有直接的关系，这是一种自然现象.根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节中的连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为(　A　)
A. B.
C. D.
2. 为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每家店铺分别招收了两名员工.若某节假日每位员工的休假概率均为，且是否休假之间互不影响.若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则需调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则只能停业，则两家店铺该节假日都能正常营业的概率为(　D　)
A. B.
C. D.
3. 已知随机变量X~B(3，p)，若E(X)＋D(X)=，则P(X≥1)= 　.
4. 某学校有A，B两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择A餐厅和选择B餐厅的概率均为.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为，则某同学第2天去A餐厅用餐的概率为 　；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量X为该班3名同学中第 2天选择B餐厅的人数，则随机变量X的均值E(X)= 　.

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