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四、二项分布与超几何分布
导学2　超几何分布
高中数学 选择性必修 第三册
随机变量及其分布
第七章
知识点一
超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n
件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=__________，
k=m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0，n－N＋M}，r=min{n， M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
点拨：1. 在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”.
2. 超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型.
知识点一　超几何分布的概念及特征
　
例1　判断下列问题中哪些属于超几何分布问题，并说明理由.
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10粒种子做发芽试验，把试验中发芽的种子粒数记为X， 求X的分布列；
(3)盒子中有红球3个，黄球4个，蓝球5个，任取3个球，把不是红球的个数记为X， 求X的分布列；
(4)某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动， 班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；
(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果不合格的平板电脑的台数记为X，求X的分布列.
解：(1)(2)中的样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题.
(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量表示抽取的n件样本中，某类样本被抽取的件数，是超几何分布.
(5)中没有给出不合格产品的数量，无法计算X的分布列，不属于超几何分布问题.
[反思感悟]　判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：
(1)总体是否可分为两类明确的对象.
(2)是否为不放回抽样.
(3)随机变量是否为样本中其中一类被抽取的个体的个数.
知识点二
例2　(2025·陕西咸阳高二期中)2017年5月，来自“一带一路” 沿线的 20 国青年评选出了中国的 “新四大发明”，高铁、扫码支付、共享单车和网购.为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付展开调查，准备从国内n(n∈N*)个人口超过1 000万的超大城市和 8 个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计， 若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为.
(1)求n的值.
(2)若一次抽取3个城市，
(i)假设取出小城市的个数为X，求X的分布列；
(ii)若取出的3个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.
知识点二　超几何分布的概率
解：(1)由题意，一次抽取2个城市，全是小城市的概率为，
，则，得n=7，或n=－22(舍)，故n=7.
(2)(i)由题知X的可能取值为0，1，2，3.
P(X=0)=，P(X=1)=，
P(X=2)=，P(X=3)=.
故X的分布列为
(ii)取出3个城市全为超大城市，共有=35(种)情况，取出3个城市全为小城市，共有=56(种)情况.
∴取出3个城市是同一类城市，全为超大城市的概率为P=.
X 0 1 2 3
P
[反思感悟]　1. 超几何分布是一种常见的随机变量的分布，所求概率分布问题由明显的两部分组成.
2. 超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直接运用公式求解，但是不能机械地记忆公式，要在理解公式意义的前提下进行记忆.
知识点三
知识点三　超几何分布的均值　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(2025·河北石家庄模拟)某校航模社团共有10名学生，研究战斗机航模的有6人，其中男生4人、女生2人，另外4人研究无人机航模.
(1)从研究战斗机航模的6人中任意选出2人宣传该社团，已知其中一位是女生，求另一位也是女生的概率；
(2)从航模社团中任意选出3人参加航模设计大赛，设X表示来自研究无人机航模的人数，求X的数学期望.
解：(1)记事件A=“选出的2人中至少有一个是女生”，事件B=“选出的2人都是女生”，
∴n(AB)==1，n(A)==15－6=9，
由条件概率公式可得P(B|A)=.
(2)由题意可知，随机变量X的可能取值有0，1，2，3，
P(X=0)=，P(X=1)=，
P(X=2)=，P(X=3)=，
∴随机变量X的分布列为
∴E(X)=0×＋1×＋2×＋3×，
或E(X)=.
X 0 1 2 3
P
[反思感悟]　1. 求解超几何分布的分布列与均值的步骤：
(1)验证随机变量服从超几何分布，代入公式计算随机变量取每一个值时的概率；
(2)求分布列，计算随机变量的均值.
2. 若一个随机变量X服从超几何分布，则E(X)=.
随堂巩固
1. 盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率为(　　)
A.
C.
　C
2. 在10个排球中有6个正品，4个次品，从中任取4个，则正品数比次品数少的概率为 (　　)
A.
C.
　A　
3. (多选)关于超几何分布，下列说法中正确的有(　 　)
A. 超几何分布的模型是不放回抽样
B. 超几何分布的总体里可以有两类或三类
C. 超几何分布中的参数是N，M，n
D. 超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成
ACD
4. 某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为________；取出的3件产品中次品的件数X的数学期望是_________.
　
　7.4 导学2　超几何分布
知识点一　超几何分布的概念及特征　　　　　　　　　　　　　　　　
超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)= 　，
k=m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0，n－N＋M}，r=min{n， M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
点拨：1. 在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”.
2. 超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型.
例1　判断下列问题中哪些属于超几何分布问题，并说明理由.
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10粒种子做发芽试验，把试验中发芽的种子粒数记为X， 求X的分布列；
(3)盒子中有红球3个，黄球4个，蓝球5个，任取3个球，把不是红球的个数记为X， 求X的分布列；
(4)某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动， 班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；
(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果不合格的平板电脑的台数记为X，求X的分布列.
解：(1)(2)中的样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题.
(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量表示抽取的n件样本中，某类样本被抽取的件数，是超几何分布.
(5)中没有给出不合格产品的数量，无法计算X的分布列，不属于超几何分布问题.
[反思感悟]　判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：
(1)总体是否可分为两类明确的对象.
(2)是否为不放回抽样.
(3)随机变量是否为样本中其中一类被抽取的个体的个数.
知识点二　超几何分布的概率　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　(2025·陕西咸阳高二期中)2017年5月，来自“一带一路” 沿线的 20 国青年评选出了中国的 “新四大发明”，高铁、扫码支付、共享单车和网购.为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付展开调查，准备从国内n(n∈N*)个人口超过1 000万的超大城市和 8 个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计， 若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为.
(1)求n的值.
(2)若一次抽取3个城市，
(i)假设取出小城市的个数为X，求X的分布列；
(ii)若取出的3个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.
解：(1)由题意，一次抽取2个城市，全是小城市的概率为，
，则，得n=7，或n=－22(舍)，故n=7.
(2)(i)由题知X的可能取值为0，1，2，3.
P(X=0)=，P(X=1)=，
P(X=2)=，P(X=3)=.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(ii)取出3个城市全为超大城市，共有=35(种)情况，取出3个城市全为小城市，共有=56(种)情况.
∴取出3个城市是同一类城市，全为超大城市的概率为P=.
[反思感悟]　1. 超几何分布是一种常见的随机变量的分布，所求概率分布问题由明显的两部分组成.
2. 超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直接运用公式求解，但是不能机械地记忆公式，要在理解公式意义的前提下进行记忆.
知识点三　超几何分布的均值　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(2025·河北石家庄模拟)某校航模社团共有10名学生，研究战斗机航模的有6人，其中男生4人、女生2人，另外4人研究无人机航模.
(1)从研究战斗机航模的6人中任意选出2人宣传该社团，已知其中一位是女生，求另一位也是女生的概率；
(2)从航模社团中任意选出3人参加航模设计大赛，设X表示来自研究无人机航模的人数，求X的数学期望.
解：(1)记事件A=“选出的2人中至少有一个是女生”，事件B=“选出的2人都是女生”，
∴n(AB)==1，n(A)==15－6=9，
由条件概率公式可得P(B|A)=.
(2)由题意可知，随机变量X的可能取值有0，1，2，3，
P(X=0)=，P(X=1)=，
P(X=2)=，P(X=3)=，
∴随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴E(X)=0×＋1×＋2×＋3×，
或E(X)=.
[反思感悟]　1. 求解超几何分布的分布列与均值的步骤：
(1)验证随机变量服从超几何分布，代入公式计算随机变量取每一个值时的概率；
(2)求分布列，计算随机变量的均值.
2. 若一个随机变量X服从超几何分布，则E(X)=.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率为(　C　)
A. B.
C. D.
2. 在10个排球中有6个正品，4个次品，从中任取4个，则正品数比次品数少的概率为 (　A　)
A. B.
C. D.
3. (多选)关于超几何分布，下列说法中正确的有(　ACD　)
A. 超几何分布的模型是不放回抽样
B. 超几何分布的总体里可以有两类或三类
C. 超几何分布中的参数是N，M，n
D. 超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成
4. 某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为 　；取出的3件产品中次品的件数X的数学期望是 　. 7.4 导学2　超几何分布
知识点一　超几何分布的概念及特征　　　　　　　　　　　　　　　　
超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)= 　，
k=m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0，n－N＋M}，r=min{n， M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
点拨：1. 在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”.
2. 超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型.
例1　判断下列问题中哪些属于超几何分布问题，并说明理由.
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10粒种子做发芽试验，把试验中发芽的种子粒数记为X， 求X的分布列；
(3)盒子中有红球3个，黄球4个，蓝球5个，任取3个球，把不是红球的个数记为X， 求X的分布列；
(4)某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动， 班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；
(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果不合格的平板电脑的台数记为X，求X的分布列.
[反思感悟]　判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：
(1)总体是否可分为两类明确的对象.
(2)是否为不放回抽样.
(3)随机变量是否为样本中其中一类被抽取的个体的个数.
知识点二　超几何分布的概率　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　(2025·陕西咸阳高二期中)2017年5月，来自“一带一路” 沿线的 20 国青年评选出了中国的 “新四大发明”，高铁、扫码支付、共享单车和网购.为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付展开调查，准备从国内n(n∈N*)个人口超过1 000万的超大城市和 8 个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计， 若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为.
(1)求n的值.
(2)若一次抽取3个城市，
(i)假设取出小城市的个数为X，求X的分布列；
(ii)若取出的3个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.
[反思感悟]　1. 超几何分布是一种常见的随机变量的分布，所求概率分布问题由明显的两部分组成.
2. 超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直接运用公式求解，但是不能机械地记忆公式，要在理解公式意义的前提下进行记忆.
知识点三　超几何分布的均值　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(2025·河北石家庄模拟)某校航模社团共有10名学生，研究战斗机航模的有6人，其中男生4人、女生2人，另外4人研究无人机航模.
(1)从研究战斗机航模的6人中任意选出2人宣传该社团，已知其中一位是女生，求另一位也是女生的概率；
(2)从航模社团中任意选出3人参加航模设计大赛，设X表示来自研究无人机航模的人数，求X的数学期望.
[反思感悟]　1. 求解超几何分布的分布列与均值的步骤：
(1)验证随机变量服从超几何分布，代入公式计算随机变量取每一个值时的概率；
(2)求分布列，计算随机变量的均值.
2. 若一个随机变量X服从超几何分布，则E(X)=.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
2. 在10个排球中有6个正品，4个次品，从中任取4个，则正品数比次品数少的概率为 (　 　)
A. B.
C. D.
3. (多选)关于超几何分布，下列说法中正确的有(　 　)
A. 超几何分布的模型是不放回抽样
B. 超几何分布的总体里可以有两类或三类
C. 超几何分布中的参数是N，M，n
D. 超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成
4. 某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为 　；取出的3件产品中次品的件数X的数学期望是 　.

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