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7.4 导学3　二项分布与超几何分布的综合应用
知识点一　二项分布的综合应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　(2025·河南郑州高二期末)某研究所准备举办一次抽奖活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次.研究所设计了两种奖励方案.
方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金.
方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金.
(1)若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率.
(2)分别计算选择两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望.
(3)为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，该研究所应选择哪一种抽奖方案？
解：(1)选择方案一，则每一次摸到红球的概率为p=，　
设“最终获得60元奖金”为事件A，则P(A)=.
(2)若按方案一抽奖，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.
设最终获得奖金为X元，则X的所有可能的取值为30，60，90，120，
P(X=30)=，P(X=60)=，P(X=90)=，P(X=120)=，
∴E(X)=30×＋60×＋90×＋120×=66.
若按方案二抽奖，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为Y，最终获得奖金为Z元，
则Y~B，故E(Y)=3×，∴E(Z)=E(60Y)=60×=72.
(3)∵E(X)＜E(Z)，∴应选择第二种抽奖方案.
[反思感悟]　1. 解题的关键是判定随机变量ξ服从二项分布，确定参数n和p的值.
2. 根据二项分布的概率列出分布列.
3. 利用定义或二项分布的性质求二项分布的均值和方差.
知识点二　超几何分布的综合应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　(2025·河北张家口三模)为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从A，B两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知A，B两个科室中的志愿者分布如下：
类别科室 志愿者
医生 护士
A科室 2 3
B科室 3 3
(1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率；
(2)设X为选出的4人中医生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
解：(1)由已知，恰好有2名医生的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室，
有种情况，从11人中抽调4人有种情况，
∴所求的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
P(X=0)=，P(X=1)=，
P(X=2)=，P(X=3)=，
P(X=4)=，
∴随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
∴E(X)=0×＋1×＋2×＋3×＋4×.
[反思感悟]　解决超几何分布问题的两个关键点：
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆.
(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k值时的概率P(X=k)，从而求出X的分布列，利用均值、方差的定义求出随机变量的均值和方差.
知识点三　二项分布与超几何分布的区别与联系　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(2025·重庆高二期末)深度求索(DeepSeek)是我国自主研发的人工智能模型.某公司为提升员工对DeepSeek的运用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训.
(1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门.从这5名部门领导中随机选取2人，记ξ表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
(2)若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用.试估计该公司A，B两个部门经培训后创造的年利润(公司年利润=员工创造的利润－其他成本和费用).
解：(1)由题意可知，ξ=0，1，2，
P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，P(ξ=0)=，　
∴随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
E(ξ)= 0×＋1×＋2×.
(2)设X为经过培训合格的人数，X~B，E(X)=60×=40，不合格人数为60－X，　
员工为公司创造的利润为Y=20X＋10(60－X)=10X＋600(万元)，
则E(Y)=E(10X＋600)=10E(X)＋600=10×40＋600=1 000(万元)，
公司的年利润为1 000－2×60=880(万元).
∴估计该公司A，B两个部门经培训后创造的年利润为880万元.
[反思感悟]　1. 根据题意，确定是二项分布还是超几何分布模型.
2. 根据超几何分布与二项分布的分布列和性质求出随机变量的均值和方差.
3. 利用均值与方差的意义进行决策判断.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 同时抛掷2枚质地均匀的硬币3次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的均值是 (　B　)
A. B.
C. 1 D.
2. 已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次.记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的均值为B，则A，B的值分别为 (　B　)
A. ，5 B. ，10
C. ，5 D. ，10
3. 在50张彩票中只有2张可以中奖，若从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为　15　.
4. 某商场举行抽奖活动，只要顾客一次性购物满180元，即获得一次抽奖机会.抽奖方法如下：一个抽奖箱中装有6个质地、大小完全相同的小球(4个红球和2个黄球)，顾客从中随机抽取2个，若2个都是黄球，则奖励10元，若只有1个黄球，则奖励3元，其余情况没有奖励.设每次抽奖所得奖励为X元，则X的均值是 　. (共18张PPT)
四、二项分布与超几何分布
导学3　二项分布与超几何分布的综合应用
高中数学 选择性必修 第三册
随机变量及其分布
第七章
知识点一
例1　(2025·河南郑州高二期末)某研究所准备举办一次抽奖活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次.研究所设计了两种奖励方案.
方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金.
方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金.
(1)若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率.
(2)分别计算选择两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望.
(3)为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，该研究所应选择哪一种抽奖方案？
知识点一　二项分布的综合应用
解：(1)选择方案一，则每一次摸到红球的概率为p=，　
设“最终获得60元奖金”为事件A，则P(A)=.
(2)若按方案一抽奖，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.
设最终获得奖金为X元，则X的所有可能的取值为30，60，90，120，
P(X=30)=，P(X=60)=，P(X=90)=，P(X=120)=，
∴E(X)=30×＋60×＋90×＋120×=66.
若按方案二抽奖，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为Y，最终获得奖金为Z元，
则Y~B，故E(Y)=3×，∴E(Z)=E(60Y)=60×=72.
(3)∵E(X)＜E(Z)，∴应选择第二种抽奖方案.
[反思感悟]　1. 解题的关键是判定随机变量ξ服从二项分布，确定参数n和p的值.
2. 根据二项分布的概率列出分布列.
3. 利用定义或二项分布的性质求二项分布的均值和方差.
知识点二
例2　(2025·河北张家口三模)为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从A，B两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知A，B两个科室中的志愿者分布如下：
(1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率；
(2)设X为选出的4人中医生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
解：(1)由已知，恰好有2名医生的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室，
有种情况，从11人中抽调4人有种情况，
∴所求的概率为.
知识点二　超几何分布的综合应用　
类别科室 志愿者
医生 护士
A科室 2 3
B科室 3 3
(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
P(X=0)=，P(X=1)=，
P(X=2)=，P(X=3)=，
P(X=4)=，
∴随机变量X的分布列为
∴E(X)=0×＋1×＋2×＋3×＋4×.
X 0 1 2 3 4
P
[反思感悟]　解决超几何分布问题的两个关键点：
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆.
(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k值时的概率P(X=k)，从而求出X的分布列，利用均值、方差的定义求出随机变量的均值和方差.
知识点三
知识点三　二项分布与超几何分布的区别与联系　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(2025·重庆高二期末)深度求索(DeepSeek)是我国自主研发的人工智能模型.某公司为提升员工对DeepSeek的运用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训.
(1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门.从这5名部门领导中随机选取2人，记ξ表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
(2)若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用.试估计该公司A，B两个部门经培训后创造的年利润(公司年利润=员工创造的利润－其他成本和费用).
解：(1)由题意可知，ξ=0，1，2，
P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，P(ξ=0)=，　
∴随机变量ξ的分布列为
E(ξ)= 0×＋1×＋2×.
(2)设X为经过培训合格的人数，X~B，E(X)=60×=40，不合格人数为60－X，　
员工为公司创造的利润为Y=20X＋10(60－X)=10X＋600(万元)，
则E(Y)=E(10X＋600)=10E(X)＋600=10×40＋600=1 000(万元)，
公司的年利润为1 000－2×60=880(万元).
∴估计该公司A，B两个部门经培训后创造的年利润为880万元.
ξ 0 1 2
P
[反思感悟]　1. 根据题意，确定是二项分布还是超几何分布模型.
2. 根据超几何分布与二项分布的分布列和性质求出随机变量的均值和方差.
3. 利用均值与方差的意义进行决策判断.
随堂巩固
1. 同时抛掷2枚质地均匀的硬币3次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的均值是
(　　)
A.
C. 1 D.
B
2. 已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次.记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的均值为B，则A，B的值分别为 (　　)
A. ，5 B. ，10
C. ，5 D. ，10
B
3. 在50张彩票中只有2张可以中奖，若从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为_______.
　
4. 某商场举行抽奖活动，只要顾客一次性购物满180元，即获得一次抽奖机会.抽奖方法如下：一个抽奖箱中装有6个质地、大小完全相同的小球(4个红球和2个黄球)，顾客从中随机抽取2个，若2个都是黄球，则奖励10元，若只有1个黄球，则奖励3元，其余情况没有奖励.设每次抽奖所得奖励为X元，则X的均值是_________.
7.4 导学3　二项分布与超几何分布的综合应用
知识点一　二项分布的综合应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　(2025·河南郑州高二期末)某研究所准备举办一次抽奖活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次.研究所设计了两种奖励方案.
方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金.
方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金.
(1)若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率.
(2)分别计算选择两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望.
(3)为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，该研究所应选择哪一种抽奖方案？
[反思感悟]　1. 解题的关键是判定随机变量ξ服从二项分布，确定参数n和p的值.
2. 根据二项分布的概率列出分布列.
3. 利用定义或二项分布的性质求二项分布的均值和方差.
知识点二　超几何分布的综合应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　(2025·河北张家口三模)为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从A，B两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知A，B两个科室中的志愿者分布如下：
类别科室 志愿者
医生 护士
A科室 2 3
B科室 3 3
(1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率；
(2)设X为选出的4人中医生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
[反思感悟]　解决超几何分布问题的两个关键点：
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆.
(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k值时的概率P(X=k)，从而求出X的分布列，利用均值、方差的定义求出随机变量的均值和方差.
知识点三　二项分布与超几何分布的区别与联系　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(2025·重庆高二期末)深度求索(DeepSeek)是我国自主研发的人工智能模型.某公司为提升员工对DeepSeek的运用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训.
(1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门.从这5名部门领导中随机选取2人，记ξ表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
(2)若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用.试估计该公司A，B两个部门经培训后创造的年利润(公司年利润=员工创造的利润－其他成本和费用).
[反思感悟]　1. 根据题意，确定是二项分布还是超几何分布模型.
2. 根据超几何分布与二项分布的分布列和性质求出随机变量的均值和方差.
3. 利用均值与方差的意义进行决策判断.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 同时抛掷2枚质地均匀的硬币3次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的均值是 (　 　)
A. B.
C. 1 D.
2. 已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次.记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的均值为B，则A，B的值分别为 (　 　)
A. ，5 B. ，10
C. ，5 D. ，10
3. 在50张彩票中只有2张可以中奖，若从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为　 　.
4. 某商场举行抽奖活动，只要顾客一次性购物满180元，即获得一次抽奖机会.抽奖方法如下：一个抽奖箱中装有6个质地、大小完全相同的小球(4个红球和2个黄球)，顾客从中随机抽取2个，若2个都是黄球，则奖励10元，若只有1个黄球，则奖励3元，其余情况没有奖励.设每次抽奖所得奖励为X元，则X的均值是 　.

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