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7.5 正态分布
知识点一　正态曲线及特征　　　　　　　　　　　　　　　　
1. f(x)= 　，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为参数，我们称f(x)为　 　，称它的图象为正态密度曲线，简称　 　.
2. 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为　 　.特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从　 　.
3. 若X~N(μ， σ2)，则E(X)=　 　，D(X)=　 　.
4. 正态曲线的特点.
(1)非负性：对 x∈R，f(x)＞0，它的图象在x轴的　 　.
(2)定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为　 　.
(3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线　 　对称.
(4)最大值：曲线在　 　处达到峰值.
(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近　 　轴.
点拨：1. 当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示.
2. 当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图2所示.
图1　　 图2
例1　(1)设两个正态分布N(μ1，)(σ1＞0)和N(μ2，)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则下列选项中，正确的是(　 　)
A. μ1＜μ2，σ1＜σ2
B. μ1＜μ2，σ1＞σ2
C. μ1＞μ2，σ1＜σ2
D. μ1＞μ2，σ1＞σ2
(2)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法中，错误的有(　 　)
A. 甲科总体的标准差最小
B. 丙科总体的平均数最小
C. 乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大
D. 甲、乙、丙三科总体的平均数不相同
[反思感悟]　1. 利用正态曲线的特点求参数μ，σ：
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，由此特点结合图象求出μ.
(2)正态曲线在x=μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ.
2. “σ”决定数据的集中程度的强弱，σ越大，正态曲线越“矮胖”，数据集中程度越弱；σ越小，曲线越“瘦高”，数据越集中.
知识点二　利用正态分布的性质求概率　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 正态分布的几何意义：若X~N(μ， σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积.
2. 服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率：
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈　 　，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈　 　，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈　 　.
点拨： 1. 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ， μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生.
2. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ， σ2)的随机变量X只取[μ－3σ， μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.
例2　(1)(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8， 0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x，s2)，则下列选项中，正确的有(　BC　)(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z＜μ＋σ)≈0.841 3)
A. P(X＞2)＞0.2 B. P(X＞2)＜0.5
C. P(Y＞2)＞0.5 D. P(Y＞2)＜0.8
(2)设ξ~N(1，22)，试求：
①P(－1≤ξ≤3)；②P(3＜ξ≤5).
[延伸探究]　设ξ~N(1，22)，求P(ξ＞5).
[反思感悟]　利用正态分布求概率的两个方法：
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x=μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x=μ对称的区间概率相等.如：
①P(X＜a)=1－P(X≥a)；
②P(X＜μ－a)=P(X＞μ＋a).
(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3.因此，许多与正态分布有关的概率计算可转化为这三个特殊区间的概率问题，从而简化计算.
知识点三　正态分布的实际应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(1)(2025·河北邢台高二期中)某次大型联考共有10 000名考生参加，考试成绩(满分100分)近似服从正态分布X~N(μ， σ2)(其中μ和σ分别为样本的均值和标准差)，若本次考试平均成绩为65分，87分以上共有228人，考生甲的成绩为76分，则考生甲的名次大致是第　 　名.
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(2)(2025·山东临沂高二检测)某工厂生产的零件长度X(单位：毫米)服从N(3，σ2)，且P(|X－3|≤0.5)=0.8，若对该工厂同批生产的3个零件逐一检查，则仅有1个零件长度大于3.5毫米的概率为　 　.
[反思感悟]　解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ， μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 设随机变量X服从正态分布，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)=，则这个随机变量的均值与标准差分别是 (　 　)
A. 10与8 B. 10与2
C. 8与10 D. 2与10
2. 设随机变量X~N(1，22)，则D等于(　 　)
A. 4 B. 2
C. D. 1
3. 已知随机变量X服从正态分布N(a， 4)，且P(X＞1)=0.5，则实数a的值为(　 　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
4. (2025·广东汕尾高二期末)已知随机变量X服从正态分布N(5，σ2)，且P(2＜X≤5)=0.29，则P(X≥8)等于(　 　)
A. 0.21 B. 0.2
C. 0.31 D. 0.37.5 正态分布
知识点一　正态曲线及特征　　　　　　　　　　　　　　　　
1. f(x)= 　，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为参数，我们称f(x)为　正态密度函数　，称它的图象为正态密度曲线，简称　正态曲线　.
2. 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为　X~N(μ，σ2)　.特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从　标准正态分布　.
3. 若X~N(μ， σ2)，则E(X)=　μ　，D(X)=　σ2　.
4. 正态曲线的特点.
(1)非负性：对 x∈R，f(x)＞0，它的图象在x轴的　上方　.
(2)定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为　1　.
(3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线　x=μ　对称.
(4)最大值：曲线在　x=μ　处达到峰值.
(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近　x　轴.
点拨：1. 当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示.
2. 当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图2所示.
图1　　 图2
例1　(1)设两个正态分布N(μ1，)(σ1＞0)和N(μ2，)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则下列选项中，正确的是(　A　)
A. μ1＜μ2，σ1＜σ2
B. μ1＜μ2，σ1＞σ2
C. μ1＞μ2，σ1＜σ2
D. μ1＞μ2，σ1＞σ2
【解析】根据正态曲线的特征：对称轴方程x=μ，σ表示正态曲线的形状.由图可得，A正确.
(2)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法中，错误的有(　BCD　)
A. 甲科总体的标准差最小
B. 丙科总体的平均数最小
C. 乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大
D. 甲、乙、丙三科总体的平均数不相同
【解析】由题图可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，∴甲科总体的标准差最小，A正确.
[反思感悟]　1. 利用正态曲线的特点求参数μ，σ：
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，由此特点结合图象求出μ.
(2)正态曲线在x=μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ.
2. “σ”决定数据的集中程度的强弱，σ越大，正态曲线越“矮胖”，数据集中程度越弱；σ越小，曲线越“瘦高”，数据越集中.
知识点二　利用正态分布的性质求概率　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 正态分布的几何意义：若X~N(μ， σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积.
2. 服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率：
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈　0.682 7　，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈　0.954 5　，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈　0.997 3　.
点拨： 1. 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ， μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生.
2. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ， σ2)的随机变量X只取[μ－3σ， μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.
例2　(1)(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8， 0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x，s2)，则下列选项中，正确的有(　BC　)(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z＜μ＋σ)≈0.841 3)
A. P(X＞2)＞0.2 B. P(X＞2)＜0.5
C. P(Y＞2)＞0.5 D. P(Y＞2)＜0.8
【解析】依题可知，x=2.1，s2=0.01，∴Y~N(2.1，0.12)，故P(Y＞2)=P(Y＞2.1－0.1)=P(Y＜2.1＋0.1)≈0.841 3＞0.5，C正确，D错误；∵X~N(1.8，0.12)，∴P(X＞2)=P(X＞1.8＋2×0.1)，∵P(X＜1.8＋0.1)≈0.841 3，∴P(X＞1.8＋0.1)≈1－0.841 3=0.158 7＜0.2，而P(X＞2)=P(X＞1.8＋2×0.1)＜P(X＞1.8＋0.1)＜0.2，B正确，A错误.
(2)设ξ~N(1，22)，试求：
①P(－1≤ξ≤3)；②P(3＜ξ≤5).
解：①∵P(－1≤ξ≤3)=P(1－2≤ξ≤1＋2)=P(μ－6≤ξ≤μ＋6)≈0.682 7.　
②∵P(3＜ξ≤5)=P(－3≤ξ＜－1)，
∴P(3＜ξ≤5)=[P(－3≤ξ≤5)－P(－1≤ξ≤3)]=[P(1－4≤ξ≤1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)]=[P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)]≈×(0.954 5－0.682 7)=0.135 9.　
[延伸探究]　设ξ~N(1，22)，求P(ξ＞5).
解：P(ξ＞5)=P(ξ＜－3)=[1－P(－3≤ξ≤5)]=[1－P(1－4≤ξ≤1＋4)]=[1－P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)]≈×(1－0.954 5)=0.022 75.　
[反思感悟]　利用正态分布求概率的两个方法：
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x=μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x=μ对称的区间概率相等.如：
①P(X＜a)=1－P(X≥a)；
②P(X＜μ－a)=P(X＞μ＋a).
(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3.因此，许多与正态分布有关的概率计算可转化为这三个特殊区间的概率问题，从而简化计算.
知识点三　正态分布的实际应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(1)(2025·河北邢台高二期中)某次大型联考共有10 000名考生参加，考试成绩(满分100分)近似服从正态分布X~N(μ， σ2)(其中μ和σ分别为样本的均值和标准差)，若本次考试平均成绩为65分，87分以上共有228人，考生甲的成绩为76分，则考生甲的名次大致是第　1 587　名.
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
【解析】已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布N(μ，σ2)，由题意可得μ=65.∵=0.022 8，而=0.022 8，即P(X＞μ＋2σ)=0.022 8，∴μ＋2σ=87，解得σ=11.∵学生甲在该次考试中成绩为76分，且76=μ＋σ，又=0.158 7，即P(X＞μ＋σ)=0.158 7，∴学生甲在本次考试的大致名次为1 587名.
(2)(2025·山东临沂高二检测)某工厂生产的零件长度X(单位：毫米)服从N(3，σ2)，且P(|X－3|≤0.5)=0.8，若对该工厂同批生产的3个零件逐一检查，则仅有1个零件长度大于3.5毫米的概率为　0.243　.
【解析】根据P(|X－3|≤0.5)=0.8可得P(|X－3|＞0.5)=1－0.8=0.2，即P(X＞3.5)＋P(X＜2.5)=0.2，又由对称性可知P(X＞3.5)=P(X＜2.5)=0.1，∴P(X＞3.5)=0.1，即任取1个零件，其长度大于3.5毫米的概率为0.1；因此3个零件逐一检查，仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为P=×0.1×(1－0.1)2=0.243.
[反思感悟]　解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ， μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 设随机变量X服从正态分布，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)=，则这个随机变量的均值与标准差分别是 (　B　)
A. 10与8 B. 10与2
C. 8与10 D. 2与10
2. 设随机变量X~N(1，22)，则D等于(　D　)
A. 4 B. 2
C. D. 1
3. 已知随机变量X服从正态分布N(a， 4)，且P(X＞1)=0.5，则实数a的值为(　A　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
4. (2025·广东汕尾高二期末)已知随机变量X服从正态分布N(5，σ2)，且P(2＜X≤5)=0.29，则P(X≥8)等于(　A　)
A. 0.21 B. 0.2
C. 0.31 D. 0.3(共23张PPT)
五、正态分布
高中数学 选择性必修 第三册
随机变量及其分布
第七章
知识点一
1. f(x)=______________，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为参数，我们称f(x)为______________，称它的图象为正态密度曲线，简称__________.
2. 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为_______________.特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从__________________.
3. 若X~N(μ， σ2)，则E(X)=________，D(X)=________________.
知识点一　正态曲线及特征

正态密度函数　
正态曲线
X~N(μ，σ2)
标准正态分布
μ　
　σ2
4. 正态曲线的特点.
(1)非负性：对 x∈R，f(x)＞0，它的图象在x轴的___________.
(2)定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为___________.
(3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线___________对称.
(4)最大值：曲线在___________处达到峰值.
(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近___________轴.
　上方
　1　
x=μ
x=μ　
　x
点拨：1. 当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示.
2. 当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图2所示.
图1　　 图2
例1　(1)设两个正态分布N(μ1，)(σ1＞0)和N(μ2，)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则下列选项中，正确的是(　　)
A. μ1＜μ2，σ1＜σ2
B. μ1＜μ2，σ1＞σ2
C. μ1＞μ2，σ1＜σ2
D. μ1＞μ2，σ1＞σ2
【解析】根据正态曲线的特征：对称轴方程x=μ，σ表示正态曲线的形状.由图可得，
A正确.
A
(2)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法中，错误的有(　 　)
A. 甲科总体的标准差最小
B. 丙科总体的平均数最小
C. 乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大
D. 甲、乙、丙三科总体的平均数不相同
【解析】由题图可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，∴甲科总体的标准差最小，A正确.
BCD
[反思感悟]　1. 利用正态曲线的特点求参数μ，σ：
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，由此特点结合图象求出μ.
(2)正态曲线在x=μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ.
2. “σ”决定数据的集中程度的强弱，σ越大，正态曲线越“矮胖”，数据集中程度越弱；σ越小，曲线越“瘦高”，数据越集中.
知识点二
1. 正态分布的几何意义：若X~N(μ， σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积.
2. 服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率：
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈____________，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈______________，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈___________.
知识点二　利用正态分布的性质求概率
0.682 7
　0.954 5
　0.997 3
点拨： 1. 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ， μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生.
2. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ， σ2)的随机变量X只取[μ－3σ， μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.
例2　(1)(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 =2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8， 0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N( ，s2)，则下列选项中，正确的有(　 　)(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z＜μ＋σ)≈0.841 3)
A. P(X＞2)＞0.2 B. P(X＞2)＜0.5
C. P(Y＞2)＞0.5 D. P(Y＞2)＜0.8
【解析】依题可知， =2.1，s2=0.01，∴Y~N(2.1，0.12)，故P(Y＞2)=P(Y＞2.1－0.1)=P(Y＜2.1＋0.1)≈0.841 3＞0.5，C正确，D错误；∵X~N(1.8，0.12)，∴P(X＞2)=P(X＞1.8＋2×0.1)，∵P(X＜1.8＋0.1)≈0.841 3，∴P(X＞1.8＋0.1)≈1－0.841 3=0.158 7＜0.2，而P(X＞2)=P(X＞1.8＋2×0.1)＜P(X＞1.8＋0.1)＜0.2，B正确，A错误.
BC
(2)设ξ~N(1，22)，试求：
①P(－1≤ξ≤3)；②P(3＜ξ≤5).
解：①∵P(－1≤ξ≤3)=P(1－2≤ξ≤1＋2)=P(μ－6≤ξ≤μ＋6)≈0.682 7.　
②∵P(3＜ξ≤5)=P(－3≤ξ＜－1)，
∴P(3＜ξ≤5)=[P(－3≤ξ≤5)－P(－1≤ξ≤3)]=[P(1－4≤ξ≤1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)]=[P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)]≈×(0.954 5－0.682 7)=0.135 9.　
[延伸探究]　设ξ~N(1，22)，求P(ξ＞5).
解：P(ξ＞5)=P(ξ＜－3)=[1－P(－3≤ξ≤5)]=[1－P(1－4≤ξ≤1＋4)]=[1－P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)]≈×(1－0.954 5)=0.022 75.　
[反思感悟]　利用正态分布求概率的两个方法：
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x=μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x=μ对称的区间概率相等.如：
①P(X＜a)=1－P(X≥a)；
②P(X＜μ－a)=P(X＞μ＋a).
(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3.因此，许多与正态分布有关的概率计算可转化为这三个特殊区间的概率问题，从而简化计算.
知识点三
知识点三　正态分布的实际应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(1)(2025·河北邢台高二期中)某次大型联考共有10 000名考生参加，考试成绩(满分100分)近似服从正态分布X~N(μ， σ2)(其中μ和σ分别为样本的均值和标准差)，若本次考试平均成绩为65分，87分以上共有228人，考生甲的成绩为76分，则考生甲的名次大致是第_________名.
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
【解析】已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布N(μ，σ2)，由题意可得μ=65.∵=0.022 8，而=0.022 8，即P(X＞μ＋2σ)=0.022 8，∴μ＋2σ=87，解得σ=11.∵学生甲在该次考试中成绩为76分，且76=μ＋σ，又=0.158 7，即P(X＞μ＋σ)=0.158 7，∴学生甲在本次考试的大致名次为1 587名.
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(2)(2025·山东临沂高二检测)某工厂生产的零件长度X(单位：毫米)服从N(3，σ2)，且P(|X－3|≤0.5)=0.8，若对该工厂同批生产的3个零件逐一检查，则仅有1个零件长度大于3.5毫米的概率为________.
【解析】根据P(|X－3|≤0.5)=0.8可得P(|X－3|＞0.5)=1－0.8=0.2，即P(X＞3.5)＋P(X＜2.5)=0.2，又由对称性可知P(X＞3.5)=P(X＜2.5)=0.1，∴P(X＞3.5)=0.1，即任取1个零件，其长度大于3.5毫米的概率为0.1；因此3个零件逐一检查，仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为P=×0.1×(1－0.1)2=0.243.
　0.243
[反思感悟]　解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ， μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格.
随堂巩固
1. 设随机变量X服从正态分布，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)=，则这个随机变量的均值与标准差分别是 (　　)
A. 10与8 B. 10与2
C. 8与10 D. 2与10
B
2. 设随机变量X~N(1，22)，则D等于(　　)
A. 4 B. 2
C. D. 1
D
3. 已知随机变量X服从正态分布N(a， 4)，且P(X＞1)=0.5，则实数a的值为(　　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
A
4. (2025·广东汕尾高二期末)已知随机变量X服从正态分布N(5，σ2)，且P(2＜X≤5)=0.29，则P(X≥8)等于(　　)
A. 0.21 B. 0.2
C. 0.31 D. 0.3
　A

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