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8.1 导学1　变量的相关关系
知识点一　相关关系的概念　　　　　　　　　　　　　　　　
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去　精确地　决定另一个的程度，这种关系称为　相关　关系.
点拨：相关关系与函数关系的异同点：
(1)相同点：均是指两个变量的关系.
(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定关系.
②两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定的随机因素的影响.
例1　(1)(多选)下列两个变量间，存在相关关系的有(　BCD　)
A. 扇形的半径与面积之间的关系
B. 降雪量与交通事故的发生率之间的关系
C. 人的身高与体重之间的关系　
D. 家庭的支出与收入之间的关系
【解析】扇形的半径与面积之间的关系是函数关系，其余均为相关关系.
(2)(多选)(2025·广东汕尾高二检测)下列说法中，正确的有(　ACD　)
A. 正方体的体积与棱长之间的关系是函数关系
B. 人的身高与视力之间的关系是相关关系
C. 汽车的质量与汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程具有相关关系
D. 学生的体重与学习成绩之间不具有相关关系
【解析】正方体的体积与棱长之间的关系是函数关系，A正确；人的身高与视力之间不具有相关关系，B错误；汽车的质量与汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程负相关，具有相关关系，C正确；学生的体重与学习成绩之间不具有相关关系，D正确.
[反思感悟]　函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系， 而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.
知识点二　散点图、线性相关　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 每一个序号下的成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了统计图.我们把这样的统计图叫做　散点图　.
2. 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现　增加　的趋势，我们就称这两个变量正相关；当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现　减小　的趋势，则称这两个变量负相关.
3. 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在　一条直线　附近，我们就称这两个变量　线性　相关.
4. 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
例2　某种木材体积与树木的树龄之间有如下表所示的对应关系.
树龄 2 3 4 5 6 7 8
体积/m3 30 34 40 60 55 62 70
(i)请根据表中的数据，作散点图；
(ii)请根据散点图分析木材体积与树木的树龄近似呈什么关系.
解：(1)以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的体积，可得相应的散点图如图所示：
(2)由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势，且散点落在一条直线附近，∴木材的体积与树龄近似成线性相关关系.
[延伸探究]　若近似呈线性相关关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系.
解：近似拟合直线如图所示：
[反思感悟]　判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响.
知识点三　散点图的应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(1)(多选)某校地理学兴趣小组将在某座山测得的海拔、气压和沸点的六组数据绘制成散点图，如图所示，则下列说法中，正确的有　(　BCD　)
A. 沸点与海拔呈正相关
B. 沸点与气压呈正相关
C. 沸点与海拔呈负相关
D. 沸点与海拔、沸点与气压的相关性都很强
【解析】由题中第一幅图知气压随海拔的增加而减小，由题中第二幅图知沸点随气压的升高而升高，∴沸点与气压呈正相关，沸点与海拔呈负相关，两幅散点图中的点都满足线性分布，∴沸点与海拔、沸点与气压的相关性都很强，B，C，D正确，A错误.
(2)下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据(单位：千克/亩)：
施化肥量 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量 320 330 360 410 460 470 480
(i)请根据表中的数据，作散点图；
(ii)请根据散点图分析化肥量与水稻产量近似呈什么关系，水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？
解：①散点图如下：
②从图中可以发现，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增加，不会一直随施化肥量的增加而增加.
[反思感悟]　1. 画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论.
2. 利用散点图直观感知事物的形态与变化，理解事物间的关联及变化规律，是数学核心素养直观想象的具体体现.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 观察下列散点图，两个变量具有线性相关关系的是(　A　)
A. B.
C. D.
2. 若“名师出高徒”成立，则名师与高徒之间存在的关系是(　A　)
A. 相关关系 B. 函数关系
C. 无任何关系 D. 不能确定
3. (多选)下列关于相关关系的说法，错误的有(　ABC　)
A. 相关关系是函数关系
B. 函数关系是相关关系
C. 线性相关关系是正比例函数关系
D. 相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系
4. 某物品的销售价格y和物品的大小x的数据如下表所示：
物品大小/m2 11.5 110 80 135 105
销售价格/万元 4.8 21.6 18.4 29.2 20
根据数据可以判断x，y　有　相关关系(填“有”或“无”). (共20张PPT)
一、成对数据的统计相关性
导学1　变量的相关关系
高中数学 选择性必修 第三册
成对数据的统计分析
第八章
知识点一
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去________决定另一个的程度，这种关系称为______关系.
点拨：相关关系与函数关系的异同点：
(1)相同点：均是指两个变量的关系.
(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定关系.
②两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定的随机因素的影响.
知识点一　相关关系的概念
精确地
相关
例1　(1)(多选)下列两个变量间，存在相关关系的有(　 　)
A. 扇形的半径与面积之间的关系
B. 降雪量与交通事故的发生率之间的关系
C. 人的身高与体重之间的关系　
D. 家庭的支出与收入之间的关系
【解析】扇形的半径与面积之间的关系是函数关系，其余均为相关关系.
BCD
(2)(多选)(2025·广东汕尾高二检测)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 正方体的体积与棱长之间的关系是函数关系
B. 人的身高与视力之间的关系是相关关系
C. 汽车的质量与汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程具有相关关系
D. 学生的体重与学习成绩之间不具有相关关系
【解析】正方体的体积与棱长之间的关系是函数关系，A正确；人的身高与视力之间不具有相关关系，B错误；汽车的质量与汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程负相关，具有相关关系，C正确；学生的体重与学习成绩之间不具有相关关系，D正确.
ACD
[反思感悟]　函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系， 而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.
知识点二
1. 每一个序号下的成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了统计图.我们把这样的统计图叫做____________.
2. 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现_________的趋势，我们就称这两个变量正相关；当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现_________的趋势，则称这两个变量负相关.
3. 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在_________附近，我们就称这两个变量_________相关.
4. 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
知识点二　散点图、线性相关
　散点图
　增加
减小
一条直线　
线性
例2　某种木材体积与树木的树龄之间有如下表所示的对应关系.
(i)请根据表中的数据，作散点图；
(ii)请根据散点图分析木材体积与树木的树龄近似呈什么关系.
解：(1)以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的体积，可得相应的散点图如图所示：
(2)由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势，且散点落在一条直线附近，∴木材的体积与树龄近似成线性相关关系.
树龄 2 3 4 5 6 7 8
体积/m3 30 34 40 60 55 62 70
[延伸探究]　若近似呈线性相关关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系.
解：近似拟合直线如图所示：
[反思感悟]　判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响.
知识点三
知识点三　散点图的应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(1)(多选)某校地理学兴趣小组将在某座山测得的海拔、气压和沸点的六组数据绘制成散点图，如图所示，则下列说法中，正确的有　(　 　)
A. 沸点与海拔呈正相关
B. 沸点与气压呈正相关
C. 沸点与海拔呈负相关
D. 沸点与海拔、沸点与气压的相关性都很强
【解析】由题中第一幅图知气压随海拔的增加而减小，由题中第二幅图知沸点随气压的升高而升高，∴沸点与气压呈正相关，沸点与海拔呈负相关，两幅散点图中的点都满足线性分布，∴沸点与海拔、沸点与气压的相关性都很强，B，C，D正确，A错误.
BCD
(2)下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据(单位：千克/亩)：
(i)请根据表中的数据，作散点图；
(ii)请根据散点图分析化肥量与水稻产量近似呈什么关系，水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？
解：①散点图如下：
②从图中可以发现，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增加，不会一直随施化肥量的增加而增加.
[反思感悟]　1. 画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论.
2. 利用散点图直观感知事物的形态与变化，理解事物间的关联及变化规律，是数学核心素养直观想象的具体体现.
随堂巩固
1. 观察下列散点图，两个变量具有线性相关关系的是(　　)
A
2. 若“名师出高徒”成立，则名师与高徒之间存在的关系是(　　)
A. 相关关系 B. 函数关系
C. 无任何关系 D. 不能确定
A　
3. (多选)下列关于相关关系的说法，错误的有(　 　)
A. 相关关系是函数关系
B. 函数关系是相关关系
C. 线性相关关系是正比例函数关系
D. 相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系
ABC
4. 某物品的销售价格y和物品的大小x的数据如下表所示：
根据数据可以判断x，y________相关关系(填“有”或“无”).
物品大小/m2 11.5 110 80 135 105
销售价格/万元 4.8 21.6 18.4 29.2 20
有8.1 导学1　变量的相关关系
知识点一　相关关系的概念　　　　　　　　　　　　　　　　
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去　 　决定另一个的程度，这种关系称为　 　关系.
点拨：相关关系与函数关系的异同点：
(1)相同点：均是指两个变量的关系.
(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定关系.
②两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定的随机因素的影响.
例1　(1)(多选)下列两个变量间，存在相关关系的有(　 　)
A. 扇形的半径与面积之间的关系
B. 降雪量与交通事故的发生率之间的关系
C. 人的身高与体重之间的关系　
D. 家庭的支出与收入之间的关系
(2)(多选)(2025·广东汕尾高二检测)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 正方体的体积与棱长之间的关系是函数关系
B. 人的身高与视力之间的关系是相关关系
C. 汽车的质量与汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程具有相关关系
D. 学生的体重与学习成绩之间不具有相关关系
[反思感悟]　函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系， 而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.
知识点二　散点图、线性相关　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 每一个序号下的成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了统计图.我们把这样的统计图叫做　 　.
2. 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现　 　的趋势，我们就称这两个变量正相关；当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现　 　的趋势，则称这两个变量负相关.
3. 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在　 　附近，我们就称这两个变量　 　相关.
4. 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
例2　某种木材体积与树木的树龄之间有如下表所示的对应关系.
树龄 2 3 4 5 6 7 8
体积/m3 30 34 40 60 55 62 70
(i)请根据表中的数据，作散点图；
(ii)请根据散点图分析木材体积与树木的树龄近似呈什么关系.
[延伸探究]　若近似呈线性相关关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系.
[反思感悟]　判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响.
知识点三　散点图的应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(1)(多选)某校地理学兴趣小组将在某座山测得的海拔、气压和沸点的六组数据绘制成散点图，如图所示，则下列说法中，正确的有　(　 　)
A. 沸点与海拔呈正相关
B. 沸点与气压呈正相关
C. 沸点与海拔呈负相关
D. 沸点与海拔、沸点与气压的相关性都很强
【解析】由题中第一幅图知气压随海拔的增加而减小，由题中第二幅图知沸点随气压的升高而升高，∴沸点与气压呈正相关，沸点与海拔呈负相关，两幅散点图中的点都满足线性分布，∴沸点与海拔、沸点与气压的相关性都很强，B，C，D正确，A错误.
(2)下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据(单位：千克/亩)：
施化肥量 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量 320 330 360 410 460 470 480
(i)请根据表中的数据，作散点图；
(ii)请根据散点图分析化肥量与水稻产量近似呈什么关系，水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？
[反思感悟]　1. 画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论.
2. 利用散点图直观感知事物的形态与变化，理解事物间的关联及变化规律，是数学核心素养直观想象的具体体现.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 观察下列散点图，两个变量具有线性相关关系的是(　 　)
A. B.
C. D.
2. 若“名师出高徒”成立，则名师与高徒之间存在的关系是(　 　)
A. 相关关系 B. 函数关系
C. 无任何关系 D. 不能确定
3. (多选)下列关于相关关系的说法，错误的有(　 　)
A. 相关关系是函数关系
B. 函数关系是相关关系
C. 线性相关关系是正比例函数关系
D. 相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系
4. 某物品的销售价格y和物品的大小x的数据如下表所示：
物品大小/m2 11.5 110 80 135 105
销售价格/万元 4.8 21.6 18.4 29.2 20
根据数据可以判断x，y　 　相关关系(填“有”或“无”).

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