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8.1 导学2　样本相关系数
知识点一　样本相关系数　　
1. 一般地，如果变量x和y正相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在　第一　象限、　第三　象限，对应的成对数据同号的居多；如果变量x和y　负相关　，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限、第四象限，对应的成对数据异号的居多.
2. 样本相关系数：r=

= 　.
点拨：样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性和绝对值的大小可以反映出成对样本数据的变化特征.
当r＞0时，称成对样本数据正相关；当r＜0时，称成对样本数据负相关.
例1　假设关于某种设备的使用年限x(单位：年)与所支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
计算y与x之间的样本相关系数，并判断y与x是正相关关系还是负相关关系.
解：∵=4，=5.
xiyi－5=112.3－5×4×5=12.3，－5=90－5×42=10，－5=140.8－125=15.8，
∴r=≈≈0.987.
∴y与x之间具有正相关关系.
[反思感悟]　1. 利用样本相关系数r判断线性相关关系时，需要运用公式计算出r的值，由于数据较大，有时需要借助计算器.
2. 理解相关系数公式所对应的数据的关系，避免计算失误.
知识点二　线性相关的强弱　　　　　　　　　　　　　　　　
样本数据相关系数r的绝对值大小反映成对数据之间线性相关的程度.
(1)当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度　越强　；
(2)当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度　越弱　.
(3)当r=0时，成对样本数据间没有　线性相关　关系.
例2　(1)已知r1表示变量X与Y之间的样本相关系数，r2表示变量U与V之间的样本相关系数，且r1=0.837，r2=－0.957，则下列说法中，正确的有(　C　)
A. 变量X与Y之间呈正相关关系，且X与Y之间的相关程度强于U与V之间的相关程度
B. 变量X与Y之间呈负相关关系，且X与Y之间的相关程度强于U与V之间的相关程度
C. 变量U与V之间呈负相关关系，且X与Y之间的相关程度弱于U与V之间的相关程度
D. 变量U与V之间呈正相关关系，且X与Y之间的相关程度弱于U与V之间的相关程度
【解析】∵r1=0.837＞0，r2=－0.957＜0，∴变量X与Y之间呈正相关关系，变量U与V之间呈负相关关系，∵|r1|＜|r2|，∴X与Y之间的相关程度弱于U与V之间的相关程度.
(2)(多选)(2025·山东临沂高二检测)甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，他们计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为r1=－0.95，r2=0.88，r3=－0.9，r4=－0.93，则下列说法中，正确的有(　BC　)
A. 在这四人中，丁研究的两个随机变量的线性相关程度最高
B. 在这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低
C. 在这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高
D. 在这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最低
【解析】∵|r1|＞|r4|＞|r3|＞|r2|，∴这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低.
[反思感悟]　线性相关程度强弱的判断方法：
(1)散点图：只能依据散点图粗略作出判断，其图象越接近直线，相关程度越强.
(2)样本相关系数：样本相关系数能够较准确地判断相关程度，其绝对值越大，相关程度越强.
知识点三　样本相关系数的实际应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　某市新房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋的大小x(单位：m2)的数据如下表所示.
房屋面积x 115 110 80 135 105
销售价格y 24.8 21.6 18.4 29.2 22
(1)请画出数据的散点图；
(2)求样本相关系数r，并作出分析.
解：(1)画出散点图如图所示.
(2)=109，=23.2，
r=
=
=≈0.96，
由此可知，新房屋的销售价格和房屋的面积这两个变量正线性相关，且相关程度很强.
[反思感悟]　1. 当相关系数|r|越接近1时，两个变量的相关程度越强，当相关系数|r|越接近0时，两个变量的相关程度越弱.
2. 样本相关系数r有时也称样本线性相关系数，|r|刻画了样本点集中于某条直线的程度.当r=0时，只表明成对数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 变量X，Y的散点图如图所示，那么X，Y之间的样本相关系数r最接近的值为(　C　)
A. 1 B. －0.5
C. 0 D. 0.5
2. 关于两个变量x，y与其样本相关系数r，有下列说法：
①若r＞0，则x增大时，y也相应增大；
②若|r|越接近1，则x与y的线性相关程度越强；
③若r=1，或r=－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上.
其中正确的有(　D　)
A. ①② B. ②③
C. ①③ D. ①②③
3. 用线性回归模型求得甲、乙、丙三组不同样本数据的样本相关系数分别为0.81，－0.98，0.63，其中　乙　(填甲、乙、丙中的一个)组样本数据的线性相关性最强.
4. 在成对样本数据中，已知(xi－)2是(yi－)2的2倍，(xi－)(yi－)是(yi－)2的1.2倍，则这组数据的样本相关系数r约为　0.849　(结果精确到0.001). 8.1 导学2　样本相关系数
知识点一　样本相关系数　　
1. 一般地，如果变量x和y正相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在　 　象限、　 　象限，对应的成对数据同号的居多；如果变量x和y　 　，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限、第四象限，对应的成对数据异号的居多.
2. 样本相关系数：r=　.
点拨：样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性和绝对值的大小可以反映出成对样本数据的变化特征.
当r＞0时，称成对样本数据正相关；当r＜0时，称成对样本数据负相关.
例1　假设关于某种设备的使用年限x(单位：年)与所支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
计算y与x之间的样本相关系数，并判断y与x是正相关关系还是负相关关系.
[反思感悟]　1. 利用样本相关系数r判断线性相关关系时，需要运用公式计算出r的值，由于数据较大，有时需要借助计算器.
2. 理解相关系数公式所对应的数据的关系，避免计算失误.
知识点二　线性相关的强弱　　　　　　　　　　　　　　　　
样本数据相关系数r的绝对值大小反映成对数据之间线性相关的程度.
(1)当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度　 　；
(2)当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度　 　.
(3)当r=0时，成对样本数据间没有　 　关系.
例2　(1)已知r1表示变量X与Y之间的样本相关系数，r2表示变量U与V之间的样本相关系数，且r1=0.837，r2=－0.957，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 变量X与Y之间呈正相关关系，且X与Y之间的相关程度强于U与V之间的相关程度
B. 变量X与Y之间呈负相关关系，且X与Y之间的相关程度强于U与V之间的相关程度
C. 变量U与V之间呈负相关关系，且X与Y之间的相关程度弱于U与V之间的相关程度
D. 变量U与V之间呈正相关关系，且X与Y之间的相关程度弱于U与V之间的相关程度
(2)(多选)(2025·山东临沂高二检测)甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，他们计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为r1=－0.95，r2=0.88，r3=－0.9，r4=－0.93，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 在这四人中，丁研究的两个随机变量的线性相关程度最高
B. 在这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低
C. 在这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高
D. 在这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最低
【解析】∵|r1|＞|r4|＞|r3|＞|r2|，∴这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低.
[反思感悟]　线性相关程度强弱的判断方法：
(1)散点图：只能依据散点图粗略作出判断，其图象越接近直线，相关程度越强.
(2)样本相关系数：样本相关系数能够较准确地判断相关程度，其绝对值越大，相关程度越强.
知识点三　样本相关系数的实际应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　某市新房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋的大小x(单位：m2)的数据如下表所示.
房屋面积x 115 110 80 135 105
销售价格y 24.8 21.6 18.4 29.2 22
(1)请画出数据的散点图；
(2)求样本相关系数r，并作出分析.
[反思感悟]　1. 当相关系数|r|越接近1时，两个变量的相关程度越强，当相关系数|r|越接近0时，两个变量的相关程度越弱.
2. 样本相关系数r有时也称样本线性相关系数，|r|刻画了样本点集中于某条直线的程度.当r=0时，只表明成对数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 变量X，Y的散点图如图所示，那么X，Y之间的样本相关系数r最接近的值为(　 　)
A. 1 B. －0.5
C. 0 D. 0.5
2. 关于两个变量x，y与其样本相关系数r，有下列说法：
①若r＞0，则x增大时，y也相应增大；
②若|r|越接近1，则x与y的线性相关程度越强；
③若r=1，或r=－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上.
其中正确的有(　 　)
A. ①② B. ②③
C. ①③ D. ①②③
3. 用线性回归模型求得甲、乙、丙三组不同样本数据的样本相关系数分别为0.81，－0.98，0.63，其中　 　(填甲、乙、丙中的一个)组样本数据的线性相关性最强.
4. 在成对样本数据中，已知(xi－)2是(yi－)2的2倍，(xi－)(yi－)是(yi－)2的1.2倍，则这组数据的样本相关系数r约为　 　(结果精确到0.001). (共21张PPT)
一、成对数据的统计相关性
导学2　样本相关系数
高中数学 选择性必修 第三册
成对数据的统计分析
第八章
知识点一
1. 一般地，如果变量x和y正相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在________象限、_________象限，对应的成对数据同号的居多；如果变量x和y__________，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限、第四象限，对应的成对数据异号的居多.
知识点一　样本相关系数　
第一
第三
负相关　
2. 样本相关系数：r=
__________________________________
__________________________________.

= 　
点拨：样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性和绝对值的大小可以反映出成对样本数据的变化特征.
当r＞0时，称成对样本数据正相关；当r＜0时，称成对样本数据负相关.
例1　假设关于某种设备的使用年限x(单位：年)与所支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料：
计算y与x之间的样本相关系数，并判断y与x是正相关关系还是负相关关系.
解：∵=4，=5.
xiyi－5=112.3－5×4×5=12.3，－5=90－5×42=10，－5=140.8－125=15.8，
∴r=≈≈0.987.
∴y与x之间具有正相关关系.
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
[反思感悟]　1. 利用样本相关系数r判断线性相关关系时，需要运用公式计算出r的值，由于数据较大，有时需要借助计算器.
2. 理解相关系数公式所对应的数据的关系，避免计算失误.
知识点二
样本数据相关系数r的绝对值大小反映成对数据之间线性相关的程度.
(1)当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度___________；
(2)当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度___________.
(3)当r=0时，成对样本数据间没有___________关系.
知识点二　线性相关的强弱
越强
越弱
线性相关
例2　(1)已知r1表示变量X与Y之间的样本相关系数，r2表示变量U与V之间的样本相关系数，且r1=0.837，r2=－0.957，则下列说法中，正确的有(　　)
A. 变量X与Y之间呈正相关关系，且X与Y之间的相关程度强于U与V之间的相关程度
B. 变量X与Y之间呈负相关关系，且X与Y之间的相关程度强于U与V之间的相关程度
C. 变量U与V之间呈负相关关系，且X与Y之间的相关程度弱于U与V之间的相关程度
D. 变量U与V之间呈正相关关系，且X与Y之间的相关程度弱于U与V之间的相关程度
【解析】∵r1=0.837＞0，r2=－0.957＜0，∴变量X与Y之间呈正相关关系，变量U与V之间呈负相关关系，∵|r1|＜|r2|，∴X与Y之间的相关程度弱于U与V之间的相关程度.
C
(2)(多选)(2025·山东临沂高二检测)甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，他们计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为r1=－0.95，r2=0.88，r3=－0.9，r4=－0.93，则下列说法中，正确的有(　　)
A. 在这四人中，丁研究的两个随机变量的线性相关程度最高
B. 在这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低
C. 在这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高
D. 在这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最低
【解析】∵|r1|＞|r4|＞|r3|＞|r2|，∴这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低.
BC
[反思感悟]　线性相关程度强弱的判断方法：
(1)散点图：只能依据散点图粗略作出判断，其图象越接近直线，相关程度越强.
(2)样本相关系数：样本相关系数能够较准确地判断相关程度，其绝对值越大，相关程度越强.
知识点三
知识点三　样本相关系数的实际应用　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　某市新房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋的大小x(单位：m2)的数据如下表所示.
(1)请画出数据的散点图；
(2)求样本相关系数r，并作出分析
房屋面积x 115 110 80 135 105
销售价格y 24.8 21.6 18.4 29.2 22
解：(1)画出散点图如图所示.
(2)=109，=23.2，
r=
=
=≈0.96，
由此可知，新房屋的销售价格和房屋的面积这两个变量正线性相关，且相关程度很强.
[反思感悟]　1. 当相关系数|r|越接近1时，两个变量的相关程度越强，当相关系数|r|越接近0时，两个变量的相关程度越弱.
2. 样本相关系数r有时也称样本线性相关系数，|r|刻画了样本点集中于某条直线的程度.当r=0时，只表明成对数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系.
随堂巩固
1. 变量X，Y的散点图如图所示，那么X，Y之间的样本相关系数r最接近的值为(　　)
A. 1 B. －0.5
C. 0 D. 0.5
C
2. 关于两个变量x，y与其样本相关系数r，有下列说法：
①若r＞0，则x增大时，y也相应增大；
②若|r|越接近1，则x与y的线性相关程度越强；
③若r=1，或r=－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上.
其中正确的有(　　)
A. ①② B. ②③
C. ①③ D. ①②③
D　
3. 用线性回归模型求得甲、乙、丙三组不同样本数据的样本相关系数分别为0.81，－0.98，0.63，其中___________(填甲、乙、丙中的一个)组样本数据的线性相关性最强.
乙
4. 在成对样本数据中，已知(xi－)2是(yi－)2的2倍，(xi－)(yi－)是(yi－)2的1.2倍，则这组数据的样本相关系数r约为____________(结果精确到0.001).
　0.849

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