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8.2 导学1　一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计
知识点一　一元线性回归模型　　　　　　　　　　　　　　　　
一元线性回归模型：我们称
为Y关于x的　 　模型，其中，Y称为　 　或　 　，x称为　 　或　 　；a和b为模型的未知参数，a称为　 　参数，b称为　 　参数；e是Y与bx＋a之间的　 　.
点拨：在线性回归模型Y=bx＋a＋e中，e产生的原因：(1)所用的确定性函数不恰当引起的误差；(2)忽略了某些因素的影响；(3)存在观测误差.
例1　(1)若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y=bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b=0.7，a=3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入为10亿元，年支出预计不会超过 (　 　)
A. 9亿元 B. 9.5亿元
C. 10亿元 D. 10.5亿元
(2)判断下列变量间哪些能用函数模型刻画，哪些能用回归模型刻画.
①某公司的销售收入和广告支出；
②某城市写字楼的出租率和每平方米的月租金；
③航空公司的顾客投诉次数和航班正点率；
④某地区的人均消费水平和人均国内生产总值(GDP)；
⑤学生期末考试成绩和考前用于复习的时间；
⑥一辆汽车在某段路程中的行驶速度和行驶时间；
⑦正方形的面积与周长.
[反思感悟]　在函数关系中，变量X对应的是变量Y的确定值，而在相关关系中，变量X对应的是变量Y的概率分布. 也就是说，相关关系是随机变量之间或随机变量与非随机变量之间的一种数量依存关系.
知识点二　最小二乘法和经验回归方程　　　　　　　　　　　　　　　　
最小二乘法： 我们将x＋ 称为Y关于x的　 　，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做　 　，求得的 叫做b，a的　 　，其中=
， .
点拨：1. 经验回归直线过点(， ).
2. 经验回归直线的截距 和斜率 都是通过样本估计而得的，存在着误差，这种误差可能导致结果的偏差.
3. 经验回归方程x中的 表示x增加1个单位时，y的平均变化量为，而 表示y不随x的变化而变化的部分.
例2　随着经济的发展，某地居民的收入逐年增长，该地一银行连续五年年底的储蓄存款情况如下表所示.
年份x 2019 2020 2021 2022 2023
储蓄存款额y/千亿元 5 6 7 8 10
为了计算方便，工作人员对上表的数据进行了处理，令t=x－2 018，z=y－5，得到下表.
t 1 2 3 4 5
z 0 1 2 3 5
(1)作z关于t的散点图，求z关于t的经验回归方程；
(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程.
[反思感悟]　1. 求经验回归方程的一般步骤：
(1)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系.
(2)计算xiyi.
(3)代入公式计算， 的值.
(4)写出经验回归方程.
2. 求经验回归方程时，经常遇到x，y的数字过大，直接求解 和 的值时，易出现错误.为了减少计算出错的风险，我们可以对给定的数据进行预处理，从而降低运算量，降低出错的概率.
知识点三　利用经验回归方程进行预测　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(1)(2025·广东梅州高二期末)某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠的售后保障，在全球赢得了很大的销售市场，如下表所示为该品牌新能源汽车的科研经费x(单位：百亿元)和全球市场规模y(单位：百万辆)统计.
科研经费x 2 4 6 12 16
市场规模y 1 1.5 2 3 3.5
如此得到y关于x的经验回归方程y=0.18x＋，估计当该品牌新能源汽车的科研经费x=20时，y的值为(　 　)
A. 4 B. 4.14
C. 4.36 D. 4.58
(2)(2025·江西南昌高二期末)某饮品店统计了一天营业时间x(单位：小时)与饮品销量y(单位：杯)的数据如下表所示：
营业时间x 1 2 3 4 5
饮品销量y 17 36 56 77 99
已知y与x线性相关.
(i)根据以上数据求饮品销量y关于营业时间x的回归直线方程；
(ii)若平均一杯饮品的纯利润为5元，某日该饮品店计划早上9点开始营业，晚上9点结束营业，中间不休息，试预测当日饮品的总利润能否超过1 000元.
[反思感悟]　1. 判断两个变量是否线性相关时，可以利用经验，也可以画散点图.
2. 求经验回归方程，注意运算的正确性，要根据题目给出的数据选择公式求 .
3. 根据经验回归方程进行预测估计时，因为估计值不是实际值，所以两者会有一定的误差.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别是(1， 2)，(2， 3)，(3， 4)，(4， 5)，则y关于x的经验回归方程为(　 　)
A. =x＋1 B. =x＋2
C. =2x＋1 D. =x－1
2. 根据如图所示的散点图得出的经验回归方程为 =0.9x＋，则 的值为(　 　)
A. 2.8 B. 3.2
C. 3.6 D. 4
3. 某地区近十年居民的年收入x与年支出y之间的关系大致符合=0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是　 　亿元.
4. 某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.设零件个数为x，加工时间为y，这5次试验的数据分别为：(10，62)，(20，a)，(30，75)，(40，81)，(50，89).若用最小二乘法求得其经验回归方程为=0.67x＋54.9，则a的值为　 　. (共21张PPT)
二、一元线性回归模型及其应用
导学1　一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计
高中数学 选择性必修 第三册
成对数据的统计分析
第八章
知识点一
一元线性回归模型：我们称
为Y关于x的______________模型，其中，Y称为________或__________，x称为________或__________；a和b为模型的未知参数，a称为______参数，b称为______参数；e是Y与bx＋a之间的__________.
点拨：在线性回归模型Y=bx＋a＋e中，e产生的原因：(1)所用的确定性函数不恰当引起的误差；(2)忽略了某些因素的影响；(3)存在观测误差.
知识点一　一元线性回归模型
一元线性回归
因变量
响应变量
自变量
解释变量
　截距
斜率
　随机误差　
例1　(1)若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y=bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b=0.7，a=3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入为10亿元，年支出预计不会超过 (　　)
A. 9亿元 B. 9.5亿元
C. 10亿元 D. 10.5亿元
【解析】∵财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y=bx＋a＋e，其中b=0.7，a=3，∴y=0.7x＋3＋e.
当x=10时，得y=0.7×10＋3＋e=10＋e，又|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，∴9.5≤y≤10.5，∴年支出预计不会超过10.5亿元.
D
(2)判断下列变量间哪些能用函数模型刻画，哪些能用回归模型刻画.
①某公司的销售收入和广告支出；
②某城市写字楼的出租率和每平方米的月租金；
③航空公司的顾客投诉次数和航班正点率；
④某地区的人均消费水平和人均国内生产总值(GDP)；
⑤学生期末考试成绩和考前用于复习的时间；
⑥一辆汽车在某段路程中的行驶速度和行驶时间；
⑦正方形的面积与周长.
解：①②③④⑤用回归模型刻画，⑥⑦用函数模型刻画.
[反思感悟]　在函数关系中，变量X对应的是变量Y的确定值，而在相关关系中，变量X对应的是变量Y的概率分布. 也就是说，相关关系是随机变量之间或随机变量与非随机变量之间的一种数量依存关系.
知识点二
最小二乘法： 我们将x＋ 称为Y关于x的______________，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做____________，求得的 叫做b，a的______________，其中=
， .
知识点二　最小二乘法和经验回归方程
经验回归方程
最小二乘法
最小二乘估计
点拨：1. 经验回归直线过点(， ).
2. 经验回归直线的截距 和斜率 都是通过样本估计而得的，存在着误差，这种误差可能导致结果的偏差.
3. 经验回归方程x中的 表示x增加1个单位时，y的平均变化量为，而 表示y不随x的变化而变化的部分.
例2　随着经济的发展，某地居民的收入逐年增长，该地一银行连续五年年底的储蓄存款情况如下表所示.
为了计算方便，工作人员对上表的数据进行了处理，令t=x－2 018，z=y－5，得到下表.
(1)作z关于t的散点图，求z关于t的经验回归方程；
(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程.
年份x 2019 2020 2021 2022 2023
储蓄存款额y/千亿元 5 6 7 8 10
t 1 2 3 4 5
z 0 1 2 3 5
解：(1)作散点图，直观看z与t具有线性相关关系.
根据z关于t的表格数据，得(1＋2＋3＋4＋5)=3，(0＋1＋2＋3＋5)=2.2，
且tizi=45，=55，
∴=1.2，=2.2－1.2×3=－1.4，
∴z关于t的经验回归方程为=1.2t－1.4.
(2)=1.2t－1.4，代入t=x－2 018，z=y－5，得－5=1.2(x－2 018)－1.4，即=1.2x－2 418.
故y关于x的回归方程为=1.2x－2 418.
[反思感悟]　1. 求经验回归方程的一般步骤：
(1)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系.
(2)计算xiyi.
(3)代入公式计算， 的值.
(4)写出经验回归方程.
2. 求经验回归方程时，经常遇到x，y的数字过大，直接求解 和 的值时，易出现错误.为了减少计算出错的风险，我们可以对给定的数据进行预处理，从而降低运算量，降低出错的概率.
知识点三
知识点三　利用经验回归方程进行预测　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(1)(2025·广东梅州高二期末)某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠的售后保障，在全球赢得了很大的销售市场，如下表所示为该品牌新能源汽车的科研经费x(单位：百亿元)和全球市场规模y(单位：百万辆)统计.
如此得到y关于x的经验回归方程y=0.18x＋，估计当该品牌新能源汽车的科研经费x=20时，y的值为(　　)
A. 4 B. 4.14
C. 4.36 D. 4.58
【解析】由表中数据可得=8，=2.2，故样本中心为(8，2.2)，故－0.18=2.2－0.18×8=0.76，故当x=20时，y=0.18×20＋0.76=4.36.
科研经费x 2 4 6 12 16
市场规模y 1 1.5 2 3 3.5
C
(2)(2025·江西南昌高二期末)某饮品店统计了一天营业时间x(单位：小时)与饮品销量y(单位：杯)的数据如下表所示：
已知y与x线性相关.
(i)根据以上数据求饮品销量y关于营业时间x的回归直线方程；
(ii)若平均一杯饮品的纯利润为5元，某日该饮品店计划早上9点开始营业，晚上9点结束营业，中间不休息，试预测当日饮品的总利润能否超过1 000元.
解：(i)根据题意，=3，=57，xiyi=1 060，=55，
=57－×3=－，
∴回归直线方程为y=x－.
(ii)由(i)知，回归方程为y=x－，
早上9点开始营业，晚上9点结束营业，共营业12小时，
∴估计共销售×12－(杯)，盈利元，
∴预测当日饮品的总利润能超过1 000元.
营业时间x 1 2 3 4 5
饮品销量y 17 36 56 77 99
[反思感悟]　1. 判断两个变量是否线性相关时，可以利用经验，也可以画散点图.
2. 求经验回归方程，注意运算的正确性，要根据题目给出的数据选择公式求 .
3. 根据经验回归方程进行预测估计时，因为估计值不是实际值，所以两者会有一定的误差.
随堂巩固
1. 在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别是(1， 2)，(2， 3)，(3， 4)，(4， 5)，则y关于x的经验回归方程为(　　)
A. =x＋1 B. =x＋2
C. =2x＋1 D. =x－1
A
2. 根据如图所示的散点图得出的经验回归方程为 =0.9x＋，则 的值为(　　)
A. 2.8 B. 3.2
C. 3.6 D. 4
　B
3. 某地区近十年居民的年收入x与年支出y之间的关系大致符合=0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是________亿元.
12.1
4. 某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.设零件个数为x，加工时间为y，这5次试验的数据分别为：(10，62)，(20，a)，(30，75)，(40，81)，(50，89).若用最小二乘法求得其经验回归方程为=0.67x＋54.9，则a的值为_____.
688.2 导学1　一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计
知识点一　一元线性回归模型　　　　　　　　　　　　　　　　
一元线性回归模型：我们称
为Y关于x的　一元线性回归　模型，其中，Y称为　因变量　或　响应变量　，x称为　自变量　或　解释变量　；a和b为模型的未知参数，a称为　截距　参数，b称为　斜率　参数；e是Y与bx＋a之间的　随机误差　.
点拨：在线性回归模型Y=bx＋a＋e中，e产生的原因：(1)所用的确定性函数不恰当引起的误差；(2)忽略了某些因素的影响；(3)存在观测误差.
例1　(1)若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y=bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b=0.7，a=3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入为10亿元，年支出预计不会超过 (　D　)
A. 9亿元 B. 9.5亿元
C. 10亿元 D. 10.5亿元
【解析】∵财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y=bx＋a＋e，其中b=0.7，a=3，∴y=0.7x＋3＋e.
当x=10时，得y=0.7×10＋3＋e=10＋e，又|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，∴9.5≤y≤10.5，∴年支出预计不会超过10.5亿元.
(2)判断下列变量间哪些能用函数模型刻画，哪些能用回归模型刻画.
①某公司的销售收入和广告支出；
②某城市写字楼的出租率和每平方米的月租金；
③航空公司的顾客投诉次数和航班正点率；
④某地区的人均消费水平和人均国内生产总值(GDP)；
⑤学生期末考试成绩和考前用于复习的时间；
⑥一辆汽车在某段路程中的行驶速度和行驶时间；
⑦正方形的面积与周长.
解：①②③④⑤用回归模型刻画，⑥⑦用函数模型刻画.
[反思感悟]　在函数关系中，变量X对应的是变量Y的确定值，而在相关关系中，变量X对应的是变量Y的概率分布. 也就是说，相关关系是随机变量之间或随机变量与非随机变量之间的一种数量依存关系.
知识点二　最小二乘法和经验回归方程　　　　　　　　　　　　　　　　
最小二乘法： 我们将x＋ 称为Y关于x的　经验回归方程　，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做　最小二乘法　，求得的 叫做b，a的　最小二乘估计　，其中=
， .
点拨：1. 经验回归直线过点(， ).
2. 经验回归直线的截距 和斜率 都是通过样本估计而得的，存在着误差，这种误差可能导致结果的偏差.
3. 经验回归方程x中的 表示x增加1个单位时，y的平均变化量为，而 表示y不随x的变化而变化的部分.
例2　随着经济的发展，某地居民的收入逐年增长，该地一银行连续五年年底的储蓄存款情况如下表所示.
年份x 2019 2020 2021 2022 2023
储蓄存款额y/千亿元 5 6 7 8 10
为了计算方便，工作人员对上表的数据进行了处理，令t=x－2 018，z=y－5，得到下表.
t 1 2 3 4 5
z 0 1 2 3 5
(1)作z关于t的散点图，求z关于t的经验回归方程；
(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程.
解：(1)作散点图，直观看z与t具有线性相关关系.
根据z关于t的表格数据，得(1＋2＋3＋4＋5)=3，(0＋1＋2＋3＋5)=2.2，
且tizi=45，=55，
∴=1.2，=2.2－1.2×3=－1.4，
∴z关于t的经验回归方程为=1.2t－1.4.
(2)=1.2t－1.4，代入t=x－2 018，z=y－5，得－5=1.2(x－2 018)－1.4，即=1.2x－2 418.
故y关于x的回归方程为=1.2x－2 418.
[反思感悟]　1. 求经验回归方程的一般步骤：
(1)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系.
(2)计算xiyi.
(3)代入公式计算， 的值.
(4)写出经验回归方程.
2. 求经验回归方程时，经常遇到x，y的数字过大，直接求解 和 的值时，易出现错误.为了减少计算出错的风险，我们可以对给定的数据进行预处理，从而降低运算量，降低出错的概率.
知识点三　利用经验回归方程进行预测　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(1)(2025·广东梅州高二期末)某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠的售后保障，在全球赢得了很大的销售市场，如下表所示为该品牌新能源汽车的科研经费x(单位：百亿元)和全球市场规模y(单位：百万辆)统计.
科研经费x 2 4 6 12 16
市场规模y 1 1.5 2 3 3.5
如此得到y关于x的经验回归方程y=0.18x＋，估计当该品牌新能源汽车的科研经费x=20时，y的值为(　C　)
A. 4 B. 4.14
C. 4.36 D. 4.58
【解析】由表中数据可得=8，=2.2，故样本中心为(8，2.2)，故－0.18=2.2－0.18×8=0.76，故当x=20时，y=0.18×20＋0.76=4.36.
(2)(2025·江西南昌高二期末)某饮品店统计了一天营业时间x(单位：小时)与饮品销量y(单位：杯)的数据如下表所示：
营业时间x 1 2 3 4 5
饮品销量y 17 36 56 77 99
已知y与x线性相关.
(i)根据以上数据求饮品销量y关于营业时间x的回归直线方程；
(ii)若平均一杯饮品的纯利润为5元，某日该饮品店计划早上9点开始营业，晚上9点结束营业，中间不休息，试预测当日饮品的总利润能否超过1 000元.
解：(i)根据题意，=3，=57，xiyi=1 060，=55，
=57－×3=－，
∴回归直线方程为y=x－.
(ii)由(i)知，回归方程为y=x－，
早上9点开始营业，晚上9点结束营业，共营业12小时，
∴估计共销售×12－(杯)，盈利元，
∴预测当日饮品的总利润能超过1 000元.
[反思感悟]　1. 判断两个变量是否线性相关时，可以利用经验，也可以画散点图.
2. 求经验回归方程，注意运算的正确性，要根据题目给出的数据选择公式求 .
3. 根据经验回归方程进行预测估计时，因为估计值不是实际值，所以两者会有一定的误差.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别是(1， 2)，(2， 3)，(3， 4)，(4， 5)，则y关于x的经验回归方程为(　A　)
A. =x＋1 B. =x＋2
C. =2x＋1 D. =x－1
2. 根据如图所示的散点图得出的经验回归方程为 =0.9x＋，则 的值为(　B　)
A. 2.8 B. 3.2
C. 3.6 D. 4
3. 某地区近十年居民的年收入x与年支出y之间的关系大致符合=0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是　12.1　亿元.
4. 某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.设零件个数为x，加工时间为y，这5次试验的数据分别为：(10，62)，(20，a)，(30，75)，(40，81)，(50，89).若用最小二乘法求得其经验回归方程为=0.67x＋54.9，则a的值为　68　.

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