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8.2 导学2　一元线性回归模型的综合问题
知识点一　残差与残差分析　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的 称为预测值，观测值减去预测值所得的差称为　 　.通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为　 　.
2. 残差图中，若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域　 　，则说明拟合效果越好.
点拨：在使用经验回归方程进行预测时，需要注意的问题：
(1)经验回归方程只适用于所研究的样本的总体.
(2)所建立的经验回归方程一般都有时效性.
(3)解释变量的取值不能离样本数据的范围太远.一般解释变量的取值在样本数据范围内，经验回归方程的预测效果好，超出这个范围越远，预测的效果越差.
(4)不能期望经验回归方程得到的预测值就是响应变量的精确值.
例1　(1)对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型x＋，对应的残差如下图所示，则模型误差(　 　)
A. 满足一元线性回归模型的所有假设
B. 不满足一元线性回归模型的E(e)=0的假设
C. 不满足一元线性回归模型的D(e)=σ2的假设
D. 不满足一元线性回归模型的E(e)=0和D(e)=σ2的假设
(2)小王经营了一家小型餐馆，开业第一周的营业收入数据(单位：百元)统计如下：
日序数x 1 2 3 4 5 6 7
营业收入y 11 13 18 ※ 28 ※ 35
其中第4天和第6天的数据由于某种原因模糊，但知道7天的营业收入平均值是23，已知营业收入y与日序数x可以用经验回归直线方程y=x＋ 拟合，且第7天的残差是－0.6，则 的值是(　 　)
A. 10.4 B. 6.2
C. 4.2 D. 2
[反思感悟]　残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预测精度越高.
知识点二　残差平方和与决定系数R2　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 残差平方和(yi－)2越　 　，模型的拟合效果越　 　.
2. R2的计算公式为R2=1－.在R2的表达式中，(yi－)2与经验回归方程无关，残差平方和(yi－)2与经验回归方程有关. 因此R2越大，表示残差平方和　 　，即模型的拟合效果　 　；R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果　 　.
例2　已知某种商品的价格x(单位：元)与需求量y(单位：件)的一组数据如下表所示：
x 14 16 18 20 22
y 12 10 7 5 3
(1)求y关于x的经验回归方程；
(2)请借助残差平方和与R2说明回归模型拟合效果的好坏.
参考公式及数据：=1 660，xiyi=620，(yi－)2=53.2.
[反思感悟]　刻画回归效果的三种方法：
(1)残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适.
(2)残差平方和法：残差平方和(yi－)2越小，模型的拟合效果越好.
(3)决定系数法：R2=1－越接近1，表明回归拟合效果越好.
知识点三　非线性回归分析　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(1)已知变量y关于变量x的回归方程为=bln x＋0.24，其一组数据如下表所示：
x e e3 e4 e6 e7
y 1 2 3 4 5
若x=e10，则y的值大约为(　 　)
A. 4.94 B. 5.74
C. 6.81 D. 8.04
(2)噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度D(单位：dB)与声音能量I(单位：W/cm2)之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii(i=1，2，…，10)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
1.04×10－11 45.7 －11.5
(Ii－)2 (Wi－)2
1.56×10－21 0.51
(Ii－)·(Di－) (Wi－)·(Di－)
6.88×10－11 5.1
表中Wi=lg Ii，Wi.
(i)根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的非线性经验回归方程·lg I；
(ii)规定声音强度大于60 dB时属于噪声，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且=1010.已知点P的声音能量等于声音能量I1与I2之和，请根据①中的非线性经验回归方程，判断点P是否受到噪声污染的干扰，并说明理由.
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
[反思感悟]　对数函数模型y=c1＋c2ln x的求法：
(1)确定变量，作出散点图.
(2)根据散点图，做出y=c1＋c2ln x的函数选择.
(3)变量置换，令z=ln x，通过变量置换把问题转化为z的经验回归问题，并求出经验回归方程z.
(4)根据相应的变换，写出ln x的经验回归方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的R2如下表所示，其中拟合效果最好的模型是(　 　)
模型 模型1 模型2 模型3 模型4
R2 0.98 0.80 0.50 0.25
A. 模型1　 B. 模型2
C. 模型3 D. 模型4
2. 两个变量的散点图如图所示，用如下函数进行拟合，比较合理的是(　 　)
A. y=a·xb B. y=a＋bln x
C. y=a·ebx D. y=a·
3. (多选)下列关于残差图的说法，正确的有(　 　)
A. 残差图的横坐标可以是样本编号
B. 残差图的横坐标也可以是解释变量或响应变量
C. 残差点分布的带状区域的宽度越窄，R2越小
D. 残差点分布的带状区域的宽度越窄，残差平方和越小
4. 研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y=ebx＋a的周围.令z=ln y，求得经验回归方程为=0.25x－2.58，则该模型的非线性经验回归方程为 　. 8.2 导学2　一元线性回归模型的综合问题
知识点一　残差与残差分析　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的 称为预测值，观测值减去预测值所得的差称为　残差　.通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为　残差分析　.
2. 残差图中，若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域　越窄　，则说明拟合效果越好.
点拨：在使用经验回归方程进行预测时，需要注意的问题：
(1)经验回归方程只适用于所研究的样本的总体.
(2)所建立的经验回归方程一般都有时效性.
(3)解释变量的取值不能离样本数据的范围太远.一般解释变量的取值在样本数据范围内，经验回归方程的预测效果好，超出这个范围越远，预测的效果越差.
(4)不能期望经验回归方程得到的预测值就是响应变量的精确值.
例1　(1)对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型x＋，对应的残差如下图所示，则模型误差(　C　)
A. 满足一元线性回归模型的所有假设
B. 不满足一元线性回归模型的E(e)=0的假设
C. 不满足一元线性回归模型的D(e)=σ2的假设
D. 不满足一元线性回归模型的E(e)=0和D(e)=σ2的假设
【解析】由一元线性回归模型得到经验回归模型x＋，根据对应的残差图，残差的均值E(e)=0可能成立，但明显残差的x轴上方的数据更分散，D(e)=σ2不满足一元线性回归模型，C正确.
(2)小王经营了一家小型餐馆，开业第一周的营业收入数据(单位：百元)统计如下：
日序数x 1 2 3 4 5 6 7
营业收入y 11 13 18 ※ 28 ※ 35
其中第4天和第6天的数据由于某种原因模糊，但知道7天的营业收入平均值是23，已知营业收入y与日序数x可以用经验回归直线方程y=x＋ 拟合，且第7天的残差是－0.6，则 的值是(　A　)
A. 10.4 B. 6.2
C. 4.2 D. 2
【解析】由残差=yi－得－0.6=35－，即=35.6，∴35.6=7①，又=4，=23，∵回归直线y=x＋经过中心点()，∴23=4②，联立①②解得=6.2，=4.2，∴=10.4.
[反思感悟]　残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预测精度越高.
知识点二　残差平方和与决定系数R2　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 残差平方和(yi－)2越　小　，模型的拟合效果越　好　.
2. R2的计算公式为R2=1－.在R2的表达式中，(yi－)2与经验回归方程无关，残差平方和(yi－)2与经验回归方程有关. 因此R2越大，表示残差平方和　越小　，即模型的拟合效果　越好　；R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果　越差　.
例2　已知某种商品的价格x(单位：元)与需求量y(单位：件)的一组数据如下表所示：
x 14 16 18 20 22
y 12 10 7 5 3
(1)求y关于x的经验回归方程；
(2)请借助残差平方和与R2说明回归模型拟合效果的好坏.
参考公式及数据：=1 660，xiyi=620，(yi－)2=53.2.
解：(1)×(14＋16＋18＋20＋22)=18，×(12＋10＋7＋5＋3)=7.4，
∴=－1.15，=7.4＋1.15×18=28.1，
∴所求经验回归方程是=－1.15x＋28.1.
(2)列出残差表为
yi－ 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2
yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4
∴(yi－)2=0.3，且(yi－)2=53.2，R2=1－≈0.994，∴回归模型的拟合效果很好.
[反思感悟]　刻画回归效果的三种方法：
(1)残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适.
(2)残差平方和法：残差平方和(yi－)2越小，模型的拟合效果越好.
(3)决定系数法：R2=1－越接近1，表明回归拟合效果越好.
知识点三　非线性回归分析　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(1)已知变量y关于变量x的回归方程为=bln x＋0.24，其一组数据如下表所示：
x e e3 e4 e6 e7
y 1 2 3 4 5
若x=e10，则y的值大约为(　C　)
A. 4.94 B. 5.74
C. 6.81 D. 8.04
【解析】由=bln x＋0.24，令t=ln x，则=bt＋0.24，由题意，=4.2，=3，∴3=b×4.2＋0.24，解得b=，∴ln x＋0.24，又x=e10，解得≈6.81.
(2)噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度D(单位：dB)与声音能量I(单位：W/cm2)之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii(i=1，2，…，10)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
1.04×10－11 45.7 －11.5
(Ii－)2 (Wi－)2
1.56×10－21 0.51
(Ii－)·(Di－) (Wi－)·(Di－)
6.88×10－11 5.1
表中Wi=lg Ii，Wi.
(i)根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的非线性经验回归方程·lg I；
解：由Wi=lg Ii，先建立D关于W的经验回归方程，
由于=10，∴=45.7－10×(－11.5)=160.7，
∴D关于W的经验回归方程是=10W＋160.7，即D关于I的非线性经验回归方程是=10lg I＋160.7.
(ii)规定声音强度大于60 dB时属于噪声，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且=1010.已知点P的声音能量等于声音能量I1与I2之和，请根据①中的非线性经验回归方程，判断点P是否受到噪声污染的干扰，并说明理由.
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
解：点P的声音能量I=I1＋I2，
∵=1010，∴I=I1＋I2=10－10·(I1＋I2)=10－10·≥
9×10－10，
根据(1)中的非线性经验回归方程，点P的声音强度D的最小预测值为=
10·lg (9×10－10)＋160.7=10·lg 9＋60.7＞60，∴点P会受到噪声污染的干扰.
[反思感悟]　对数函数模型y=c1＋c2ln x的求法：
(1)确定变量，作出散点图.
(2)根据散点图，做出y=c1＋c2ln x的函数选择.
(3)变量置换，令z=ln x，通过变量置换把问题转化为z的经验回归问题，并求出经验回归方程z.
(4)根据相应的变换，写出ln x的经验回归方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的R2如下表所示，其中拟合效果最好的模型是(　A　)
模型 模型1 模型2 模型3 模型4
R2 0.98 0.80 0.50 0.25
A. 模型1　 B. 模型2
C. 模型3 D. 模型4
2. 两个变量的散点图如图所示，用如下函数进行拟合，比较合理的是(　B　)
A. y=a·xb B. y=a＋bln x
C. y=a·ebx D. y=a·
3. (多选)下列关于残差图的说法，正确的有(　ABD　)
A. 残差图的横坐标可以是样本编号
B. 残差图的横坐标也可以是解释变量或响应变量
C. 残差点分布的带状区域的宽度越窄，R2越小
D. 残差点分布的带状区域的宽度越窄，残差平方和越小
4. 研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y=ebx＋a的周围.令z=ln y，求得经验回归方程为=0.25x－2.58，则该模型的非线性经验回归方程为 　. (共23张PPT)
二、一元线性回归模型及其应用
导学2　一元线性回归模型的综合问题
高中数学 选择性必修 第三册
成对数据的统计分析
第八章
知识点一
1. 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的 称为预测值，观测值减去预测值所得的差称为______.通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为__________.
2. 残差图中，若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域______，则说明拟合效果越好.
知识点一　残差与残差分析　
残差
　残差分析
越窄
点拨：在使用经验回归方程进行预测时，需要注意的问题：
(1)经验回归方程只适用于所研究的样本的总体.
(2)所建立的经验回归方程一般都有时效性.
(3)解释变量的取值不能离样本数据的范围太远.一般解释变量的取值在样本数据范围内，经验回归方程的预测效果好，超出这个范围越远，预测的效果越差.
(4)不能期望经验回归方程得到的预测值就是响应变量的精确值.
例1　(1)对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型x＋，对应的残差如下图所示，则模型误差(　　)
A. 满足一元线性回归模型的所有假设
B. 不满足一元线性回归模型的E(e)=0的假设
C. 不满足一元线性回归模型的D(e)=σ2的假设
D. 不满足一元线性回归模型的E(e)=0和D(e)=σ2的假设
【解析】由一元线性回归模型得到经验回归模型x＋，根据对应的残差图，残差的均值E(e)=0可能成立，但明显残差的x轴上方的数据更分散，D(e)=σ2不满足一元线性回归模型，C正确.
C
(2)小王经营了一家小型餐馆，开业第一周的营业收入数据(单位：百元)统计如下：
入y与日序数x可以用经验回归直线方程y=x＋ 拟合，且第7天的残差是－0.6，则 的值是(　　)
A. 10.4 B. 6.2
C. 4.2 D. 2
【解析】由残差=yi－得－0.6=35－，即=35.6，∴35.6=7①，又=4，=23，∵回归直线y=x＋经过中心点()，∴23=4②，联立①②解得=6.2，=4.2，∴=10.4.
日序数x 1 2 3 4 5 6 7
营业收入y 11 13 18 ※ 28 ※ 35
A
[反思感悟]　残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预测精度越高.
知识点二
1. 残差平方和(yi－)2越____，模型的拟合效果越____.
2. R2的计算公式为R2=1－.在R2的表达式中，(yi－)2与经验回归方程无关，残差平方和(yi－)2与经验回归方程有关. 因此R2越大，表示残差平方和______，即模型的拟合效果______；R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果______.
知识点二　残差平方和与决定系数R2　　　
小
　好
越小　
　越好
越差
例2　已知某种商品的价格x(单位：元)与需求量y(单位：件)的一组数据如下表所示：
(1)求y关于x的经验回归方程；
(2)请借助残差平方和与R2说明回归模型拟合效果的好坏.
参考公式及数据：=1 660，xiyi=620，(yi－)2=53.2.
x 14 16 18 20 22
y 12 10 7 5 3
解：(1)×(14＋16＋18＋20＋22)=18，×(12＋10＋7＋5＋3)=7.4，
∴=－1.15，=7.4＋1.15×18=28.1，
∴所求经验回归方程是=－1.15x＋28.1.
(2)列出残差表为
∴(yi－)2=0.3，且(yi－)2=53.2，R2=1－≈0.994，∴回归模型的拟合效果很好.
yi－ 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2
yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4
[反思感悟]　刻画回归效果的三种方法：
(1)残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适.
(2)残差平方和法：残差平方和(yi－)2越小，模型的拟合效果越好.
(3)决定系数法：R2=1－越接近1，表明回归拟合效果越好.
知识点三
知识点三　非线性回归分析
例3　(1)已知变量y关于变量x的回归方程为=bln x＋0.24，其一组数据如下表所示：
若x=e10，则y的值大约为(　　)
A. 4.94 B. 5.74
C. 6.81 D. 8.04
【解析】由=bln x＋0.24，令t=ln x，则=bt＋0.24，由题意，=4.2，=3，∴3=b×4.2＋0.24，解得b=，∴ln x＋0.24，又x=e10，解得≈6.81.　　　　　
x e e3 e4 e6 e7
y 1 2 3 4 5
　C
(2)噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度D(单位：dB)与声音能量I(单位：W/cm2)之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii(i=1，2，…，10)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中Wi=lg Ii，Wi.
(i)根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的非线性经验回归方程·lg I；
1.04×10－11 45.7 －11.5
(Ii－)2 (Wi－)2
1.56×10－21 0.51
(Ii－)·(Di－) (Wi－)·(Di－)
6.88×10－11 5.1
解：由Wi=lg Ii，先建立D关于W的经验回归方程，
由于=10，∴=45.7－10×(－11.5)=160.7，
∴D关于W的经验回归方程是=10W＋160.7，即D关于I的非线性经验回归方程是=
10lg I＋160.7.
(ii)规定声音强度大于60 dB时属于噪声，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且=1010.已知点P的声音能量等于声音能量I1与I2之和，请根据①中的非线性经验回归方程，判断点P是否受到噪声污染的干扰，并说明理由.
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
解：点P的声音能量I=I1＋I2，
∵=1010，∴I=I1＋I2=10－10·(I1＋I2)=10－10·≥9×
10－10，
根据(1)中的非线性经验回归方程，点P的声音强度D的最小预测值为=10·lg (9×10－10)＋160.7=10·lg 9＋60.7＞60，∴点P会受到噪声污染的干扰.
[反思感悟]　对数函数模型y=c1＋c2ln x的求法：
(1)确定变量，作出散点图.
(2)根据散点图，做出y=c1＋c2ln x的函数选择.
(3)变量置换，令z=ln x，通过变量置换把问题转化为z的经验回归问题，并求出经验回归方程z.
(4)根据相应的变换，写出ln x的经验回归方程.
随堂巩固
1. 在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的R2如下表所示，其中拟合效果最好的模型是(　　)
A. 模型1　 B. 模型2
C. 模型3 D. 模型4
模型 模型1 模型2 模型3 模型4
R2 0.98 0.80 0.50 0.25
A
2. 两个变量的散点图如图所示，用如下函数进行拟合，比较合理的是(　　)
A. y=a·xb B. y=a＋bln x
C. y=a·ebx D. y=a·
B
3. (多选)下列关于残差图的说法，正确的有(　 　)
A. 残差图的横坐标可以是样本编号
B. 残差图的横坐标也可以是解释变量或响应变量
C. 残差点分布的带状区域的宽度越窄，R2越小
D. 残差点分布的带状区域的宽度越窄，残差平方和越小
ABD
4. 研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y=ebx＋a的周围.令z=ln y，求得经验回归方程为=0.25x－2.58，则该模型的非线性经验回归方程为__________________.
　

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