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8.3 列联表与独立性检验
知识点一　分类变量与列联表　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 数值变量与分类变量.
数值变量：数值变量的取值为　实数　，其大小和运算都有实际含义.
分类变量：我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为　分类变量　，分类变量的取值可以用　实数　表示.
2. 2×2列联表.
定义一对分类变量X和Y，整理数据如表所示：
X Y 合计
Y=0 Y=1
X=0 a b a＋b
X=1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n=a＋b＋c＋d
上表是关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：最后一行的前两个数分别是事件{Y=0}和{Y=1}的　频数　；最后一列的前两个数分别是事件{X=0}和{X=1}的　频数　；中间的四个数a，b，c，d是事件{X=x，Y=y}(x，y=0，1)的　频数　；右下角格中的数n是　样本容量　.
例1　(1)下列各选项中，不是分类变量的是(　B　)
A. 近视　 B. 成绩　
C. 血压　 D. 饮酒
【解析】近视变量有近视与不近视两种类别，血压变量有异常、正常两种类别，饮酒变量有饮酒与不饮酒两种类别.成绩不是分类变量，它的取值不一定有两种.
(2)在对人们的饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的有70人，六十岁以下的有54人.六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主.请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用与判断二者是否有关系.
解：2×2列联表如下图所示：
单位：人
饮食习惯 年龄 合计
六十岁以上 六十岁以下
以蔬菜为主 43 21 64
以肉类为主 27 33 60
合计 70 54 124
将表中数据代入公式得≈0.67，=0.45.
显然二者数据具有较为明显的差距，据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系.
[反思感悟]　1. 关于数值变量与分类变量，应注意两点：
(1)数值变量的取值为实数，其大小和运算都有实际含义.
(2)分类变量是用随机变量区别不同的现象或性质，分类变量的取值可以用实数表示，变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，没有大小和运算意义.
2. 关于2×2列联表，应注意两点：
(1)作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别.计算时要准确无误.
(2)利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将与的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响.
知识点二　等高堆积条形图的应用　　　　　　　　　　　　　　　　
等高堆积条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的　频率　特征，依据频率稳定于　概率　的原理，我们可以推断结果.
例2　某矿石粉厂生产一种矿石粉时，有部分工人罹患职业性皮肤炎.在生产季节期间，随机抽取车间工人抽血化验，75名穿新防护服的工人中5例阳性，70例阴性；28名穿旧防护服的工人中10例阳性，18例阴性，请用等高堆积条形图判断这种新防护服对预防工人职业性皮肤炎是否有效(注：显阴性即未患皮肤炎).
解：2×2列联表如表所示.
防护服 职业性皮肤炎 合计
阳性例数 阴性例数
穿新防护服 5 70 75
穿旧防护服 10 18 28
合计 15 88 103
相应的等高堆积条形图，如图所示.
图中两个深色条的高分别表示穿新、旧防护服样本中呈阳性的频率，从图中可以看出，穿旧防护服呈阳性的频率明显高于穿新防护服呈阳性的频率.因此，可以认为新防护服对预防这种职业性皮肤炎有效.
[反思感悟]　利用等高堆积条形图判断两个分类变量是否有关联的步骤：
知识点三　独立性检验的综合应用　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称　独立性检验　.
2. χ2= 　，其中n=a＋b＋c＋d.
3. 对于零假设H0：分类变量X和Y独立，基于小概率值α的检验规则：
(1)当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；
(2)当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y　独立　.
4. χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
例3　(1)(2025·贵州安顺高二期末)某公司男、女职工人数相等，该公司为了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20，则下列结论中，正确的是(　B　)
附：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
A. 依据小概率值α=0.005的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
B. 依据小概率值α=0.005的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
C. 根据小概率值α=0.001的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
D. 是否接受去外地长时间出差与性别无关
【解析】由题意，列出2×2列联表：
接受 不接受 合计
男 40 60 100
女 20 80 100
合计 60 140 200
零假设为H0：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关，∴χ2=≈9.524＞7.879=x0.005，根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.
(2)(2025·青海西宁高二期末)西宁市某中学为高一、高二的学生开展了丰富的社团活动，为研究学生的性别与喜欢烘焙社是否有关联，随机从两个年级的男生和女生中各抽取了100名学生进行统计分析，并绘制了如下列联表.
喜欢烘焙社 不喜欢烘焙社 合计
男生 45 m 100
女生 n 35 100
合计 x y 200
(i)求m，n，x，y的值；
(ii)根据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为喜欢烘焙社与性别有关联？
附：
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
χ2=.
解：(i)∵m＋45=100，n＋35=100，∴m=55，n=65，∴x=45＋65=110，y=55＋35=90，∴m=55，n=65，x=110，y=90.
(ii)零假设H0：假设性别与喜欢烘焙社无关.χ2=≈8.081＞7.897=x0.005，根据小概率值α=0.005的独立性检验，可以认为零假设H0不成立.故认为性别与喜欢烘焙社有关.
[反思感悟]　独立性检验解题的一般步骤：
(1)提出零假设：即先假设两变量无关；
(2)计算χ2：套用χ2的公式求得χ2的值；
(3)查临界值：结合所给小概率值α查得相应的临界值xα；
(4)得出结论：比较χ2与xα的大小，并得出结论.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 把两个分类变量的频数列出，称为(　C　)
A. 三维柱形图 B. 二维条形图
C. 列联表 D. 频率分布直方图
2. 假设有两个变量X和Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y1，其列联表为
y1 y2 总计
x1 a 21 73
x2 8 25 33
总计 b 46 106
表中a，b的值分别是(　D　)
A. 94，96 B. 54，52
C. 52，50 D. 52，60
3. 如图所示为某地区男、女中学生喜欢体育运动的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢体育运动的人数所占的百分比，从图中可以看出(　C　)
A. 性别与喜欢体育运动无关　
B. 女生中喜欢体育运动的占比为80%
C. 男生比女生喜欢体育运动的可能性大些　
D. 男生不喜欢体育运动的占比为60%
4. 某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2=7.069，则认为“学生性别与对待某一活动的态度有关”的犯错误概率不超过(　B　)
A. 0.1% B. 1%
C. 99% D. 99.9%8.3 列联表与独立性检验
知识点一　分类变量与列联表　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 数值变量与分类变量.
数值变量：数值变量的取值为　 　，其大小和运算都有实际含义.
分类变量：我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为　 　，分类变量的取值可以用　 　表示.
2. 2×2列联表.
定义一对分类变量X和Y，整理数据如表所示：
X Y 合计
Y=0 Y=1
X=0 a b a＋b
X=1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n=a＋b＋c＋d
上表是关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：最后一行的前两个数分别是事件{Y=0}和{Y=1}的　 　；最后一列的前两个数分别是事件{X=0}和{X=1}的　 　；中间的四个数a，b，c，d是事件{X=x，Y=y}(x，y=0，1)的　 　；右下角格中的数n是　 　.
例1　(1)下列各选项中，不是分类变量的是(　 　)
A. 近视　 B. 成绩　
C. 血压　 D. 饮酒
(2)在对人们的饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的有70人，六十岁以下的有54人.六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主.请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用与判断二者是否有关系.
[反思感悟]　1. 关于数值变量与分类变量，应注意两点：
(1)数值变量的取值为实数，其大小和运算都有实际含义.
(2)分类变量是用随机变量区别不同的现象或性质，分类变量的取值可以用实数表示，变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，没有大小和运算意义.
2. 关于2×2列联表，应注意两点：
(1)作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别.计算时要准确无误.
(2)利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将与的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响.
知识点二　等高堆积条形图的应用　　　　　　　　　　　　　　　　
等高堆积条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的　 　特征，依据频率稳定于　 　的原理，我们可以推断结果.
例2　某矿石粉厂生产一种矿石粉时，有部分工人罹患职业性皮肤炎.在生产季节期间，随机抽取车间工人抽血化验，75名穿新防护服的工人中5例阳性，70例阴性；28名穿旧防护服的工人中10例阳性，18例阴性，请用等高堆积条形图判断这种新防护服对预防工人职业性皮肤炎是否有效(注：显阴性即未患皮肤炎).
[反思感悟]　利用等高堆积条形图判断两个分类变量是否有关联的步骤：
知识点三　独立性检验的综合应用　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称　 　.
2. χ2= 　，其中n=a＋b＋c＋d.
3. 对于零假设H0：分类变量X和Y独立，基于小概率值α的检验规则：
(1)当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；
(2)当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y　 　.
4. χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
例3　(1)(2025·贵州安顺高二期末)某公司男、女职工人数相等，该公司为了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20，则下列结论中，正确的是(　 　)
附：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
A. 依据小概率值α=0.005的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
B. 依据小概率值α=0.005的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
C. 根据小概率值α=0.001的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
D. 是否接受去外地长时间出差与性别无关
(2)(2025·青海西宁高二期末)西宁市某中学为高一、高二的学生开展了丰富的社团活动，为研究学生的性别与喜欢烘焙社是否有关联，随机从两个年级的男生和女生中各抽取了100名学生进行统计分析，并绘制了如下列联表.
喜欢烘焙社 不喜欢烘焙社 合计
男生 45 m 100
女生 n 35 100
合计 x y 200
(i)求m，n，x，y的值；
(ii)根据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为喜欢烘焙社与性别有关联？
附：
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
χ2=.
[反思感悟]　独立性检验解题的一般步骤：
(1)提出零假设：即先假设两变量无关；
(2)计算χ2：套用χ2的公式求得χ2的值；
(3)查临界值：结合所给小概率值α查得相应的临界值xα；
(4)得出结论：比较χ2与xα的大小，并得出结论.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 把两个分类变量的频数列出，称为(　 　)
A. 三维柱形图 B. 二维条形图
C. 列联表 D. 频率分布直方图
2. 假设有两个变量X和Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y1，其列联表为
y1 y2 总计
x1 a 21 73
x2 8 25 33
总计 b 46 106
表中a，b的值分别是(　 　)
A. 94，96 B. 54，52
C. 52，50 D. 52，60
3. 如图所示为某地区男、女中学生喜欢体育运动的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢体育运动的人数所占的百分比，从图中可以看出(　 　)
A. 性别与喜欢体育运动无关　
B. 女生中喜欢体育运动的占比为80%
C. 男生比女生喜欢体育运动的可能性大些　
D. 男生不喜欢体育运动的占比为60%
4. 某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2=7.069，则认为“学生性别与对待某一活动的态度有关”的犯错误概率不超过(　 　)
A. 0.1% B. 1%
C. 99% D. 99.9%(共23张PPT)
三、列联表与独立性检验
高中数学 选择性必修 第三册
成对数据的统计分析
第八章
知识点一
1. 数值变量与分类变量.
数值变量：数值变量的取值为___________，其大小和运算都有实际含义.
分类变量：我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为___________ ，分类变量的取值可以用___________表示.
知识点一　分类变量与列联表　
实数
分类变量
实数
2. 2×2列联表.
定义一对分类变量X和Y，整理数据如表所示：
上表是关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：最后一行的前两个数分别是事件{Y=0}和{Y=1}的__________；最后一列的前两个数分别是事件{X=0}和{X=1}的_________；中间的四个数a，b，c，d是事件{X=x，Y=y}(x，y=0，1)的__________；右下角格中的数n是__________.
X Y 合计
Y=0 Y=1
X=0 a b a＋b
X=1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n=a＋b＋c＋d
频数
频数
样本容量
频数
例1　(1)下列各选项中，不是分类变量的是(　　)
A. 近视　 B. 成绩　
C. 血压　 D. 饮酒
【解析】近视变量有近视与不近视两种类别，血压变量有异常、正常两种类别，饮酒变量有饮酒与不饮酒两种类别.成绩不是分类变量，它的取值不一定有两种.
B
(2)在对人们的饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的有70人，六十岁以下的有54人.六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主.请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用与判断二者是否有关系.
解：2×2列联表如下图所示：
将表中数据代入公式得≈0.67，=0.45.
显然二者数据具有较为明显的差距，据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系.
饮食习惯 年龄 合计
六十岁以上 六十岁以下
以蔬菜为主 43 21 64
以肉类为主 27 33 60
合计 70 54 124
[反思感悟]　1. 关于数值变量与分类变量，应注意两点：
(1)数值变量的取值为实数，其大小和运算都有实际含义.
(2)分类变量是用随机变量区别不同的现象或性质，分类变量的取值可以用实数表示，变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，没有大小和运算意义.
2. 关于2×2列联表，应注意两点：
(1)作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别.计算时要准确无误.
(2)利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将与的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响.
知识点二
等高堆积条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的______特征，依据频率稳定于______的原理，我们可以推断结果.
知识点二　等高堆积条形图的应用　　　　
频率　
概率
例2　某矿石粉厂生产一种矿石粉时，有部分工人罹患职业性皮肤炎.在生产季节期间，随机抽取车间工人抽血化验，75名穿新防护服的工人中5例阳性，70例阴性；28名穿旧防护服的工人中10例阳性，18例阴性，请用等高堆积条形图判断这种新防护服对预防工人职业性皮肤炎是否有效(注：显阴性即未患皮肤炎).
解：2×2列联表如表所示.
相应的等高堆积条形图，如图所示.
图中两个深色条的高分别表示穿新、旧防护服样本中呈阳性的频率，从图中可以看出，穿旧防护服呈阳性的频率明显高于穿新防护服呈阳性的频率.因此，可以认为新防护服对预防这种职业性皮肤炎有效.
防护服 职业性皮肤炎 合计
阳性例数 阴性例数
穿新防护服 5 70 75
穿旧防护服 10 18 28
合计 15 88 103
[反思感悟]　利用等高堆积条形图判断两个分类变量是否有关联的步骤：
知识点三
知识点三　独立性检验的综合应用
1. 利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称____________.
2. χ2=____________________________，其中n=a＋b＋c＋d.
3. 对于零假设H0：分类变量X和Y独立，基于小概率值α的检验规则：
(1)当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；
(2)当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y___________.
4. χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.　
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
独立性检验
独立
例3　(1)(2025·贵州安顺高二期末)某公司男、女职工人数相等，该公司为了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20，则下列结论中，正确的是(　　)
附：
χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
A. 依据小概率值α=0.005的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
B. 依据小概率值α=0.005的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
C. 根据小概率值α=0.001的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
D. 是否接受去外地长时间出差与性别无关
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
B
【解析】由题意，列出2×2列联表：
零假设为H0：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关，∴χ2=≈9.524＞7.879=x0.005，根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.
接受 不接受 合计
男 40 60 100
女 20 80 100
合计 60 140 200
(2)(2025·青海西宁高二期末)西宁市某中学为高一、高二的学生开展了丰富的社团活动，为研究学生的性别与喜欢烘焙社是否有关联，随机从两个年级的男生和女生中各抽取了100名学生进行统计分析，并绘制了如下列联表.
(i)求m，n，x，y的值；
(ii)根据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为喜欢烘焙社与性别有关联？
附：
χ2=.
喜欢烘焙社 不喜欢烘焙社 合计
男生 45 m 100
女生 n 35 100
合计 x y 200
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
解：(i)∵m＋45=100，n＋35=100，∴m=55，n=65，∴x=45＋65=110，y=55＋35=90，∴m=55，n=65，x=110，y=90.
(ii)零假设H0：假设性别与喜欢烘焙社无关.χ2=≈8.081＞7.897=x0.005，根据小概率值α=0.005的独立性检验，可以认为零假设H0不成立.故认为性别与喜欢烘焙社有关.
[反思感悟]　独立性检验解题的一般步骤：
(1)提出零假设：即先假设两变量无关；
(2)计算χ2：套用χ2的公式求得χ2的值；
(3)查临界值：结合所给小概率值α查得相应的临界值xα；
(4)得出结论：比较χ2与xα的大小，并得出结论.
随堂巩固
1. 把两个分类变量的频数列出，称为(　　)
A. 三维柱形图 B. 二维条形图
C. 列联表 D. 频率分布直方图
C
2. 假设有两个变量X和Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y1，其列联表为
表中a，b的值分别是(　　)
A. 94，96 B. 54，52
C. 52，50 D. 52，60
y1 y2 总计
x1 a 21 73
x2 8 25 33
总计 b 46 106
D
3. 如图所示为某地区男、女中学生喜欢体育运动的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢体育运动的人数所占的百分比，从图中可以看出(　　)
A. 性别与喜欢体育运动无关　
B. 女生中喜欢体育运动的占比为80%
C. 男生比女生喜欢体育运动的可能性大些　
D. 男生不喜欢体育运动的占比为60%
C
4. 某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2=7.069，则认为“学生性别与对待某一活动的态度有关”的犯错误概率不超过(　　)
A. 0.1% B. 1%
C. 99% D. 99.9%
B　

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