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第八章核心素养测评卷
成对数据的统计分析
满分150分　限时120分钟　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 为了解是否喜欢羽毛球运动与性别的关系，某数学兴趣小组经统计得到如下数据，若要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则等于(　 　)
性别 羽毛球
喜欢 不喜欢
女生 m n
男生 50 100
附：χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
A. 4 B. 2
C. 1 D.
2. (2025·天津河西高二期末)对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论中，错误的是(　 　)
图1 图2
A. 图1、图2两组数据都具有线性相关关系
B. 图1数据呈正相关，图2数据呈负相关
C. 图1相关系数r1小于图2相关系数r2
D. 图1相关系数和图2相关系数之和小于0
3. 下列说法中，正确的是(　 　)
A. 经验回归直线x是由成对样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，n)中的两点确定的
B. 如果两个变量的相关程度越强，则相关系数r越接近于1
C. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
D. 由分类变量X与Y的成对样本数据计算得到χ2≈6.852，根据小概率值α=0.005的χ2独立性检验：χ0.005=7.879，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5%
4. (2025·广东广州高二期末)随机抽取5家超市，得到其广告支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的数据如下表所示：
超市 A B C D E
广告支出x 1 2 4 6 7
销售额y 20 30 40 44 46
参考公式：，参考数据：样本相关系数r≈0.956.
下列说法中，正确的是(　 　)
A. y与x呈负相关关系 B. 经验回归直线经过点(4，40)
C. 经验回归方程为=4x＋19 D. y与x的线性相关程度较强
5. (2025·杭州高二期中)利用独立性检验的方法调查某校高中生的性别与喜欢数学是否相关，通过随机调查3 000名高中生，并利用2×2列联表，计算可得χ2=7.233，参照临界值表：下列叙述中，正确的是(　 　)
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A. 某学生是该校女生，那么她有0.05%的可能喜欢数学
B. 某学生是该校男生，那么他有99.5%的可能喜欢数学
C. 在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生喜欢数学与性别无关”
D. 在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生喜欢数学与性别有关”
6. (2025·上海浦东新高二期末)已知线性相关系数r是描述成对数据线性相关程度的统计量，也称为皮尔逊相关系数.一元线性回归分析是基于拟合误差Q取最小值的假设进行的，最终可得回归方程(回归直线).现有5个数据点Ai(xi，yi)，i=1，2，3，4，5，小明对它们进行了一元线性回归分析，得到线性相关系数r1和回归方程l1，随后发现自己漏掉了一个数据点A6(x6，y6)且恰好A6∈l1.重新计算6个数据点得到线性相关系数r2和回归方程l2。有下面两个说法：①r1一定小于r2，②l1与l2一定重合.其中(　 　)
A. 说法①正确，说法②错误 B. 说法①正确，说法②正确
C. 说法①错误，说法②正确 D. 说法①错误，说法②错误
7. (2025·福建泉州高二期末)已知随机变量x，y(x＞0，y＞0)呈非线性关系.为了进行线性回归分析，设u=ln y，v=(2x－1)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程u=－v＋3，则变量y的估计值有(　 　)
A. 最大值为e B. 最小值为e
C. 最大值为e3 D. 最小值为e3
8. (2025·山东青岛高二期末)为了研究变量y与x的线性相关关系，收集了5组样本数据(如下表所示)，若去掉样本点(3，1)后，则样本的相关系数r(　 　)
x 1 2 3 4 5
y 0.5 0.8 1 1.2 1.5
A. 变大 B. 变小
C. 不变 D. 不能确定
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. (2025·江苏无锡高二期末)某市物价局对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行了调查，5家商场的售价x(单位：元)和销售量y(单位：件)之间的一组数据如表所示：
价格x 9 9.5 10 10.5 11
销售量y 11 10 8 6 5
按公式计算，y与x的回归直线方程是=－3.2x，相关系数|r|=0.986，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. =－24 B. 变量x，y线性负相关且相关性较强
C. 相应于点(9.5， 10)的残差约为－0.4 D. 当x=8时，y的估计值为14.4
10. 下列说法中，正确的有(　 　)
A. 一组数据(xi，yi)(i=1，2，3，4，5)，经过分析、计算，得=－1，=8，y关于x的经验回归方程为=－3x，则=5
B. 若随机变量ξ，η满足η=3ξ－2，则D(η)=9D(ξ)
C. 若随机变量X~N(2，σ2)，P(X＜4)=0.84，则P(2＜X＜4)=0.16
D. 由分类变量X与Y的成对样本数据计算得到χ2=4.712，根据小概率α=0.05值的独立性检验(x0.05=3.841)，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
11. (2025·山东枣庄高二期末)某地新开业了一个夜市，每晚最多能接纳10万人.主办公司计划通过广告宣传提高客流量.通过调研，发现投入的广告费x与每晚客流量y存在如下关系：
x/万元 1 2 3 4 5
y/千人 5 6 8.1 9 14.5
附：=8.52，(xi－)(yi－)=22，令t=2x，=12.4，(ti－)(yi－)=178.56，=595.2.
现用曲线C：y=×2x拟合变量x与y的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数的最小二乘估计，以所求回归方程C为预测依据，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 曲线C经过点(3， 8.52)
B. =4.8
C. 若投入广告费9万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力
D. 广告费每增加1万元，每晚客流量增加3 000人
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. (2025·广东高二期末)小明为了解不同性别的观众对蛇年春晚小品类节目的喜欢情况，随机选取了200名观看蛇年春晚的观众，得到如下列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男性 45 45 90
女性 s 110
合计 t 80 200
根据小概率值α=0.010的独立性检验，其中χ2=　 　(结果精确到小数点后3位)，可以判断出性别因素与对蛇年春晚小品类节目的喜欢情况有关联.
附：χ2=，n=a＋b＋c＋d.
α 0.050 0.010 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
13. (2025·江西抚州高二期末)为调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的100个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取10个作为样本，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，3，…，10)，其中xi，yi分别表示第i个样本的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，分别表示这10个样本的植物覆盖面积和这种野生动物的数量的平均值，构造向量a=(x1－，x2－，…，x10－)，b=(y1－，y2－，…，y10－)，并计算得xi=30，yi=600，xiyi=2 280，|a|=5，|b|=100，由选择性必修第三册教材中的知识，我们知道n对数据的相关系数r=cos＜a，b＞，则上述数据(xi，yi)(i=1，2，3，…，10)的相关系数r=　 　.
14. 项目投资的利润产生与项目落地国的商业环境、法律生态等因素都有重大的关联.如表所示为某项目在中国和南亚某国的投资额和相应利润的统计表.
项目落地国 中国 南亚某国
投资额x/亿元 10 11 12 13 14 10 11 12 13 14
利润y/亿元 11 12 14 16 19 12 13 13 14 15
请选择平均利润较高的落地国，用最小二乘法求出经验回归方程为 　，并根据经验回归方程预计在该国投资15亿元所获得的利润是　 　亿元.
附：(xi－)2=10，中国(xi－)(yi－)=20，南亚某国(xi－)(yi－)=7，.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)某省正进行高中新课程改革，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人.老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人.
(1)请根据以上数据，建立一个2×2列联表；
(2)试根据小概率值α=0.01的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系；
(3)试根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系.
附：χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16. (15分)社会生活日新月异，相比纸质书，许多年轻人(35岁以下)更喜欢阅读电子书，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者(35岁以上)往往更喜欢阅读纸质书.现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表：
年长者 年轻人 总计
喜欢阅读电子书 24 30
喜欢阅读纸质书 12
总计 60
(1)请将列联表补充完整；
(2)根据小概率值α=0.1的独立性检验，分析喜欢阅读电子书是否与年龄有关.
17. (15分)(2025·湖北咸宁高二期末)2025年春节档，某国产动画电影横空出世，迅速斩获各项票房冠军，截至3月20日，该电影已进入全球票房榜前五.经权威机构调查，其前5周的票房数据如下表所示：
周次 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周
周次代码X 1 2 3 4 5
票房总额Y/亿元 40 35 25 37 7
(1)求Y关于X的线性回归方程Y=X；
(2)该机构随机调查了某电影院2月15日200位观影人的购票情况，其中购买该电影票的男性有90人，女性有70人，购买其他电影票的男性有30人，女性有10人.请完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为是否购买该电影票与性别有关.
购买该电影票 购买其他电影票 合计
男性
女性
合计
附：①xiyi=368，=55，在利用最小二乘法求得的线性回归方程x中，；
②χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
α 0.100 0.050 0.010
xα 2.706 3.841 6.635
18. (17分)某科技公司对三文鱼的传统淡水网箱养殖法和AI赋能的新型深远海智能网箱养殖法的产量进行对比研究.科研人员在收获季节分别从传统养殖网箱和深远海智能养殖网箱中，各随机抽取了100个网箱，测量每箱三文鱼的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图所示.
(1)请根据频率分布直方图，补全下面的列联表.
养殖方法 箱产量 合计
箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg
传统养殖
智能养殖 30
合计 200
(2)请根据小概率α=0.001的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关.
参考数据及公式：P(χ2≥10.828)=0.001，χ2=，n=a＋b＋c＋d.
19. (17分)(2025·广东广州高二期末)为了研究广告支出与销售额的关系，现随机抽取5家超市作为样本，得到其广告支出x(单位：万元)与销售额W(单位：万元)数据如下表所示：
超市 A B C D E
广告支出x 1 2 3 4 5
销售额W 4 9 14 18 m(m＞0)
(1)当m=20时，根据表中样本数据，计算相关系数r，并推断它们的相关程度(结果保留两位小数)；
(2)根据表中样本数据，用最小二乘法得到销售额W关于广告支出x的回归直线方程为W=x－1.3，销售额W的方差为52.4，求的值，并计算广告支出为5万元时销售额的残差；
(3)收集更多变量W和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型W=x，对应的残差如图所示，则模型误差是否满足一元线性回归模型的E(e)=0与D(e)=σ2的假设(直接写出结果).
参考公式：相关系数r=，回归系数.
参考数据：≈41.5.(共38张PPT)
第八章核心素养测评卷 成对数据的统计分析
满分150分　限时120分钟
高中数学 选择性必修 第三册
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 为了解是否喜欢羽毛球运动与性别的关系，某数学兴趣小组经统计得到如下数据，若要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则等于(　 　)
附：χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
A. 4 B. 2
C. 1 D.
【解析】要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则χ2=0，∴100m=50n，∴.
性别 羽毛球
喜欢 不喜欢
女生 m n
男生 50 100
D
2. (2025·天津河西高二期末)对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论中，错误的是(　 　)
A. 图1、图2两组数据都具有线性相关关系
B. 图1数据呈正相关，图2数据呈负相关
C. 图1相关系数r1小于图2相关系数r2
D. 图1相关系数和图2相关系数之和小于0
【解析】对于A，∵散点图都呈直线型，∴图1、图2两组数据都具有线性相关关系，A正确；对于B，图1散点从左至右呈上升趋势，∴数据呈正相关，图2散点从左至右呈下降趋势，∴数据呈负相关，B正确；对于C，图1正相关，图2负相关，∴C错误；对于D，∵图2相关程度更强，∴D正确.
C
图1 图2
3. 下列说法中，正确的是(　 　)
A. 经验回归直线x是由成对样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，n)中的两点确定的
B. 如果两个变量的相关程度越强，则相关系数r越接近于1
C. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
D. 由分类变量X与Y的成对样本数据计算得到χ2≈6.852，根据小概率值α=0.005的χ2独立性检验：χ0.005=7.879，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5%
C
【解析】对于A，经验回归直线x是通过最小二乘法，使所有样本点到直线的误差平方和最小来确定的，并非由成对样本数据中的两点确定，A错误；对于B，如果两个变量的相关程度越强，当是正相关时，相关系数越接近于1；当是负相关时，相关系数越接近于－1，并非只接近1，B错误；对于C，残差平方和是衡量回归模型拟合效果的一个重要指标，残差平方和越小，说明模型对数据的拟合效果越好，C正确；对于D，在独立性检验中，计算得到χ2≈6.852，而χ0.005=7.879，∵6.852＜7.879，∴不能推断出犯错误的概率不超过0.5%，D错误.
4. (2025·广东广州高二期末)随机抽取5家超市，得到其广告支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的数据如下表所示：
参考公式：，参考数据：样本相关系数r≈0.956.
下列说法中，正确的是(　 　)
A. y与x呈负相关关系 B. 经验回归直线经过点(4，40)
C. 经验回归方程为=4x＋19 D. y与x的线性相关程度较强
超市 A B C D E
广告支出x 1 2 4 6 7
销售额y 20 30 40 44 46
D
【解析】由样本相关系数r≈0.956＞0可得y与x呈正相关关系，A错误；由数据可得： =4，=36，故经验回归直线经过点(4，36)，B错误；由，则=36－×4=，故经验回归方程为x，C错误；由于样本相关系数r≈0.956较接近于1，则y与x的线性相关程度较强，D正确.
5. (2025·杭州高二期中)利用独立性检验的方法调查某校高中生的性别与喜欢数学是否相关，通过随机调查3 000名高中生，并利用2×2列联表，计算可得χ2=7.233，参照临界值表：下列叙述中，正确的是(　 　)
A. 某学生是该校女生，那么她有0.05%的可能喜欢数学
B. 某学生是该校男生，那么他有99.5%的可能喜欢数学
C. 在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生喜欢数学与性别无关”
D. 在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生喜欢数学与性别有关”
【解析】∵χ2=7.233＞6.635，∴在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生喜欢数学与性别有关”.
D
6. (2025·上海浦东新高二期末)已知线性相关系数r是描述成对数据线性相关程度的统计量，也称为皮尔逊相关系数.一元线性回归分析是基于拟合误差Q取最小值的假设进行的，最终可得回归方程(回归直线).现有5个数据点Ai(xi，yi)，i=1，2，3，4，5，小明对它们进行了一元线性回归分析，得到线性相关系数r1和回归方程l1，随后发现自己漏掉了一个数据点A6(x6，y6)且恰好A6∈l1.重新计算6个数据点得到线性相关系数r2和回归方程l2。有下面两个说法：①r1一定小于r2，②l1与l2一定重合.其中(　 　)
A. 说法①正确，说法②错误 B. 说法①正确，说法②正确
C. 说法①错误，说法②正确 D. 说法①错误，说法②错误
【解析】当增加一个与回归直线完全拟合的数据点后，这个点没有产生新的拟合误差，整体数据点与回归直线的拟合程度变得更好，∴|r1|＜|r2|，r1不一定小于r2，故说法①错误；回归方程l1是基于5个数据点通过最小二乘法(使拟合误差Q取最小值)得到的，当加入新的数据点A6(x6，y6)，∵它在回归直线上，它不会改变原来使Q取得最小的直线的位置，∴l1与l2一定重合，故说法②正确.
C
7. (2025·福建泉州高二期末)已知随机变量x，y(x＞0，y＞0)呈非线性关系.为了进行线性回归分析，设u=ln y，v=(2x－1)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程u=－v＋3，则变量y的估计值有(　 　)
A. 最大值为e B. 最小值为e
C. 最大值为e3 D. 最小值为e3
【解析】已知u=－v＋3，把u=ln y，v=(2x－1)2代入可得：ln y=－(2x－1)2＋3≤3，
即ln y≤3.∵对数函数y=ln x在(0，＋∞)上单调递增，且ln y≤3=ln e3，∴y≤e3，即y有最大值为e3.
C
8. (2025·山东青岛高二期末)为了研究变量y与x的线性相关关系，收集了5组样本数据(如下表所示)，若去掉样本点(3，1)后，则样本的相关系数r(　 　)
A. 变大 B. 变小
C. 不变 D. 不能确定
x 1 2 3 4 5
y 0.5 0.8 1 1.2 1.5
C
【解析】∵相关系数为r=，5组样本数据的平均数分别为=3，=1，∴相关系数为：
r==，
去掉样本中心点(3，1)后，四组数据的平均数分别为=3，=1，相关系数为：
r==，
∴相关系数r不变.
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. (2025·江苏无锡高二期末)某市物价局对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行了调查，5家商场的售价x(单位：元)和销售量y(单位：件)之间的一组数据如表所示：
按公式计算，y与x的回归直线方程是=－3.2x，相关系数|r|=0.986，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. =－24
B. 变量x，y线性负相关且相关性较强
C. 相应于点(9.5， 10)的残差约为－0.4
D. 当x=8时，y的估计值为14.4
价格x 9 9.5 10 10.5 11
销售量y 11 10 8 6 5
BD
【解析】对于A，=10，
=8，将(10，8)代入回归直线方程得，－3.2×10=8，解得=40，A错误；对于B，从表可以看出，y随着x的增大而减小，又|r|=0.986，接近于1，∴变量x，y线性负相关且相关性较强，B正确；对于C，回归直线方程为=－3.2x＋40，当x=9.5时，=－3.2×9.5＋40=9.6，10－9.6=0.4，故相应于点(9.5，10)的残差约为0.4，C错误；对于D，当x=8时，y的估计值为=－3.2×8＋40=14.4，D正确.
10. 下列说法中，正确的有(　 　)
A. 一组数据(xi，yi)(i=1，2，3，4，5)，经过分析、计算，得=－1，=8，y关于x的经验回归方程为=－3x，则=5
B. 若随机变量ξ，η满足η=3ξ－2，则D(η)=9D(ξ)
C. 若随机变量X~N(2，σ2)，P(X＜4)=0.84，则P(2＜X＜4)=0.16
D. 由分类变量X与Y的成对样本数据计算得到χ2=4.712，根据小概率α=0.05值的独立性检验(x0.05=3.841)，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
ABD
【解析】对于A，经验回归方程=－3x经过()，代入可得=5，A正确；对于B，由随机变量方差的性质知D(η)=9D(ξ)，B正确；对于C，由正态分布的对称性，P(X＞4)=P(X＜0)=0.16，则P(0＜X＜4)=1－0.16－0.16=0.68，∴P(2＜X＜4)=P(0＜X＜4)=0.34，C错误；对于D，由独立性检验，χ2=4.712＞3.841，D正确.
11. (2025·山东枣庄高二期末)某地新开业了一个夜市，每晚最多能接纳10万人.主办公司计划通过广告宣传提高客流量.通过调研，发现投入的广告费x与每晚客流量y存在如下关系：
附：=8.52，(xi－)(yi－)=22，令t=2x，=12.4，(ti－)(yi－)=178.56，=595.2.
现用曲线C：y=×2x拟合变量x与y的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数的最小二乘估计，以所求回归方程C为预测依据，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 曲线C经过点(3， 8.52)
B. =4.8
C. 若投入广告费9万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力
D. 广告费每增加1万元，每晚客流量增加3 000人
x/万元 1 2 3 4 5
y/千人 5 6 8.1 9 14.5
BC
【解析】由题可知，令t=2x，=12.4，(ti－)(yi－)=178.56，=595.2，∴=0.3，=8.52－0.3×12.4=4.8，B正确；∴C：y=4.8＋0.3×2x，令x=3，y=4.8＋0.3×23=4.8＋2.4=7.2，∴曲线C不经过点(3，8.52)，A错误；当x=9时，y=4.8＋0.3×29=158.4(千人)，∴若投入广告费9万元，则每晚客流量为15.84万人，∵每晚最多能接纳10万人，∴会超过夜市接纳能力，C正确；由C：y=4.8＋0.3×2x可知，当x=6时，y=4.8＋0.3×26=24，∴当广告费从5万元增加到6万元，客流量增加24－14.5=9.5(千人)，D错误.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. (2025·广东高二期末)小明为了解不同性别的观众对蛇年春晚小品类节目的喜欢情况，随机选取了200名观看蛇年春晚的观众，得到如下列联表：
根据小概率值α=0.010的独立性检验，其中χ2=________(结果精确到小数点后3位)，可以判断出性别因素与对蛇年春晚小品类节目的喜欢情况有关联.
附：χ2=，n=a＋b＋c＋d.
喜欢 不喜欢 合计
男性 45 45 90
女性 s 110
合计 t 80 200
α 0.050 0.010 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
　6.818
【解析】已知合计人数为200，不喜欢的人数合计为80，那么喜欢的人数合计t=200－80=120.∵男性喜欢的人数是45，喜欢的人数合计是120，∴女性喜欢的人数为120－45=75.∵女性合计人数为110，∴s=110－75=35.此时完整的列联表为
在χ2=中，n=a＋b＋c＋d(这里n=200，a=45(男性喜欢的人数)，b=45 (男性不喜欢的人数)，c=75 (女性喜欢的人数)，d=35(女性不喜欢的人数)).将这些值代入公式可得： χ2=≈6.818.
喜欢 不喜欢 合计
男性 45 45 90
女性 75 35 110
合计 120 80 200
13. (2025·江西抚州高二期末)为调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的100个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取10个作为样本，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，3，…，10)，其中xi，yi分别表示第i个样本的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，分别表示这10个样本的植物覆盖面积和这种野生动物的数量的平均值，构造向量a=(x1－，x2－，…，x10－)，b=(y1－，y2－，…，y10－)，并计算得xi=30，yi=600，xiyi=2 280，|a|=5，|b|=100，由选择性必修第三册教材中的知识，我们知道n对数据的相关系数r=cos＜a，b＞，则上述数据(xi，yi)(i=1，2，3，…，10)的相关系数r=________.
　0.96　
【解析】xi=30，yi=600，故=3，=60，a·b=(x1－，x2－，…，x10－)·(y1－，y2－，…，y10－)=(xi－)(yi－)=xiyi－10·=2 280－10×3×60=480，r=cos＜a，b＞==0.96.
14. 项目投资的利润产生与项目落地国的商业环境、法律生态等因素都有重大的关联.如表所示为某项目在中国和南亚某国的投资额和相应利润的统计表.
请选择平均利润较高的落地国，用最小二乘法求出经验回归方程为 ____________，并根据经验回归方程预计在该国投资15亿元所获得的利润是_________亿元.
附：(xi－)2=10，中国(xi－)(yi－)=20，南亚某国(xi－)(yi－)=7，.
项目落地国 中国 南亚某国
投资额x/亿元 10 11 12 13 14 10 11 12 13 14
利润y/亿元 11 12 14 16 19 12 13 13 14 15
=2x－9.6
20.4　
【解析】由表中数据可求得，=12，=14.4，=13.4，
∴应选择中国，∴=2，=14.4－2×12=－9.6，∴所求经验回归方程为=2x－9.6，当x=15时，y的值约为20.4.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)某省正进行高中新课程改革，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人.老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人.
(1)请根据以上数据，建立一个2×2列联表；
(2)试根据小概率值α=0.01的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系；
(3)试根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系.
附：χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解：(1)2×2列联表如下.
(2)零假设为H0：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关.由公式得χ2=≈4.963＜6.635=x0.01，根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关.
(3)由(2)得χ2≈4.963＞3.841=x0.05，根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，因此可认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
教师身份 对新课程教学模式 合计
赞同 不赞同
老教师 10 10 20
青年教师 24 6 30
合计 34 16 50
16. (15分)社会生活日新月异，相比纸质书，许多年轻人(35岁以下)更喜欢阅读电子书，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者(35岁以上)往往更喜欢阅读纸质书.现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表：
(1)请将列联表补充完整；
(2)根据小概率值α=0.1的独立性检验，分析喜欢阅读电子书是否与年龄有关.
年长者 年轻人 总计
喜欢阅读电子书 24 30
喜欢阅读纸质书 12
总计 60
解：(1)根据题意，可得如下的2×2的列联表：
(2)零假设H0：喜欢阅读电子书相互独立，即喜欢阅读电子书与年龄无关联.由2×2的列联表可得χ2=≈2.857＞2.706，∴推断零假设H0不成立，即认为喜欢阅读电子书与年龄有关，该推断犯错误的概率不超过0.1，∴有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关.
年长者 年轻人 总计
喜欢阅读电子书 6 24 30
喜欢阅读纸质书 12 18 30
总计 18 42 60
17. (15分)(2025·湖北咸宁高二期末)2025年春节档，某国产动画电影横空出世，迅速斩获各项票房冠军，截至3月20日，该电影已进入全球票房榜前五.经权威机构调查，其前5周的票房数据如下表所示：
(1)求Y关于X的线性回归方程Y=X；
(2)该机构随机调查了某电影院2月15日200位观影人的购票情况，其中购买该电影票的男性有90人，女性有70人，购买其他电影票的男性有30人，女性有10人.请完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为是否购买该电影票与性别有关.
周次 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周
周次代码X 1 2 3 4 5
票房总额Y/亿元 40 35 25 37 7
附：①xiyi=368，=55，在利用最小二乘法求得的线性回归方程x中，；
②χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
α 0.100 0.050 0.010
xα 2.706 3.841 6.635
购买该电影票 购买其他电影票 合计
男性
女性
合计
解：(1)由前5周的票房数据，可得(1＋2＋3＋4＋5)=3，(40＋35＋25＋37＋7)=28.8，
∴=－6.4，则=28.8－(－6.4)×3=48，
故所求的经验回归方程为Y=－6.4X＋48.
(2)由题意，可得2×2列联表如下：
可得χ2=≈4.7＜6.635，
故没有99%的把握认为购买该电影票与性别有关.
购买该电影票 购买其他电影票 合计
男性 90 30 120
女性 70 10 80
合计 160 40 200
18. (17分)某科技公司对三文鱼的传统淡水网箱养殖法和AI赋能的新型深远海智能网箱养殖法的产量进行对比研究.科研人员在收获季节分别从传统养殖网箱和深远海智能养殖网箱中，各随机抽取了100个网箱，测量每箱三文鱼的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图所示.
(1)请根据频率分布直方图，补全下面的列联表.
(2)请根据小概率α=0.001的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关.
参考数据及公式：P(χ2≥10.828)=0.001，χ2=，n=a＋b＋c＋d.
养殖方法 箱产量 合计
箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg
传统养殖
智能养殖 30
合计 200
解：(1)由频率分布直方图知，传统养殖法箱产量低于50 kg的箱数为5×(0.037＋0.033＋0.025＋0.015＋0.010)×100=60，不低于50 kg的箱数为100－60=40；
由此可得列联表如下：
(2)零假设H0：箱产量与养殖方法无关.
∵χ2=≈18.182＞10.828，∴根据小概率α=0.001的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为箱产量与养殖方法有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.
养殖法 箱产量 合计
箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg
传统养殖 60 40 100
智能养殖 30 70 100
合计 90 110 200
19. (17分)(2025·广东广州高二期末)为了研究广告支出与销售额的关系，现随机抽取5家超市作为样本，得到其广告支出x(单位：万元)与销售额W(单位：万元)数据如下表所示：
(1)当m=20时，根据表中样本数据，计算相关系数r，并推断它们的相关程度(结果保留两位小数)；
(2)根据表中样本数据，用最小二乘法得到销售额W关于广告支出x的回归直线方程为W=x－1.3，销售额W的方差为52.4，求的值，并计算广告支出为5万元时销售额的残差；
(3)收集更多变量W和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型W=x，对应的残差如图所示，则模型误差是否满足一元线性回归模型的E(e)=0与D(e)=σ2的假设(直接写出结果).
参考公式：相关系数r=，回归系数.
参考数据：≈41.5.
解：(1)由题知=3，=13，
(xi－)(Wi－)=18＋4＋0＋5＋14=41，=2，
A B C D E
xi－ －2 －1 0 1 2
wi－ －9 －4 1 5 7
相关系数r=≈≈0.99，r≈0.99接近于1，可以推断两个变量正线性相关，且相关性很强.
(2)∵销售额W的方差为52.4，即=52.4，=262，－5=262，
∴42＋92＋142＋182＋m2－5×=262，化为2m2－45m－125=0，解得m=25，m=－2.5(舍去)，
∴=3，=14，∵回归直线方程为W=x－1.3经过样本中心点()，把(3，14)代入W=x－1.3得=5.1，销售量W关于广告支出x的回归直线方程为W=5.1x－1.3，当x=5时，代入W=5.1x－1.3得预测值W=24.2，而观测值m=25，
∴广告支出为5万元时销售额的残差为25－24.2=0.8(万元).
(3)由残差图，模型误差满足一元线性回归模型的E(e)=0的假设，不满足一元线性回归模型的D(e)=σ2的假设.第八章核心素养测评卷
成对数据的统计分析
满分150分　限时120分钟　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 为了解是否喜欢羽毛球运动与性别的关系，某数学兴趣小组经统计得到如下数据，若要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则等于(　D　)
性别 羽毛球
喜欢 不喜欢
女生 m n
男生 50 100
附：χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
A. 4 B. 2
C. 1 D.
【解析】要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则χ2=0，
∴100m=50n，∴.
2. (2025·天津河西高二期末)对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论中，错误的是(　C　)
图1 图2
A. 图1、图2两组数据都具有线性相关关系
B. 图1数据呈正相关，图2数据呈负相关
C. 图1相关系数r1小于图2相关系数r2
D. 图1相关系数和图2相关系数之和小于0
【解析】对于A，∵散点图都呈直线型，∴图1、图2两组数据都具有线性相关关系，A正确；对于B，图1散点从左至右呈上升趋势，∴数据呈正相关，图2散点从左至右呈下降趋势，∴数据呈负相关，B正确；对于C，图1正相关，图2负相关，∴C错误；对于D，∵图2相关程度更强，∴D正确.
3. 下列说法中，正确的是(　C　)
A. 经验回归直线x是由成对样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，n)中的两点确定的
B. 如果两个变量的相关程度越强，则相关系数r越接近于1
C. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
D. 由分类变量X与Y的成对样本数据计算得到χ2≈6.852，根据小概率值α=0.005的χ2独立性检验：χ0.005=7.879，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5%
【解析】对于A，经验回归直线x是通过最小二乘法，使所有样本点到直线的误差平方和最小来确定的，并非由成对样本数据中的两点确定，A错误；对于B，如果两个变量的相关程度越强，当是正相关时，相关系数越接近于1；当是负相关时，相关系数越接近于－1，并非只接近1，B错误；对于C，残差平方和是衡量回归模型拟合效果的一个重要指标，残差平方和越小，说明模型对数据的拟合效果越好，C正确；对于D，在独立性检验中，计算得到χ2≈6.852，而χ0.005=7.879，∵6.852＜7.879，∴不能推断出犯错误的概率不超过0.5%，D错误.
4. (2025·广东广州高二期末)随机抽取5家超市，得到其广告支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的数据如下表所示：
超市 A B C D E
广告支出x 1 2 4 6 7
销售额y 20 30 40 44 46
参考公式：，参考数据：样本相关系数r≈0.956.
下列说法中，正确的是(　D　)
A. y与x呈负相关关系 B. 经验回归直线经过点(4，40)
C. 经验回归方程为=4x＋19 D. y与x的线性相关程度较强
【解析】由样本相关系数r≈0.956＞0可得y与x呈正相关关系，A错误；由数据可得： =4，=36，故经验回归直线经过点(4，36)，B错误；由，则=36－×4=，故经验回归方程为x，C错误；由于样本相关系数r≈0.956较接近于1，则y与x的线性相关程度较强，D正确.
5. (2025·杭州高二期中)利用独立性检验的方法调查某校高中生的性别与喜欢数学是否相关，通过随机调查3 000名高中生，并利用2×2列联表，计算可得χ2=7.233，参照临界值表：下列叙述中，正确的是(　D　)
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A. 某学生是该校女生，那么她有0.05%的可能喜欢数学
B. 某学生是该校男生，那么他有99.5%的可能喜欢数学
C. 在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生喜欢数学与性别无关”
D. 在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生喜欢数学与性别有关”
【解析】∵χ2=7.233＞6.635，∴在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生喜欢数学与性别有关”.
6. (2025·上海浦东新高二期末)已知线性相关系数r是描述成对数据线性相关程度的统计量，也称为皮尔逊相关系数.一元线性回归分析是基于拟合误差Q取最小值的假设进行的，最终可得回归方程(回归直线).现有5个数据点Ai(xi，yi)，i=1，2，3，4，5，小明对它们进行了一元线性回归分析，得到线性相关系数r1和回归方程l1，随后发现自己漏掉了一个数据点A6(x6，y6)且恰好A6∈l1.重新计算6个数据点得到线性相关系数r2和回归方程l2。有下面两个说法：①r1一定小于r2，②l1与l2一定重合.其中(　C　)
A. 说法①正确，说法②错误 B. 说法①正确，说法②正确
C. 说法①错误，说法②正确 D. 说法①错误，说法②错误
【解析】当增加一个与回归直线完全拟合的数据点后，这个点没有产生新的拟合误差，整体数据点与回归直线的拟合程度变得更好，∴|r1|＜|r2|，r1不一定小于r2，故说法①错误；回归方程l1是基于5个数据点通过最小二乘法(使拟合误差Q取最小值)得到的，当加入新的数据点A6(x6，y6)，∵它在回归直线上，它不会改变原来使Q取得最小的直线的位置，∴l1与l2一定重合，故说法②正确.
7. (2025·福建泉州高二期末)已知随机变量x，y(x＞0，y＞0)呈非线性关系.为了进行线性回归分析，设u=ln y，v=(2x－1)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程u=－v＋3，则变量y的估计值有(　C　)
A. 最大值为e B. 最小值为e
C. 最大值为e3 D. 最小值为e3
【解析】已知u=－v＋3，把u=ln y，v=(2x－1)2代入可得：ln y=－(2x－1)2＋3≤3，即ln y≤3.∵对数函数y=ln x在(0，＋∞)上单调递增，且ln y≤3=ln e3，∴y≤e3，即y有最大值为e3.
8. (2025·山东青岛高二期末)为了研究变量y与x的线性相关关系，收集了5组样本数据(如下表所示)，若去掉样本点(3，1)后，则样本的相关系数r(　C　)
x 1 2 3 4 5
y 0.5 0.8 1 1.2 1.5
A. 变大 B. 变小
C. 不变 D. 不能确定
【解析】∵相关系数为r=，5组样本数据的平均数分别为=3，=1，∴相关系数为：
r==
，
去掉样本中心点(3，1)后，四组数据的平均数分别为=3，=1，相关系数为：
r==
，
∴相关系数r不变.
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. (2025·江苏无锡高二期末)某市物价局对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行了调查，5家商场的售价x(单位：元)和销售量y(单位：件)之间的一组数据如表所示：
价格x 9 9.5 10 10.5 11
销售量y 11 10 8 6 5
按公式计算，y与x的回归直线方程是=－3.2x，相关系数|r|=0.986，则下列说法中，正确的有(　BD　)
A. =－24 B. 变量x，y线性负相关且相关性较强
C. 相应于点(9.5， 10)的残差约为－0.4 D. 当x=8时，y的估计值为14.4
【解析】对于A，=10，
=8，将(10，8)代入回归直线方程得，－3.2×10=8，解得=40，A错误；对于B，从表可以看出，y随着x的增大而减小，又|r|=0.986，接近于1，∴变量x，y线性负相关且相关性较强，B正确；对于C，回归直线方程为=－3.2x＋40，当x=9.5时，=－3.2×9.5＋40=9.6，10－9.6=0.4，故相应于点(9.5，10)的残差约为0.4，C错误；对于D，当x=8时，y的估计值为=－3.2×8＋40=14.4，D正确.
10. 下列说法中，正确的有(　ABD　)
A. 一组数据(xi，yi)(i=1，2，3，4，5)，经过分析、计算，得=－1，=8，y关于x的经验回归方程为=－3x，则=5
B. 若随机变量ξ，η满足η=3ξ－2，则D(η)=9D(ξ)
C. 若随机变量X~N(2，σ2)，P(X＜4)=0.84，则P(2＜X＜4)=0.16
D. 由分类变量X与Y的成对样本数据计算得到χ2=4.712，根据小概率α=0.05值的独立性检验(x0.05=3.841)，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
【解析】对于A，经验回归方程=－3x经过()，代入可得=5，A正确；对于B，由随机变量方差的性质知D(η)=9D(ξ)，B正确；对于C，由正态分布的对称性，P(X＞4)=P(X＜0)=0.16，则P(0＜X＜4)=1－0.16－0.16=0.68，∴P(2＜X＜4)=P(0＜X＜4)=0.34，C错误；对于D，由独立性检验，χ2=4.712＞3.841，D正确.
11. (2025·山东枣庄高二期末)某地新开业了一个夜市，每晚最多能接纳10万人.主办公司计划通过广告宣传提高客流量.通过调研，发现投入的广告费x与每晚客流量y存在如下关系：
x/万元 1 2 3 4 5
y/千人 5 6 8.1 9 14.5
附：=8.52，(xi－)(yi－)=22，令t=2x，=12.4，(ti－)(yi－)=178.56，=595.2.
现用曲线C：y=×2x拟合变量x与y的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数的最小二乘估计，以所求回归方程C为预测依据，则下列说法中，正确的有(　BC　)
A. 曲线C经过点(3， 8.52)
B. =4.8
C. 若投入广告费9万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力
D. 广告费每增加1万元，每晚客流量增加3 000人
【解析】由题可知，令t=2x，=12.4，(ti－)(yi－)=178.56，=595.2，∴=0.3，=8.52－0.3×12.4=4.8，B正确；∴C：y=4.8＋0.3×2x，令x=3，y=4.8＋0.3×23=4.8＋2.4=7.2，∴曲线C不经过点(3，8.52)，A错误；当x=9时，y=4.8＋0.3×29=158.4(千人)，∴若投入广告费9万元，则每晚客流量为15.84万人，∵每晚最多能接纳10万人，∴会超过夜市接纳能力，C正确；由C：y=4.8＋0.3×2x可知，当x=6时，y=4.8＋0.3×26=24，∴当广告费从5万元增加到6万元，客流量增加24－14.5=9.5(千人)，D错误.
[选择题答题区]
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C C D D C C C BD ABD BC
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. (2025·广东高二期末)小明为了解不同性别的观众对蛇年春晚小品类节目的喜欢情况，随机选取了200名观看蛇年春晚的观众，得到如下列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男性 45 45 90
女性 s 110
合计 t 80 200
根据小概率值α=0.010的独立性检验，其中χ2=　6.818　(结果精确到小数点后3位)，可以判断出性别因素与对蛇年春晚小品类节目的喜欢情况有关联.
附：χ2=，n=a＋b＋c＋d.
α 0.050 0.010 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
【解析】已知合计人数为200，不喜欢的人数合计为80，那么喜欢的人数合计t=200－80=120.∵男性喜欢的人数是45，喜欢的人数合计是120，∴女性喜欢的人数为120－45=75.∵女性合计人数为110，∴s=110－75=35.此时完整的列联表为
喜欢 不喜欢 合计
男性 45 45 90
女性 75 35 110
合计 120 80 200
在χ2=中，n=a＋b＋c＋d(这里n=200，a=45(男性喜欢的人数)，b=45 (男性不喜欢的人数)，c=75 (女性喜欢的人数)，d=35(女性不喜欢的人数)).将这些值代入公式可得： χ2=≈6.818.
13. (2025·江西抚州高二期末)为调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的100个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取10个作为样本，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，3，…，10)，其中xi，yi分别表示第i个样本的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，分别表示这10个样本的植物覆盖面积和这种野生动物的数量的平均值，构造向量a=(x1－，x2－，…，x10－)，b=(y1－，y2－，…，y10－)，并计算得xi=30，yi=600，xiyi=2 280，|a|=5，|b|=100，由选择性必修第三册教材中的知识，我们知道n对数据的相关系数r=cos＜a，b＞，则上述数据(xi，yi)(i=1，2，3，…，10)的相关系数r=　0.96　.
【解析】xi=30，yi=600，故=3，=60，a·b=(x1－，x2－，…，x10－)·(y1－，y2－，…，y10－)=(xi－)(yi－)=xiyi－10·=2 280－10×3×60=480，r=cos＜a，b＞==0.96.
14. 项目投资的利润产生与项目落地国的商业环境、法律生态等因素都有重大的关联.如表所示为某项目在中国和南亚某国的投资额和相应利润的统计表.
项目落地国 中国 南亚某国
投资额x/亿元 10 11 12 13 14 10 11 12 13 14
利润y/亿元 11 12 14 16 19 12 13 13 14 15
请选择平均利润较高的落地国，用最小二乘法求出经验回归方程为 =2x－9.6　，并根据经验回归方程预计在该国投资15亿元所获得的利润是　20.4　亿元.
附：(xi－)2=10，中国(xi－)(yi－)=20，南亚某国(xi－)(yi－)=7，.
【解析】由表中数据可求得，=12，=14.4，=13.4，
∴应选择中国，∴=2，=14.4－2×12=－9.6，∴所求经验回归方程为=2x－9.6，当x=15时，y的值约为20.4.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)某省正进行高中新课程改革，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人.老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人.
(1)请根据以上数据，建立一个2×2列联表；
(2)试根据小概率值α=0.01的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系；
(3)试根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系.
附：χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解：(1)2×2列联表如下.
教师身份 对新课程教学模式 合计
赞同 不赞同
老教师 10 10 20
青年教师 24 6 30
合计 34 16 50
(2)零假设为H0：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关.由公式得χ2=≈4.963＜6.635=x0.01，根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关.
(3)由(2)得χ2≈4.963＞3.841=x0.05，根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，因此可认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
16. (15分)社会生活日新月异，相比纸质书，许多年轻人(35岁以下)更喜欢阅读电子书，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者(35岁以上)往往更喜欢阅读纸质书.现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表：
年长者 年轻人 总计
喜欢阅读电子书 24 30
喜欢阅读纸质书 12
总计 60
(1)请将列联表补充完整；
(2)根据小概率值α=0.1的独立性检验，分析喜欢阅读电子书是否与年龄有关.
解：(1)根据题意，可得如下的2×2的列联表：
年长者 年轻人 总计
喜欢阅读电子书 6 24 30
喜欢阅读纸质书 12 18 30
总计 18 42 60
(2)零假设H0：喜欢阅读电子书相互独立，即喜欢阅读电子书与年龄无关联.由2×2的列联表可得χ2=≈2.857＞2.706，∴推断零假设H0不成立，即认为喜欢阅读电子书与年龄有关，该推断犯错误的概率不超过0.1，∴有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关.
17. (15分)(2025·湖北咸宁高二期末)2025年春节档，某国产动画电影横空出世，迅速斩获各项票房冠军，截至3月20日，该电影已进入全球票房榜前五.经权威机构调查，其前5周的票房数据如下表所示：
周次 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周
周次代码X 1 2 3 4 5
票房总额Y/亿元 40 35 25 37 7
(1)求Y关于X的线性回归方程Y=X；
(2)该机构随机调查了某电影院2月15日200位观影人的购票情况，其中购买该电影票的男性有90人，女性有70人，购买其他电影票的男性有30人，女性有10人.请完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为是否购买该电影票与性别有关.
购买该电影票 购买其他电影票 合计
男性
女性
合计
附：①xiyi=368，=55，在利用最小二乘法求得的线性回归方程x中，；
②χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
α 0.100 0.050 0.010
xα 2.706 3.841 6.635
解：(1)由前5周的票房数据，可得(1＋2＋3＋4＋5)=3，(40＋35＋25＋37＋7)=28.8，
∴=－6.4，则=28.8－(－6.4)×3=48，
故所求的经验回归方程为Y=－6.4X＋48.
(2)由题意，可得2×2列联表如下：
购买该电影票 购买其他电影票 合计
男性 90 30 120
女性 70 10 80
合计 160 40 200
可得χ2=≈4.7＜6.635，
故没有99%的把握认为购买该电影票与性别有关.
18. (17分)某科技公司对三文鱼的传统淡水网箱养殖法和AI赋能的新型深远海智能网箱养殖法的产量进行对比研究.科研人员在收获季节分别从传统养殖网箱和深远海智能养殖网箱中，各随机抽取了100个网箱，测量每箱三文鱼的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图所示.
(1)请根据频率分布直方图，补全下面的列联表.
养殖方法 箱产量 合计
箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg
传统养殖
智能养殖 30
合计 200
(2)请根据小概率α=0.001的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关.
参考数据及公式：P(χ2≥10.828)=0.001，χ2=，n=a＋b＋c＋d.
解：(1)由频率分布直方图知，传统养殖法箱产量低于50 kg的箱数为5×(0.037＋0.033＋0.025＋0.015＋0.010)×100=60，不低于50 kg的箱数为100－60=40；
由此可得列联表如下：
养殖法 箱产量 合计
箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg
传统养殖 60 40 100
智能养殖 30 70 100
合计 90 110 200
(2)零假设H0：箱产量与养殖方法无关.
∵χ2=≈18.182＞10.828，∴根据小概率α=0.001的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为箱产量与养殖方法有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.
19. (17分)(2025·广东广州高二期末)为了研究广告支出与销售额的关系，现随机抽取5家超市作为样本，得到其广告支出x(单位：万元)与销售额W(单位：万元)数据如下表所示：
超市 A B C D E
广告支出x 1 2 3 4 5
销售额W 4 9 14 18 m(m＞0)
(1)当m=20时，根据表中样本数据，计算相关系数r，并推断它们的相关程度(结果保留两位小数)；
(2)根据表中样本数据，用最小二乘法得到销售额W关于广告支出x的回归直线方程为W=x－1.3，销售额W的方差为52.4，求的值，并计算广告支出为5万元时销售额的残差；
(3)收集更多变量W和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型W=x，对应的残差如图所示，则模型误差是否满足一元线性回归模型的E(e)=0与D(e)=σ2的假设(直接写出结果).
参考公式：相关系数r=，回归系数.
参考数据：≈41.5.
解：(1)由题知=3，=13，
A B C D E
xi－ －2 －1 0 1 2
wi－ －9 －4 1 5 7
(xi－)(Wi－)=18＋4＋0＋5＋14=41，=2，
相关系数r=≈≈0.99，r≈0.99接近于1，可以推断两个变量正线性相关，且相关性很强.
(2)∵销售额W的方差为52.4，即=52.4，=262，－5=262，
∴42＋92＋142＋182＋m2－5×=262，化为2m2－45m－125=0，解得m=25，m=－2.5(舍去)，
∴=3，=14，∵回归直线方程为W=x－1.3经过样本中心点()，把(3，14)代入W=x－1.3得=5.1，销售量W关于广告支出x的回归直线方程为W=5.1x－1.3，当x=5时，代入W=5.1x－1.3得预测值W=24.2，而观测值m=25，∴广告支出为5万元时销售额的残差为25－24.2=0.8(万元).
(3)由残差图，模型误差满足一元线性回归模型的E(e)=0的假设，不满足一元线性回归模型的D(e)=σ2的假设.

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