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第七章核心素养测评卷 随机变量及其分布
满分150分　限时120分钟
高中数学 选择性必修 第三册
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. (2025·山东威海高二期末)已知随机变量X~N(2，4)，则下列选项中，正确的是(　 　)
A. E(X)=4 B. E(2X＋1)=5
C. D(X)=2 D. D(2X＋1)=8
【解析】∵随机变量X~N(2，4)，则E(X)=2，D(X)=4，A，C错误；E(2X＋1)=2E(X)＋1=5，B正确；D(2X＋1)=22D(X)=16，D错误.
B
2. 一批零件共有10个，其中有3个不合格.随机抽取3个零件进行检测，恰好有1个不合格的概率是(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】从10个零件中抽取3个的总方式数为；不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ，合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ，根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为；根据古典概型得P=.
B
3. 已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(0＜X≤3)=0.2，则P(X≥6)等于(　 　)
A. 0.3 B. 0.2
C. 0.4 D. 0.5
【解析】∵μ=3，∴P(X＜0)=0.5－P(0＜X≤3)=0.3，∴P(X≥6)=P(X＞6)=P(X＜0)=0.3.
A
4. 若随机变量X~B(18，p)，且E(X)=5.4，则P(X=4)等于(　 　)
A. ×0.44×0.614 B. ×0.34×0.714
C. ×0.74×0.314 D. ×0.34×0.714
【解析】由X~B(18，p)，E(X)=5.4，得18p=5.4，解得p=0.3，∴P(X=4)=
p4(1－p)18－4=×0.34×0.714.
B
5. (2025·山东菏泽高二期末)假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有两个小孩的家庭，已知该家庭有女孩，则两个小孩都是女孩的概率是(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间Ω={bg，gb，bb，gg}，用A表示事件 “选择的家庭中有女孩”，B表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则A={bg，gb，gg}，B={gg}.则n(A)=3，n(AB)=n(B)=1，∴“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率为P(B|A)=.
C　
6. (2025·福建泉州高二期末)若随机变量X~N，随机变量Y~B(3，p)，且P(X≥1)=，E(X)=E(Y)，则P(Y≤1)等于(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】由X~N，P(X≥1)=，得E(X)=μ=1，由Y~B(3，p)，E(Y)=E(X)=1，得3p=1，解得p=，∴P(Y≤1)=P(Y=0)＋P(Y=1)=3×.
D
7. (2025·江苏南京高二期中) 立定跳远是《国家学生体质健康标准(2014年修订)》所含测试项目之一，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据ξ(单位：cm)服从正态分布N(200， σ2)，且P(ξ≥220)=0.1，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记ξ在(180， 220)的人数为X，则(　 　)
A. P(180＜ξ＜220)=0.9 B. P(X≥1)=0.992
C. E(X)=3 D. D(X)=0.16
【解析】∵ξ~N(200，σ2)，∴P(ξ≥220)=P(ξ≤180)=0.1，∴P(180＜ξ＜220)=1－P(ξ≥220)－P(ξ≤180)=0.8，A错误；ξ在(180，220)的概率为P(180＜ξ＜220)=0.8，则X~B(3，0.8)，∴P(X≥1)=1－P(X=0)=1－0.23=1－0.008=0.992，B正确；由X~B(3，0.8)，∴E(X)=3×0.8=2.4，C错误；由X~B(3，0.8)，∴D(X)=3×0.8×(1－0.8)=0.48，D错误.
B
8. 志愿者甲参加深圳第21届文博会的服务工作，他从住所到会场选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达会场的概率分别为.若某一天甲按时到达会场，则他骑共享单车的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】设事件A表示“甲乘地铁”，事件B表示“甲乘公交车”，事件C表示“甲骑共享单车”，事件D表示“甲按时到达会场”，则P(A)=，P(B)=，P(C)=，P(D|A)=，P(D|B)=，P(D|C)=，则P(D)=P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)·P(D|C)=，P(CD)=P(C)P(D|C)=，∴若某一天甲按时到达会场，则他骑共享单车的概率为P(C|D)=.
C　
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. (2025·安徽黄山高二期末)小张上学有时乘坐公交车，有时骑自行车.假设其乘坐公交车用时X和骑自行车用时Y均服从正态分布，密度曲线如下图所示，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. E(X)＜E(Y)
B. D(X)＜D(Y)
C. 如果某天有34 min可用，为了降低迟到的可能性，小张应选择乘坐公交车
D. 如果某天有38 min可用，为了降低迟到的可能性，小张应选择骑自行车
ACD
【解析】对于A，E(X)=30，E(Y)=34，∴E(X)＜E(Y)，A正确；对于B，X的密度曲线矮胖，数据分散，Y的密度曲线瘦高，数据集中，∴D(X)＞D(Y)，B错误；对于C，显然P(X≤34)＞=P(Y≤34)，则当有34 min可用时，乘坐公交车不迟到的概率大，C正确；对于D，显然P(X≤38)＜P(Y≤38)，则当有38 min可用时，骑自行车不迟到的概率大，D正确.
10. (2025·安徽合肥高二期末)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则下列选项中，正确的有(　 　)
A. X~B B. P(X=2)=
C. E(X)= D. D(X)=
【解析】从袋子中有放回地取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，4次取球的总分数相当于抽到黑球的总个数，又每次摸到黑球的概率为，由有放回地取4次球，得X~B，A正确；P(X=2)=，B错误；由二项分布期望公式得E(X)=4×，C正确；由二项分布方差公式得D(X)=4×，D错误.
AC
11. 有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件Ai表示“取到i号箱(i=1，2，3)”，事件B表示“摸到绿球”，事件C表示“摸到红球”，则下列选项中，正确的有(　 　)
A. P(B|A2)= B. P(B|A1)＋P(C|A1)=P(A1)
C. P(B)= D. P(A1|B)=
【解析】由题意可知P(A1)=P(A2)=P(A3)=，P(B|A1)=，P(C|A1)=，P(B|A2)=，A正确，B错误；P(B|A3)=1，P(B)=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)=，C正确；P(A1|B)=，D正确.
ACD
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 某超市销售一种袋装低钠盐，这种盐每袋的质量X(单位：g)服从正态分布N(200，σ2)，且P(X＜198)=0.1，则P(198≤X≤202)=______.若购买10袋这种低钠盐，则这10袋低钠盐中质量在198 g~202 g之间的袋数Y的方差为________.
【解析】P(198≤X≤202)=2P(198≤X≤200)=2=0.8.依题意可得Y~B(10，0.8)，则D(Y)=10×0.8×(1－0.8)=1.6.
0.8
　1.6　
13. 若随机变量X~B，则P(2＜X≤4)=_______.已知随机变量X~B(3，p)，0＜p＜1，且E(X)=3D(X)，则p=_______.
【解析】由题意可得P(2＜X≤4)=P(X=3)＋P(X=4)=；由X~B(3，p)，0＜p＜1，且E(X)=3D(X)，即3p=3×3p(1－p)，解得p=.
　
　
14. 袋中原有3个白球和2个黑球.第一次从中任取2个球，然后补放2个黑球.设第一次取到白球的个数为ξ，则E(ξ)=_____；第二次再任取2个球，取到1个白球和1个黑球的概率为_______.
【解析】ξ的可能取值为0，1，2，P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，P(ξ=2)=，故E(ξ)=0×1×2×；设事件Ai表示“第一次取了i个白球，第二次取到1个白球和1个黑球”，则P(A0)=，P(A1)=，P(A2)=，故第二次再任取2个球，取到1个白球和1个黑球的概率为.
　
　
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)(2025·江西景德镇高二期中)健康是人生的基石，随着生活水平的提高，人们越来越重视身体健康，全民健身运动在全国范围内广泛开展.每年8月8日为全民健身日，同学们为了解本地年轻人的每日健身时间(单位：分钟)，通过随机抽样调查100位年轻人，得到样本的频率分布直方图如图所示.
(1)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天健身时间的平均数 (单位：分钟)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；
(2)若年轻人每日健身时间X近似服从正态分布N(μ，100)，其中μ近似为样本平均数 ，求P(47＜X≤87).
参考数据：若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解：(1)由频率分布直方图可知，这100位年轻人每天健身时间的平均数为
=35×0.1＋45×0.2＋55×0.3＋65×0.25＋75×0.1＋85×0.05=57(分钟).
(2)由(1)可得μ=57，σ=10，∴P(47＜X≤87)=P(μ－σ＜X≤μ＋3σ)=[P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＋P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)]≈×(0.682 7＋0.997 3)=0.84.
16. (15分)已知在某种资格证考试中，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书.不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小张决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，求：
(1)小张在一年内参加考试的次数X的分布列及期望；
(2)小张在一年内领到资格证书的概率.
解：(1)X的取值分别为1，2，3.P(X=1)=0.6，P(X=2)=(1－0.6)×0.7=0.28，P(X=3)=(1－0.6)×(1－0.7)=0.12，∴小张参加考试次数X的分布列为
E(X)=1×0.6＋2×0.28＋3×0.12=1.52.
(2)小张三次考试均没有通过的概率为(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)=0.024，故小张在一年内领到资格证书的概率为P=1－0.024=0.976.
X 1 2 3
P 0.6 0.28 0.12
17. (15分)(2025·河南驻马店高二期末)某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试，方能被认定为合格.首次测试(测试Ⅰ)通过率为p(0＜p＜1)，未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试(测试Ⅱ)，通过率为q(0＜q＜1).通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废.
(1)若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X.当p=0.8，q=0.5时，求X的期望与方差；
(2)已知一枚芯片合格，求这枚芯片是通过测试Ⅰ的概率.
解：(1)设事件A：芯片合格，则每个芯片通过测试的概率为P(A)=p＋(1－p)q=0.8＋(1－0.8)×0.5=0.9，于是X~B(n，0.9)，则E(X)=0.9n，D(X)=0.9n·(1－0.9)=0.09n.
(2)记事件A：芯片合格，事件B：通过测试I，事件C：通过测试Ⅱ.由题意得P(A)=P(B)＋P()P(C)=p＋(1－p)q，P(AB)=P(B)P(A|B)=p·1=p，则P(B|A)=，故所求概率为.
18. (17分)(2025·广东潮州高二检测)为提升工作效率，M公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训.
(1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为，求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率；
(2)为了激发员工的培训积极性，M公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛的员工的竞赛成绩Z近似服从正态分布N(90，9)，若该集团共有2 000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数(结果精确到个位)；
(3)参加知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢大奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，记甲获得的总奖金为X元，求X的分布列与数学期望E(X).
参考数据：若Z~N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解：(1)分别记甲、乙、丙培训合格为事件A，B，C，则甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率P=1－P()=1－.
(2)由已知得μ的近似值为90，σ的近似值为3，∴ P(Z＞93)=P(Z＞μ＋σ)=≈0.158 65，
而2 000×0.158 65=317.3≈317，∴估计这些员工中成绩超过93分的人数为317.
(3)X的所有可能取值为0，800，1 600，2 400.且P(X=0)=，P(X=800)=，
P(X=1 600)=，P(X=2 400)=.
∴X的分布列为
E(X)=0×800×1 600×2 400×=1 800.
X 0 800 1 600 2 400
P
19. (17分)(2025·广东深圳高二期末)人工智能模型深度求索(DeepSeek)在多领域有着广泛应用.为提高员工对该模型的应用能力，某公司组织全体员工参加相关培训.培训结束之后，公司举行了一次人工智能专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰.
(1)若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率；
(2)已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为ξ，求ξ的分布列及数学期望.
解：(1)记X为甲在预赛答对的题数，则X的取值为1，2，3，4，P(X=3)=，P(X=4)=，记甲进入决赛为事件A，则甲进入决赛的概率为P(A)=P(X=3)＋P(X=4)=.
(2)由题可知ξ的取值为0，50，150，300，∴P(ξ=0)=，P(ξ=50)=，P(ξ=150)=，P(ξ=300)=，
∴ξ的分布列为
E(ξ)=0×50×150×300×(元)，即甲获得奖金的数学期望为元.
ξ 0 50 150 300
P第七章核心素养测评卷
随机变量及其分布
满分150分　限时120分钟　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. (2025·山东威海高二期末)已知随机变量X~N(2，4)，则下列选项中，正确的是(　B　)
A. E(X)=4 B. E(2X＋1)=5
C. D(X)=2 D. D(2X＋1)=8
【解析】∵随机变量X~N(2，4)，则E(X)=2，D(X)=4，A，C错误；E(2X＋1)=2E(X)＋1=5，B正确；D(2X＋1)=22D(X)=16，D错误.
2. 一批零件共有10个，其中有3个不合格.随机抽取3个零件进行检测，恰好有1个不合格的概率是(　B　)
A. B.
C. D.
【解析】从10个零件中抽取3个的总方式数为；不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ，合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ，根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为；根据古典概型得P=.
3. 已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(0＜X≤3)=0.2，则P(X≥6)等于(　A　)
A. 0.3 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.5
【解析】∵μ=3，∴P(X＜0)=0.5－P(0＜X≤3)=0.3，∴P(X≥6)=P(X＞6)=P(X＜0)=0.3.
4. 若随机变量X~B(18，p)，且E(X)=5.4，则P(X=4)等于(　B　)
A. ×0.44×0.614 B. ×0.34×0.714
C. ×0.74×0.314 D. ×0.34×0.714
【解析】由X~B(18，p)，E(X)=5.4，得18p=5.4，解得p=0.3，∴P(X=4)=p4(1－p)18－4=×0.34×0.714.
5. (2025·山东菏泽高二期末)假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有两个小孩的家庭，已知该家庭有女孩，则两个小孩都是女孩的概率是(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间Ω={bg，gb，bb，gg}，用A表示事件 “选择的家庭中有女孩”，B表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则A={bg，gb，gg}，B={gg}.则n(A)=3，n(AB)=n(B)=1，∴“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率为P(B|A)=.
6. (2025·福建泉州高二期末)若随机变量X~N，随机变量Y~B(3，p)，且P(X≥1)=，E(X)=E(Y)，则P(Y≤1)等于(　D　)
A. B.
C. D.
【解析】由X~N，P(X≥1)=，得E(X)=μ=1，由Y~B(3，p)，E(Y)=E(X)=1，得3p=1，解得p=，∴P(Y≤1)=P(Y=0)＋P(Y=1)=3×.
7. (2025·江苏南京高二期中) 立定跳远是《国家学生体质健康标准(2014年修订)》所含测试项目之一，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据ξ(单位：cm)服从正态分布N(200， σ2)，且P(ξ≥220)=0.1，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记ξ在(180， 220)的人数为X，则(　B　)
A. P(180＜ξ＜220)=0.9 B. P(X≥1)=0.992
C. E(X)=3 D. D(X)=0.16
【解析】∵ξ~N(200，σ2)，∴P(ξ≥220)=P(ξ≤180)=0.1，∴P(180＜ξ＜220)=1－P(ξ≥220)－P(ξ≤180)=0.8，A错误；ξ在(180，220)的概率为
P(180＜ξ＜220)=0.8，则X~B(3，0.8)，∴P(X≥1)=1－P(X=0)=1－0.23=1－0.008=0.992，B正确；由X~B(3，0.8)，∴E(X)=3×0.8=2.4，C错误；由X~B(3，0.8)，∴D(X)=3×0.8×(1－0.8)=0.48，D错误.
8. 志愿者甲参加深圳第21届文博会的服务工作，他从住所到会场选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达会场的概率分别为.若某一天甲按时到达会场，则他骑共享单车的概率为(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】设事件A表示“甲乘地铁”，事件B表示“甲乘公交车”，事件C表示“甲骑共享单车”，事件D表示“甲按时到达会场”，则P(A)=，P(B)=，P(C)=，P(D|A)=，P(D|B)=，P(D|C)=，则P(D)=P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)·P(D|C)=，P(CD)=P(C)P(D|C)=，∴若某一天甲按时到达会场，则他骑共享单车的概率为P(C|D)=.
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. (2025·安徽黄山高二期末)小张上学有时乘坐公交车，有时骑自行车.假设其乘坐公交车用时X和骑自行车用时Y均服从正态分布，密度曲线如下图所示，则下列说法中，正确的有(　ACD　)
A. E(X)＜E(Y)
B. D(X)＜D(Y)
C. 如果某天有34 min可用，为了降低迟到的可能性，小张应选择乘坐公交车
D. 如果某天有38 min可用，为了降低迟到的可能性，小张应选择骑自行车
【解析】对于A，E(X)=30，E(Y)=34，∴E(X)＜E(Y)，A正确；对于B，X的密度曲线矮胖，数据分散，Y的密度曲线瘦高，数据集中，∴D(X)＞D(Y)，B错误；对于C，显然P(X≤34)＞=P(Y≤34)，则当有34 min可用时，乘坐公交车不迟到的概率大，C正确；对于D，显然P(X≤38)＜P(Y≤38)，则当有38 min可用时，骑自行车不迟到的概率大，D正确.
10. (2025·安徽合肥高二期末)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则下列选项中，正确的有(　AC　)
A. X~B B. P(X=2)=
C. E(X)= D. D(X)=
【解析】从袋子中有放回地取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，4次取球的总分数相当于抽到黑球的总个数，又每次摸到黑球的概率为，由有放回地取4次球，得X~B，A正确；P(X=2)=，B错误；由二项分布期望公式得E(X)=4×，C正确；由二项分布方差公式得D(X)=4×，D错误.
11. 有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件Ai表示“取到i号箱(i=1，2，3)”，事件B表示“摸到绿球”，事件C表示“摸到红球”，则下列选项中，正确的有(　ACD　)
A. P(B|A2)= B. P(B|A1)＋P(C|A1)=P(A1)
C. P(B)= D. P(A1|B)=
【解析】由题意可知P(A1)=P(A2)=P(A3)=，P(B|A1)=，P(C|A1)=，P(B|A2)=，A正确，B错误；P(B|A3)=1，P(B)=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)=，C正确；P(A1|B)=，D正确.
[选择题答题区]
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B A B C D B C ACD AC ACD
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 某超市销售一种袋装低钠盐，这种盐每袋的质量X(单位：g)服从正态分布N(200，σ2)，且P(X＜198)=0.1，则P(198≤X≤202)=　0.8　.若购买10袋这种低钠盐，则这10袋低钠盐中质量在198 g~202 g之间的袋数Y的方差为　1.6　.
【解析】P(198≤X≤202)=2P(198≤X≤200)=2=0.8.依题意可得Y~B(10，0.8)，则D(Y)=10×0.8×(1－0.8)=1.6.
13. 若随机变量X~B，则P(2＜X≤4)= 　.已知随机变量X~B(3，p)，0＜p＜1，且E(X)=3D(X)，则p= 　.
【解析】由题意可得P(2＜X≤4)=P(X=3)＋P(X=4)=；由X~B(3，p)，0＜p＜1，且E(X)=3D(X)，即3p=3×3p(1－p)，解得p=.
14. 袋中原有3个白球和2个黑球.第一次从中任取2个球，然后补放2个黑球.设第一次取到白球的个数为ξ，则E(ξ)= 　；第二次再任取2个球，取到1个白球和1个黑球的概率为 　.
【解析】ξ的可能取值为0，1，2，P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，P(ξ=2)=，故E(ξ)=0×1×2×；设事件Ai表示“第一次取了i个白球，第二次取到1个白球和1个黑球”，则P(A0)=，P(A1)=，P(A2)=，故第二次再任取2个球，取到1个白球和1个黑球的概率为.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)(2025·江西景德镇高二期中)健康是人生的基石，随着生活水平的提高，人们越来越重视身体健康，全民健身运动在全国范围内广泛开展.每年8月8日为全民健身日，同学们为了解本地年轻人的每日健身时间(单位：分钟)，通过随机抽样调查100位年轻人，得到样本的频率分布直方图如图所示.
(1)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天健身时间的平均数x(单位：分钟)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；
(2)若年轻人每日健身时间X近似服从正态分布N(μ，100)，其中μ近似为样本平均数x，求P(47＜X≤87).
参考数据：若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解：(1)由频率分布直方图可知，这100位年轻人每天健身时间的平均数为
x=35×0.1＋45×0.2＋55×0.3＋65×0.25＋75×0.1＋85×0.05=57(分钟).
(2)由(1)可得μ=57，σ=10，∴P(47＜X≤87)=P(μ－σ＜X≤μ＋3σ)=[P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＋P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)]≈×(0.682 7＋0.997 3)=0.84.
16. (15分)已知在某种资格证考试中，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书.不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小张决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，求：
(1)小张在一年内参加考试的次数X的分布列及期望；
(2)小张在一年内领到资格证书的概率.
解：(1)X的取值分别为1，2，3.P(X=1)=0.6，P(X=2)=(1－0.6)×0.7=0.28，P(X=3)=(1－0.6)×(1－0.7)=0.12，∴小张参加考试次数X的分布列为
X 1 2 3
P 0.6 0.28 0.12
E(X)=1×0.6＋2×0.28＋3×0.12=1.52.
(2)小张三次考试均没有通过的概率为(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)=0.024，故小张在一年内领到资格证书的概率为P=1－0.024=0.976.
17. (15分)(2025·河南驻马店高二期末)某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试，方能被认定为合格.首次测试(测试Ⅰ)通过率为p(0＜p＜1)，未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试(测试Ⅱ)，通过率为q(0＜q＜1).通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废.
(1)若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X.当p=0.8，q=0.5时，求X的期望与方差；
(2)已知一枚芯片合格，求这枚芯片是通过测试Ⅰ的概率.
解：(1)设事件A：芯片合格，则每个芯片通过测试的概率为P(A)=p＋(1－p)q=0.8＋(1－0.8)×0.5=0.9，于是X~B(n，0.9)，则E(X)=0.9n，D(X)=0.9n·(1－0.9)=0.09n.
(2)记事件A：芯片合格，事件B：通过测试I，事件C：通过测试Ⅱ.由题意得P(A)=P(B)＋P()P(C)=p＋(1－p)q，P(AB)=P(B)P(A|B)=p·1=p，则P(B|A)=，故所求概率为.
18. (17分)(2025·广东潮州高二检测)为提升工作效率，M公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训.
(1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为，求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率；
(2)为了激发员工的培训积极性，M公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛的员工的竞赛成绩Z近似服从正态分布N(90，9)，若该集团共有2 000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数(结果精确到个位)；
(3)参加知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢大奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，记甲获得的总奖金为X元，求X的分布列与数学期望E(X).
参考数据：若Z~N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解：(1)分别记甲、乙、丙培训合格为事件A，B，C，则甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率P=1－P()=1－.
(2)由已知得μ的近似值为90，σ的近似值为3，∴ P(Z＞93)=P(Z＞μ＋σ)=≈0.158 65，
而2 000×0.158 65=317.3≈317，∴估计这些员工中成绩超过93分的人数为317.
(3)X的所有可能取值为0，800，1 600，2 400.且P(X=0)=，P(X=800)=，
P(X=1 600)=，P(X=2 400)=.
∴X的分布列为
X 0 800 1 600 2 400
P
E(X)=0×800×1 600×2 400×=1 800.
19. (17分)(2025·广东深圳高二期末)人工智能模型深度求索(DeepSeek)在多领域有着广泛应用.为提高员工对该模型的应用能力，某公司组织全体员工参加相关培训.培训结束之后，公司举行了一次人工智能专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰.
(1)若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率；
(2)已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为ξ，求ξ的分布列及数学期望.
解：(1)记X为甲在预赛答对的题数，则X的取值为1，2，3，4，P(X=3)=，P(X=4)=，记甲进入决赛为事件A，则甲进入决赛的概率为P(A)=P(X=3)＋P(X=4)=.
(2)由题可知ξ的取值为0，50，150，300，∴P(ξ=0)=，P(ξ=50)=，P(ξ=150)=，P(ξ=300)=，
∴ξ的分布列为
ξ 0 50 150 300
P
E(ξ)=0×50×150×300×(元)，即甲获得奖金的数学期望为元.第七章核心素养测评卷
随机变量及其分布
满分150分　限时120分钟　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. (2025·山东威海高二期末)已知随机变量X~N(2，4)，则下列选项中，正确的是(　 　)
A. E(X)=4 B. E(2X＋1)=5
C. D(X)=2 D. D(2X＋1)=8
2. 一批零件共有10个，其中有3个不合格.随机抽取3个零件进行检测，恰好有1个不合格的概率是(　 　)
A. B.
C. D.
3. 已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(0＜X≤3)=0.2，则P(X≥6)等于(　 　)
A. 0.3 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.5
4. 若随机变量X~B(18，p)，且E(X)=5.4，则P(X=4)等于(　 　)
A. ×0.44×0.614 B. ×0.34×0.714
C. ×0.74×0.314 D. ×0.34×0.714
5. (2025·山东菏泽高二期末)假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有两个小孩的家庭，已知该家庭有女孩，则两个小孩都是女孩的概率是(　 　)
A. B.
C. D.
6. (2025·福建泉州高二期末)若随机变量X~N，随机变量Y~B(3，p)，且P(X≥1)=，E(X)=E(Y)，则P(Y≤1)等于(　 　)
A. B.
C. D.
7. (2025·江苏南京高二期中) 立定跳远是《国家学生体质健康标准(2014年修订)》所含测试项目之一，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据ξ(单位：cm)服从正态分布N(200， σ2)，且P(ξ≥220)=0.1，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记ξ在(180， 220)的人数为X，则(　 　)
A. P(180＜ξ＜220)=0.9 B. P(X≥1)=0.992
C. E(X)=3 D. D(X)=0.16
8. 志愿者甲参加深圳第21届文博会的服务工作，他从住所到会场选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达会场的概率分别为.若某一天甲按时到达会场，则他骑共享单车的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. (2025·安徽黄山高二期末)小张上学有时乘坐公交车，有时骑自行车.假设其乘坐公交车用时X和骑自行车用时Y均服从正态分布，密度曲线如下图所示，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. E(X)＜E(Y)
B. D(X)＜D(Y)
C. 如果某天有34 min可用，为了降低迟到的可能性，小张应选择乘坐公交车
D. 如果某天有38 min可用，为了降低迟到的可能性，小张应选择骑自行车
10. (2025·安徽合肥高二期末)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则下列选项中，正确的有(　 　)
A. X~B B. P(X=2)=
C. E(X)= D. D(X)=
11. 有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件Ai表示“取到i号箱(i=1，2，3)”，事件B表示“摸到绿球”，事件C表示“摸到红球”，则下列选项中，正确的有(　 　)
A. P(B|A2)= B. P(B|A1)＋P(C|A1)=P(A1)
C. P(B)= D. P(A1|B)=
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 某超市销售一种袋装低钠盐，这种盐每袋的质量X(单位：g)服从正态分布N(200，σ2)，且P(X＜198)=0.1，则P(198≤X≤202)=　 　.若购买10袋这种低钠盐，则这10袋低钠盐中质量在198 g~202 g之间的袋数Y的方差为　 　.
13. 若随机变量X~B，则P(2＜X≤4)= 　.已知随机变量X~B(3，p)，0＜p＜1，且E(X)=3D(X)，则p= 　.
14. 袋中原有3个白球和2个黑球.第一次从中任取2个球，然后补放2个黑球.设第一次取到白球的个数为ξ，则E(ξ)= 　；第二次再任取2个球，取到1个白球和1个黑球的概率为 　.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)(2025·江西景德镇高二期中)健康是人生的基石，随着生活水平的提高，人们越来越重视身体健康，全民健身运动在全国范围内广泛开展.每年8月8日为全民健身日，同学们为了解本地年轻人的每日健身时间(单位：分钟)，通过随机抽样调查100位年轻人，得到样本的频率分布直方图如图所示.
(1)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天健身时间的平均数x(单位：分钟)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；
(2)若年轻人每日健身时间X近似服从正态分布N(μ，100)，其中μ近似为样本平均数x，求P(47＜X≤87).
参考数据：若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
16. (15分)已知在某种资格证考试中，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书.不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小张决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，求：
(1)小张在一年内参加考试的次数X的分布列及期望；
(2)小张在一年内领到资格证书的概率.
17. (15分)(2025·河南驻马店高二期末)某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试，方能被认定为合格.首次测试(测试Ⅰ)通过率为p(0＜p＜1)，未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试(测试Ⅱ)，通过率为q(0＜q＜1).通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废.
(1)若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X.当p=0.8，q=0.5时，求X的期望与方差；
(2)已知一枚芯片合格，求这枚芯片是通过测试Ⅰ的概率.
18. (17分)(2025·广东潮州高二检测)为提升工作效率，M公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训.
(1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为，求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率；
(2)为了激发员工的培训积极性，M公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛的员工的竞赛成绩Z近似服从正态分布N(90，9)，若该集团共有2 000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数(结果精确到个位)；
(3)参加知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢大奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，记甲获得的总奖金为X元，求X的分布列与数学期望E(X).
参考数据：若Z~N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3.
19. (17分)(2025·广东深圳高二期末)人工智能模型深度求索(DeepSeek)在多领域有着广泛应用.为提高员工对该模型的应用能力，某公司组织全体员工参加相关培训.培训结束之后，公司举行了一次人工智能专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰.
(1)若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率；
(2)已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为ξ，求ξ的分布列及数学期望.

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