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综合核心素养测评卷(一)
满分150分　限时120分钟　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 鱼缸里有8条热带鱼和2条冷水鱼，为避免热带鱼咬死冷水鱼，现在把鱼缸出孔打开，让鱼随机游出，每次只能游出1条，直至2条冷水鱼全部游出就关闭出孔，若恰好第3条鱼游出后就关闭了出孔，则不同游出方案的种数为(　 　)
A. 32 B. 36
C. 40 D. 48
2. 在中国传统历法中，一年有24个节气，“立春”居首.2022年北京冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧. 墩墩同学要从24个节气中随机选取4个介绍给外国的朋友，则这4个节气中含有“立春”的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
3. 已知(2x－1)3－(x＋2)4=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　 　)
A. －54 B. －52 C. －50 D. －48
4. 在的展开式中，含x3项的系数为(　 　)
A. －60 B. －12
C. 12 D. 60
5. 已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi，P(ξi=0)=1—pi，i=1，2.若0＜p1＜p2＜，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) B. E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)
C. E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) D. E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)
6. 从一批含有13件正品、2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)等于(　 　)
A. 2 B. 1
C. 3 D. 4
7. 在的展开式中，含x5y2项的系数为(　 　)
A. －480 B. 480
C. －240 D. 240
8. (2025·山东泰安模拟)“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用a(i，j)代表第i行，第j个数，i∈N，j=1，…，i＋1，例如a(4，3)=6，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论，正确的是(　 　)
A. a(10，3)=36
B. 在第100行中，a(100，50)最大
C. a(2 025，1 013)=a(2 025，1 014)
D. a(3，3)＋a(4，3)＋a(5，3)＋…＋a(20，3)=1 330
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 下列说法中，正确的有(　 　)
A. 经验回归方程 =x＋ 对应的经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点
B. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
C. 设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ≥1)=p，则P(－1＜ξ＜0)=－p
D. 若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变
10. (2025·山东模拟预测)已知三个正态密度函数fi(x)=(x∈R，i=1，2，3)的图象如图所示，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. μ1＞μ2=μ3
B. σ1=σ2＞σ3
C. 若X~N(1，)，P(X＜2)=0.7，则P(X＞0)=0.7
D. 若Z~N(μ1，)，X~N(μ2，)，Y~N(μ3，)，则存在实数x0，使得P(Z＜x0)＞P(X＜x0)＞P(Y＜x0)
11. 已知的展开式中各项系数的和为1，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. a=1
B. 展开式中二项式系数之和为256
C. 展开式中常数项为－560
D. 展开式系数的绝对值的和为37
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)=0.8，则P(0＜ξ＜2)=　 　.
13. 若(3－x)5=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|=　 　.
14. (2025·山东泰安模拟)若随机变量X，Y相互独立，且X~N(4，4)，Y~B，则P(X≤4，Y≤3)= 　.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)在某大学自主招生的面试中，考生要从规定的6道科学题，4道人文题，一共10道题中，随机抽取3道作答，每道题答对得10分，答错或不答扣5分.已知甲、乙两名考生参加面试，甲只能答对其中的6道科学题，乙答对每道题的概率都是，每个人答题正确与否互不影响.
(1)求考生甲得分X的分布列和数学期望E(X)；
(2)求甲、乙两人中至少有一人得分不少于15分的概率.
16. (15分)(2025·山东聊城二模)某个周末，四位同学约好一起参加体验活动，有甲、乙两个体验项目可供选择，每人必须参加且只能参加一个项目.四人约定每人通过掷一次质地均匀的骰子来决定自己参加哪个体验项目，若掷出的点数小于3，就体验甲项目，否则体验乙项目.
(1)求这四人中恰有两人参加甲项目的概率；
(2)用X，Y分别表示四人中参加甲、乙项目的人数，记ξ=|X－Y|，求随机变量ξ的分布列及期望.
17. (15分)甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分(单位：分)情况统计如下：
场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13
乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10
丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11
(1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
(2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X表示乙得分大于丙得分的场数，求X的分布列和数学期望E(X)；
(3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设Y1为甲获胜的场数，Y2为乙获胜的场数，Y3为丙获胜的场数，写出方差D(Y1)，D(Y2)，D(Y3)的大小关系.
18. (17分)文旅部门统计了某景点在2025年3月至7月的旅游收入y(单位：万元)，得到以下数据：
月份x 3 4 5 6 7
旅游收入y 10 12 11 12 20
(1)根据表中所给数据，用相关系数r加以判断，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若可以，求出y关于x的经验回归方程；若不可以，请说明理由(当|r|∈[0.75，1]时，可以认为两个变量有很强的线性相关性，可用线性回归模型拟合).
(2)为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，并依据α=0.001的独立性检验，判断是否能认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”.　
性别 景点 总计
喜欢 不喜欢
男 100
女 60
总计 110
参考公式：相关系数r=，经验回归方程：x，其中，χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
参考数据：≈3.162.
临界值表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19. (17分)近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升.
(1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P1=，P2=，P3=.
(i)求该款芯片生产进入第四道工序前的次品率p0；
(ii)第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线，由工人进行人工抽样检验.设A表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较P(A|B)与P(A|)的大小；
(2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布N(5.40，0.052)，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标ξ位于区间(5.25，5.45).若m=24，将使得P(m=24)最大的M值M0作为M的估计值，试求M0的值.
参考数据：P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.(共30张PPT)
综合核心素养测评卷(一)
满分150分　限时120分钟
高中数学 选择性必修 第三册
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 鱼缸里有8条热带鱼和2条冷水鱼，为避免热带鱼咬死冷水鱼，现在把鱼缸出孔打开，让鱼随机游出，每次只能游出1条，直至2条冷水鱼全部游出就关闭出孔，若恰好第3条鱼游出后就关闭了出孔，则不同游出方案的种数为(　 　)
A. 32 B. 36
C. 40 D. 48
【解析】根据恰好第3条鱼游出后就关闭了出孔，则说明其中有一条游出的一定是热带鱼，还有一条冷水鱼，则不同游出方案的种数为=32.
　A
2. 在中国传统历法中，一年有24个节气，“立春”居首.2022年北京冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧. 墩墩同学要从24个节气中随机选取4个介绍给外国的朋友，则这4个节气中含有“立春”的概率为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】从24个节气中选择4个节气，共有种情况，这四个节气中含有“立春”的情况有种情况，故这4个节气中含有“立春”的概率为.
B
3. 已知(2x－1)3－(x＋2)4=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　 　)
A. －54 B. －52
C. －50 D. －48
【解析】(2x－1)3－(x＋2)4=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x=1，得(2－1)3－(1＋2)4=a0＋a1＋a2＋a3＋a4=－80；令x=－1，得(－2－1)3－(－1＋2)4=a0－a1＋a2－a3＋a4=－28；由两式相加得2(a0＋a2＋a4)=－108，∴a0＋a2＋a4=－54.
A
4. 在的展开式中，含x3项的系数为(　 　)
A. －60 B. －12
C. 12 D. 60
【解析】的展开式通项为Tr＋1=·x6－r··(－2)r·x6－3r，令6－3r=3，得r=1，可得含x3项的系数为×(－2)=－12.
B
5. 已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi，P(ξi=0)=1—pi，i=1，2.若0＜p1＜p2＜，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) B. E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)
C. E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) D. E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)
【解析】∵E(ξ1)=p1，E(ξ2)=p2，∴E(ξ1)＜E(ξ2)，∵D(ξ1)=p1(1－p1)，D(ξ2)=p2(1－p2)，∴D(ξ1)－D(ξ2)=(p1－p2)(1－p1－p2)＜0.
A
6. 从一批含有13件正品、2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)等于(　 　)
A. 2 B. 1
C. 3 D. 4
【解析】ξ的可能取值为0，1，2.P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，P(ξ=2)=，∴ξ的分布列为
于是E(ξ)=0×1×2×，故E(5ξ＋1)=5E(ξ)＋1=5×1=3.
ξ 0 1 2
P
　C
7. 在的展开式中，含x5y2项的系数为(　 　)
A. －480 B. 480
C. －240 D. 240
【解析】看成是6个(x2－2x＋y)相乘，要得到x5y2.分以下情况：6个因式中，2个因式取y，1个因式取x2，3个因式取－2x，此时x5y2的系数·(－2)3=－480，∴x5y2的系数为－480.
A
8. (2025·山东泰安模拟)“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用a(i，j)代表第i行，第j个数，i∈N，j=1，…，i＋1，例如a(4，3)=6，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论，正确的是(　 　)
A. a(10，3)=36
B. 在第100行中，a(100，50)最大
C. a(2 025，1 013)=a(2 025，1 014)
D. a(3，3)＋a(4，3)＋a(5，3)＋…＋a(20，3)=1 330
C
【解析】对于A，a(10，3)=45，A错误；对于B，第100行中第50个数是，又，B错误；对于C，第2 025行中第1 013个数和第1 014个数分别为和，又
1 012＋1 013=2 025，故，C正确；对于D，∵………=1 330，则…=1 330－1=1 329，D错误.
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 下列说法中，正确的有(　 　)
A. 经验回归方程 对应的经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点
B. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
C. 设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ≥1)=p，则P(－1＜ξ＜0)=－p
D. 若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变
【解析】经验回归直线可以不经过样本数据点中的任何一个点，A错误；根据残差的定义可知，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，预测值与实际值越接近，其模型的拟合效果越好，B正确；随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，则P(ξ≤－1)=P(ξ≥1)=p，则P(－1＜ξ＜1)=1－2p，故P(－1＜ξ＜0)=－p，C正确；由方差性质知，若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，数据的离散程度不变，则样本的方差不变，D正确.
BCD
10. (2025·山东模拟预测)已知三个正态密度函数fi(x)=(x∈R，i=1，2，3)的图象如图所示，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. μ1＞μ2=μ3
B. σ1=σ2＞σ3
C. 若X~N(1，)，P(X＜2)=0.7，则P(X＞0)=0.7
D. 若Z~N(μ1，)，X~N(μ2，)，Y~N(μ3，)，则存在实数x0，使得P(Z＜x0)＞P(X＜x0)＞P(Y＜x0)
【解析】根据正态曲线关于直线x=μ对称，且μ越大曲线越靠右，则μ1＜μ2=μ3，A错误；又σ越小，数据越集中，正态曲线越瘦高，则σ1＜σ2＜σ3，B错误；X~N(1，)，P(X＜2)=0.7，则P(X＞2)=1－0.7=0.3，P(1＜X＜2)=0.5－0.3=0.2，∴P(X＞0)=P(0＜X＜1)＋P(X≥1)=P(1＜X＜2)＋P(X≥1)=0.2＋0.5=0.7，C正确；由三个正态密度函数的图象可知，存在实数x0＞μ3，使得P(Z＜x0)＞P(X＜x0)＞P(Y＜x0)，D正确.
CD
11. 已知的展开式中各项系数的和为1，则下列结论中，正确的有(　 )
A. a=1
B. 展开式中二项式系数之和为256
C. 展开式中常数项为－560
D. 展开式系数的绝对值的和为37
【解析】令二项式中的x为1，得到展开式的各项系数和为(2－a)7，∴(2－a)7=1，则a=1，A正确；展开式中二项式系数之和为27=128，B错误；展开式的通项为Tr＋1=(－1)r27－rx7－2r，令7－2r=0，得r= N，故展开式中无常数项，C错误；展开式系数的绝对值的和为的展开式各项系数之和，令x=1得(2＋1)7=37，D正确.
AD
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)=0.8，则P(0＜ξ＜2)=_____.
【解析】正态分布均值为μ=2，P(2＜X＜4)=0.8－0.5=0.3，故P(0＜X＜2)=0.3.
　0.3
13. 若(3－x)5=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|=______.
【解析】在(3－x)5=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5中，a1，a3，a5均为负数，a0，a2，a4均为正数，令x=－1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|=a0－a1＋a2－a3＋a4－a5=45=1 024.
1 024　
14. (2025·山东泰安模拟)若随机变量X，Y相互独立，且X~N(4，4)，Y~B，则P(X≤4，Y≤3)=________.
【解析】由题意可得，P(X≤4)=，P(Y≤3)=P(Y=0)＋P(Y=1)＋P(Y=2)＋P(Y=3)==()，∵随机变量X，Y相互独立，∴P(X≤4，Y≤3)=P(X≤4)P(Y≤3)=.
　
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)在某大学自主招生的面试中，考生要从规定的6道科学题，4道人文题，一共10道题中，随机抽取3道作答，每道题答对得10分，答错或不答扣5分.已知甲、乙两名考生参加面试，甲只能答对其中的6道科学题，乙答对每道题的概率都是，每个人答题正确与否互不影响.
(1)求考生甲得分X的分布列和数学期望E(X)；
(2)求甲、乙两人中至少有一人得分不少于15分的概率.
解：(1)设学生甲得分X的所有取值为－15，0，15，30，
P(X=－15)=，P(X=0)=，P(X=15)=，P(X=30)=.
∴甲得分的分布列为
X －15 0 15 30
P
E(X)=×(－15)×0×15×30=12.
(2)记事件A：“甲得分不少于15分”，记事件B：“乙得分不少于15分”.
P(A)=P(X=15)＋P(X=30)=，P(B)=.
∴甲、乙两人中至少有一人得分大于或等于15分的概率为P=1－P(·)=1－[1－P(A)][1－P(B)]=1－.
16. (15分)(2025·山东聊城二模)某个周末，四位同学约好一起参加体验活动，有甲、乙两个体验项目可供选择，每人必须参加且只能参加一个项目.四人约定每人通过掷一次质地均匀的骰子来决定自己参加哪个体验项目，若掷出的点数小于3，就体验甲项目，否则体验乙项目.
(1)求这四人中恰有两人参加甲项目的概率；
(2)用X，Y分别表示四人中参加甲、乙项目的人数，记ξ=|X－Y|，求随机变量ξ的分布列及期望.
解：(1)依题意知，四人中每个人参加甲项目的概率为，参加乙项目的概率为，设“四人中恰有k个人去参加甲项目”为事件Ak(k=0，1，2，3，4).则P(Ak)=··，故这四人中恰有两人去参加甲项目的概率为P(A2)=··.
(2)当X=0，Y=4或X=4，Y=0时，ξ=|X－Y|=4，当X=1，Y=3或X=3，Y=1时，ξ=|X－Y|=2，X=2，Y=2时，ξ=|X－Y|=0，故ξ的所有可能取值为0，2，4.由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(ξ=0)=P(A2)=，
P(ξ=2)=P(A1)＋P(A3)=，P(ξ=4)=P(A0)＋P(A4)=.
∴ξ的分布列为
∴E(ξ)=0×2×4×.
ξ 0 2 4
P
17. (15分)甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分(单位：分)情况统计如下：
(1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
(2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X表示乙得分大于丙得分的场数，求X的分布列和数学期望E(X)；
(3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设Y1为甲获胜的场数，Y2为乙获胜的场数，Y3为丙获胜的场数，写出方差D(Y1)，D(Y2)，D(Y3)的大小关系.
场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13
乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10
丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11
解：(1)根据表中数据，在10场比赛中，甲获胜的是第3场，第8场，第10场，共有3场，所以从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率P1=.
(2)根据表中数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，共有6场，其中乙得分大于丙得分的场次是第2场，第5场，第8场，第9场，共有4场，则X可取0，1，2，P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，
所以X的分布列为
数学期望E(X)=0×1×2×.
X 0 1 2
P
(3)10场比赛中，甲胜3场，乙胜5场，丙胜2场，获胜频率分别为，由题意Y1~B，Y2~B，Y3~B，∴D(Y1)=6×=1.26，D(Y2)=6×=1.5，D(Y3)=6×=0.96，∴D(Y2)＞D(Y1)＞D(Y3).
18. (17分)文旅部门统计了某景点在2025年3月至7月的旅游收入y(单位：万元)，得到以下数据：
(1)根据表中所给数据，用相关系数r加以判断，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若可以，求出y关于x的经验回归方程；若不可以，请说明理由(当|r|∈[0.75，1]时，可以认为两个变量有很强的线性相关性，可用线性回归模型拟合).
(2)为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，并依据α=0.001的独立性检验，判断是否能认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”.　
月份x 3 4 5 6 7
旅游收入y 10 12 11 12 20
参考公式：相关系数r=，经验回归方程：x，其中，χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
参考数据：≈3.162.
临界值表：
性别 总计
喜欢
男 100
女
总计 110
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解：(1)由已知得=5，=13，=10，=64，(xi－)(yi－)=20，
∴r=≈0.791，∵|r|≈0.791∈[0.75，1]，∴y与x的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合y与x的关系，∴=2，=13－2×5=3，故y关于x的经验回归方程为=2x＋3.
(2)列联表如下所示：
零假设为H0：游客是否喜欢该景点与性别无关联，根据列联表中数据，χ2=≈18.182＞10.828=x0.001，依据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为游客是否喜欢该景点与性别有关联.
性别 景点 总计
喜欢 不喜欢
男 70 30 100
女 40 60 100
总计 110 90 200
19. (17分)近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升.
(1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P1=，P2=，P3=.
(i)求该款芯片生产进入第四道工序前的次品率p0；
(ii)第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线，由工人进行人工抽样检验.设A表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较P(A|B)与P(A|)的大小；
(2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布N(5.40，0.052)，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标ξ位于区间(5.25，5.45).若m=24，将使得P(m=24)最大的M值M0作为M的估计值，试求M0的值.
参考数据：P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解：(1)(i)在进入第四道工序前，该款芯片的次品率为P0=1－[(1－P1)(1－P2)(1－P3)]=1－.
(ii)由题意P(B|A)＞P(B)，∴P(A)·P(B|A)＞P(A)·P(B)，∴P(AB)＞P(A)·P(B)，∵P(AB)＋P(A)=P(A)P(B|A)＋P(A)P(|A)=P(A)，∴P(AB)＞[P(AB)＋P(A)]·P(B)，即P(AB)－P(AB)·P(B)＞P(B)·P(A)，∴，即，∴P(A|B)＞P(A|).
(2)由已知得P(5.25＜ξ＜5.45)=P(5.40－0.15＜ξ＜5.40＋0.05)=P(μ－3σ＜X＜μ＋σ)，
∵P(μ－3σ＜X＜μ＋σ)=≈=0.84，∴m服从二项分布B(M，0.84)，P(m=24)=·0.8424·0.16M－24，设f(x)=·0.8424·0.16x－24，由
得
即解得≤x≤，由x∈N*得x=28，∴M的估计值M0为28.综合核心素养测评卷(一)
满分150分　限时120分钟　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 鱼缸里有8条热带鱼和2条冷水鱼，为避免热带鱼咬死冷水鱼，现在把鱼缸出孔打开，让鱼随机游出，每次只能游出1条，直至2条冷水鱼全部游出就关闭出孔，若恰好第3条鱼游出后就关闭了出孔，则不同游出方案的种数为(　A　)
A. 32 B. 36
C. 40 D. 48
【解析】根据恰好第3条鱼游出后就关闭了出孔，则说明其中有一条游出的一定是热带鱼，还有一条冷水鱼，则不同游出方案的种数为=32.
2. 在中国传统历法中，一年有24个节气，“立春”居首.2022年北京冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧. 墩墩同学要从24个节气中随机选取4个介绍给外国的朋友，则这4个节气中含有“立春”的概率为(　B　)
A. B.
C. D.
【解析】从24个节气中选择4个节气，共有种情况，这四个节气中含有“立春”的情况有种情况，故这4个节气中含有“立春”的概率为.
3. 已知(2x－1)3－(x＋2)4=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　A　)
A. －54 B. －52 C. －50 D. －48
【解析】(2x－1)3－(x＋2)4=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x=1，得(2－1)3－(1＋2)4=a0＋a1＋a2＋a3＋a4=－80；令x=－1，得(－2－1)3－(－1＋2)4=a0－a1＋a2－a3＋a4=－28；由两式相加得2(a0＋a2＋a4)=－108，∴a0＋a2＋a4=－54.
4. 在的展开式中，含x3项的系数为(　B　)
A. －60 B. －12
C. 12 D. 60
【解析】的展开式通项为Tr＋1=·x6－r··(－2)r·x6－3r，令6－3r=3，得r=1，可得含x3项的系数为×(－2)=－12.
5. 已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi，P(ξi=0)=1—pi，i=1，2.若0＜p1＜p2＜，则下列说法中，正确的是(　A　)
A. E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) B. E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)
C. E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) D. E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)
【解析】∵E(ξ1)=p1，E(ξ2)=p2，∴E(ξ1)＜E(ξ2)，∵D(ξ1)=p1(1－p1)，D(ξ2)=p2(1－p2)，∴D(ξ1)－D(ξ2)=(p1－p2)(1－p1－p2)＜0.
6. 从一批含有13件正品、2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)等于(　C　)
A. 2 B. 1
C. 3 D. 4
【解析】ξ的可能取值为0，1，2.P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，P(ξ=2)=，∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
于是E(ξ)=0×1×2×，故E(5ξ＋1)=5E(ξ)＋1=5×1=3.
7. 在的展开式中，含x5y2项的系数为(　A　)
A. －480 B. 480
C. －240 D. 240
【解析】看成是6个(x2－2x＋y)相乘，要得到x5y2.分以下情况：6个因式中，2个因式取y，1个因式取x2，3个因式取－2x，此时x5y2的系数·(－2)3=－480，∴x5y2的系数为－480.
8. (2025·山东泰安模拟)“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用a(i，j)代表第i行，第j个数，i∈N，j=1，…，i＋1，例如a(4，3)=6，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论，正确的是(　C　)
A. a(10，3)=36
B. 在第100行中，a(100，50)最大
C. a(2 025，1 013)=a(2 025，1 014)
D. a(3，3)＋a(4，3)＋a(5，3)＋…＋a(20，3)=1 330
【解析】对于A，a(10，3)=45，A错误；对于B，第100行中第50个数是，又，B错误；对于C，第2 025行中第1 013个数和第1 014个数分别为和，又1 012＋1 013=2 025，故，C正确；对于D，∵………=1 330，则…=1 330－1=1 329，D错误.
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 下列说法中，正确的有(　BCD　)
A. 经验回归方程 =x＋ 对应的经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点
B. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
C. 设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ≥1)=p，则P(－1＜ξ＜0)=－p
D. 若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变
【解析】经验回归直线可以不经过样本数据点中的任何一个点，A错误；根据残差的定义可知，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，预测值与实际值越接近，其模型的拟合效果越好，B正确；随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，则P(ξ≤－1)=P(ξ≥1)=p，则P(－1＜ξ＜1)=1－2p，故P(－1＜ξ＜0)=－p，C正确；由方差性质知，若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，数据的离散程度不变，则样本的方差不变，D正确.
10. (2025·山东模拟预测)已知三个正态密度函数fi(x)=(x∈R，i=1，2，3)的图象如图所示，则下列说法中，正确的有(　CD　)
A. μ1＞μ2=μ3
B. σ1=σ2＞σ3
C. 若X~N(1，)，P(X＜2)=0.7，则P(X＞0)=0.7
D. 若Z~N(μ1，)，X~N(μ2，)，Y~N(μ3，)，则存在实数x0，使得P(Z＜x0)＞P(X＜x0)＞P(Y＜x0)
【解析】根据正态曲线关于直线x=μ对称，且μ越大曲线越靠右，则μ1＜μ2=μ3，A错误；又σ越小，数据越集中，正态曲线越瘦高，则σ1＜σ2＜σ3，B错误；X~N(1，)，P(X＜2)=0.7，则P(X＞2)=1－0.7=0.3，P(1＜X＜2)=0.5－0.3=0.2，∴P(X＞0)=P(0＜X＜1)＋P(X≥1)=P(1＜X＜2)＋P(X≥1)=0.2＋0.5=0.7，C正确；由三个正态密度函数的图象可知，存在实数x0＞μ3，使得P(Z＜x0)＞P(X＜x0)＞P(Y＜x0)，D正确.
11. 已知的展开式中各项系数的和为1，则下列结论中，正确的有(　AD　)
A. a=1
B. 展开式中二项式系数之和为256
C. 展开式中常数项为－560
D. 展开式系数的绝对值的和为37
【解析】令二项式中的x为1，得到展开式的各项系数和为(2－a)7，∴(2－a)7=1，则a=1，A正确；展开式中二项式系数之和为27=128，B错误；展开式的通项为Tr＋1=(－1)r27－rx7－2r，令7－2r=0，得r= N，故展开式中无常数项，C错误；展开式系数的绝对值的和为的展开式各项系数之和，令x=1得(2＋1)7=37，D正确.
[选择题答题区]
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B A B A C A C BCD CD AD
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)=0.8，则P(0＜ξ＜2)=　0.3　.
【解析】正态分布均值为μ=2，P(2＜X＜4)=0.8－0.5=0.3，故P(0＜X＜2)=0.3.
13. 若(3－x)5=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|=　1 024　.
【解析】在(3－x)5=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5中，a1，a3，a5均为负数，a0，a2，a4均为正数，令x=－1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|=a0－a1＋a2－a3＋a4－a5=45=1 024.
14. (2025·山东泰安模拟)若随机变量X，Y相互独立，且X~N(4，4)，Y~B，则P(X≤4，Y≤3)= 　.
【解析】由题意可得，P(X≤4)=，P(Y≤3)=P(Y=0)＋P(Y=1)＋P(Y=2)＋P(Y=3)==()，∵随机变量X，Y相互独立，∴P(X≤4，Y≤3)=P(X≤4)P(Y≤3)=.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)在某大学自主招生的面试中，考生要从规定的6道科学题，4道人文题，一共10道题中，随机抽取3道作答，每道题答对得10分，答错或不答扣5分.已知甲、乙两名考生参加面试，甲只能答对其中的6道科学题，乙答对每道题的概率都是，每个人答题正确与否互不影响.
(1)求考生甲得分X的分布列和数学期望E(X)；
(2)求甲、乙两人中至少有一人得分不少于15分的概率.
解：(1)设学生甲得分X的所有取值为－15，0，15，30，
P(X=－15)=，P(X=0)=，P(X=15)=，P(X=30)=.
∴甲得分的分布列为
X －15 0 15 30
P
E(X)=×(－15)×0×15×30=12.
(2)记事件A：“甲得分不少于15分”，记事件B：“乙得分不少于15分”.
P(A)=P(X=15)＋P(X=30)=，P(B)=.
∴甲、乙两人中至少有一人得分大于或等于15分的概率为P=1－P(·)=1－[1－P(A)][1－P(B)]=1－.
16. (15分)(2025·山东聊城二模)某个周末，四位同学约好一起参加体验活动，有甲、乙两个体验项目可供选择，每人必须参加且只能参加一个项目.四人约定每人通过掷一次质地均匀的骰子来决定自己参加哪个体验项目，若掷出的点数小于3，就体验甲项目，否则体验乙项目.
(1)求这四人中恰有两人参加甲项目的概率；
(2)用X，Y分别表示四人中参加甲、乙项目的人数，记ξ=|X－Y|，求随机变量ξ的分布列及期望.
解：(1)依题意知，四人中每个人参加甲项目的概率为，参加乙项目的概率为，设“四人中恰有k个人去参加甲项目”为事件Ak(k=0，1，2，3，4).则P(Ak)=··，故这四人中恰有两人去参加甲项目的概率为P(A2)=··.
(2)当X=0，Y=4或X=4，Y=0时，ξ=|X－Y|=4，当X=1，Y=3或X=3，Y=1时，ξ=|X－Y|=2，X=2，Y=2时，ξ=|X－Y|=0，故ξ的所有可能取值为0，2，4.由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(ξ=0)=P(A2)=，
P(ξ=2)=P(A1)＋P(A3)=，P(ξ=4)=P(A0)＋P(A4)=.
∴ξ的分布列为
ξ 0 2 4
P
∴E(ξ)=0×2×4×.
17. (15分)甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分(单位：分)情况统计如下：
场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13
乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10
丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11
(1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
(2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X表示乙得分大于丙得分的场数，求X的分布列和数学期望E(X)；
(3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设Y1为甲获胜的场数，Y2为乙获胜的场数，Y3为丙获胜的场数，写出方差D(Y1)，D(Y2)，D(Y3)的大小关系.
解：(1)根据表中数据，在10场比赛中，甲获胜的是第3场，第8场，第10场，共有3场，所以从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率P1=.
(2)根据表中数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，共有6场，其中乙得分大于丙得分的场次是第2场，第5场，第8场，第9场，共有4场，则X可取0，1，2，P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
数学期望E(X)=0×1×2×.
(3)10场比赛中，甲胜3场，乙胜5场，丙胜2场，获胜频率分别为，由题意Y1~B，Y2~B，Y3~B，∴D(Y1)=6×=1.26，D(Y2)=6×=1.5，D(Y3)=6×=0.96，∴D(Y2)＞D(Y1)＞D(Y3).
18. (17分)文旅部门统计了某景点在2025年3月至7月的旅游收入y(单位：万元)，得到以下数据：
月份x 3 4 5 6 7
旅游收入y 10 12 11 12 20
(1)根据表中所给数据，用相关系数r加以判断，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若可以，求出y关于x的经验回归方程；若不可以，请说明理由(当|r|∈[0.75，1]时，可以认为两个变量有很强的线性相关性，可用线性回归模型拟合).
(2)为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，并依据α=0.001的独立性检验，判断是否能认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”.　
性别 景点 总计
喜欢 不喜欢
男 100
女 60
总计 110
参考公式：相关系数r=，经验回归方程：x，其中，χ2=，其中n=a＋b＋c＋d.
参考数据：≈3.162.
临界值表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解：(1)由已知得=5，=13，=10，=64，(xi－)(yi－)=20，
∴r=≈0.791，∵|r|≈0.791∈[0.75，1]，
∴y与x的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合y与x的关系，∴=2，=13－2×5=3，故y关于x的经验回归方程为=2x＋3.
(2)列联表如下所示：
性别 景点 总计
喜欢 不喜欢
男 70 30 100
女 40 60 100
总计 110 90 200
零假设为H0：游客是否喜欢该景点与性别无关联，根据列联表中数据，χ2=≈18.182＞10.828=x0.001，依据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为游客是否喜欢该景点与性别有关联.
19. (17分)近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升.
(1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P1=，P2=，P3=.
(i)求该款芯片生产进入第四道工序前的次品率p0；
(ii)第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线，由工人进行人工抽样检验.设A表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较P(A|B)与P(A|)的大小；
(2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布N(5.40，0.052)，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标ξ位于区间(5.25，5.45).若m=24，将使得P(m=24)最大的M值M0作为M的估计值，试求M0的值.
参考数据：P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解：(1)(i)在进入第四道工序前，该款芯片的次品率为P0=1－[(1－P1)(1－P2)(1－P3)]=1－.
(ii)由题意P(B|A)＞P(B)，∴P(A)·P(B|A)＞P(A)·P(B)，∴P(AB)＞P(A)·P(B)，∵P(AB)＋P(A)=P(A)P(B|A)＋P(A)P(|A)=P(A)，∴P(AB)＞[P(AB)＋P(A)]·P(B)，即P(AB)－P(AB)·P(B)＞P(B)·P(A)，∴，即，∴P(A|B)＞P(A|).
(2)由已知得P(5.25＜ξ＜5.45)=P(5.40－0.15＜ξ＜5.40＋0.05)=P(μ－3σ＜X＜μ＋σ)，
∵P(μ－3σ＜X＜μ＋σ)=≈=0.84，∴m服从二项分布B(M，0.84)，P(m=24)=·0.8424·0.16M－24，设f(x)=·0.8424·0.16x－24，由
得
即解得≤x≤，由x∈N*得x=28，∴M的估计值M0为28.

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