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第27讲 三角函数的图像与性质 · 分类练习（解析卷）
答案速查表 1
考点一：三角函数的图像与变换 1
考法1：三角函数图像识别与应用 1
考法2：三角函数图像平移变换 3
考法3：三角函数图像平移与伸缩综合变换 3
考法4：三角函数图像折叠与空间几何结合 4
考点二：根据条件确定解析式 5
考法5：结合图像特征求解析式 5
考法6：结合函数性质求解析式 7
考法7：结合向量或几何条件求解析式 8
考点三：三角函数的定义域、值域与最值 9
考法8：利用辅助角公式求值域或最值 9
考法9：结合换元法求值域或最值 10
考法10：三角函数交点与方程有解问题 10
考点四：三角函数的周期性 11
考法11：利用公式求三角函数周期 11
考法12：结合零点或最值点距离求周期 11
考法13：由周期求参数及函数值 11
考点五：三角函数的奇偶性与对称性 12
考法14：判断三角函数的奇偶性及求参数 12
考法15：求三角函数的对称轴或对称中心 13
考法16：利用对称性求参数或函数值之和 13
考点六：三角函数的单调性 14
考法17：求三角函数的单调区间 14
考法18：结合单调性求参数或解不等式 14
考点七：三角函数性质的综合与应用 15
考法19：三角函数图像与性质综合判断 15
考法20：三角函数交点与零点问题 15
考法21：三角函数实际应用模型 16
答案速查表
1 2 3 4 5
B ABC D A AC
6 7 8 9 10
BD （1） （2） A （1）， （2）
11 12 13 14 15
ACD （1） （2） ；
16 17 18 19 20
D C A 或 D
21 22 23 24 25
（1） （2） BD A A
26 27 28 29 30
B AC B
31 32
（1） （2） （3） B
考点一：三角函数的图像与变换
考法1：三角函数图像识别与应用
1.（2026·河北沧州十二校·一模）如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，则得，即，所以.设，因为，所以，解得.因此，可得，结合图象可得，解得.
【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，结合向量相等的坐标表示，利用三角恒等变换求解是关键.
2.（2025·江西优创名校·4月联考）（多选）已知函数的部分图象可能为
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】对于选项A，由图可知，的最小值为0，则，由，得，经检验，当时，的部分图象可以如选项A所示.对于选项D，由，得，即，则，此时，排除D.对于选项C，由，得，，即，当时，的部分图象可以如选项C所示.对于选项B，当时，，的部分图象可以如选项B所示.
【点拨】本题考查三角函数的图象，需根据图象特征反推参数的值进行验证.
考法2：三角函数图像平移变换
3.（2026·湖北圆创联盟·2月联考）若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则的值是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】平移后的图象对应的函数为.因为是奇函数，所以.即.又，所以.
【点拨】本题考查三角函数图象的平移变换及奇偶性，熟练掌握平移法则“左加右减”是解题关键.
考法3：三角函数图像平移与伸缩综合变换
4.（2026·山东济宁·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若图象的一个对称中心为，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为图象的一个对称中心为，故图象的对称中心为，故，故，而，故.
【点拨】本题考查三角函数图象的平移变换及对称性，利用整体代入法求参数是解题的关键.
5.（2026·江苏镇江·零模）（多选）将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，则
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 的图象关于直线对称
D. 的图象关于点中心对称
【答案】AC
【解析】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数.对于A，的最小正周期为，A对.对于B，在单调递增，在单调递减，B错.对于C，令，则，时，，是一条对称轴，C对.对于D，对称中心纵坐标为2，D错.
【点拨】本题考查三角函数图象的平移变换及三角函数的性质，熟练掌握图象变换法则及正弦函数的性质是解题关键.
考法4：三角函数图像折叠与空间几何结合
6.（2025·江西十校协作体·二模）如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时，之间的距离为，则＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】由题意，函数的最小正周期，则两点横坐标之差的绝对值为.设在轴上的投影分别为，则，.将纸片沿轴折成夹角为的钝二面角，则.在空间中，，所以.因为，所以，解得.由图可知，即，解得.由图可知函数在处单调递增，所以，故.
【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，结合空间向量求距离是解题的关键，考查了空间想象能力和运算求解能力.
考点二：根据条件确定解析式
考法5：结合图像特征求解析式
7.（2026·广东茂名·一模）（多选）函数的部分图象如图所示，则
A. 为的周期
B. 是图象的对称中心
C. 当时，的值域是
D. 的单调递增区间是
【答案】BD
【解析】由图象可知，，所以，，A错误；由，得，即，又，所以，所以.令，得，当时，，所以是图象的对称中心，B正确；当时，，所以，所以的值域是，C错误；令，得，所以的单调递增区间是，D正确.故选BD.
【点拨】本题考查由部分图象求三角函数解析式及三角函数的性质，根据图象求出周期和初相是解题的关键.
8.（2026·山东青岛·一模）函数（，，）的部分图像如图所示.
（1）当时，求的单调递增区间；
（2）已知，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）由图可得，，所以，且得，又因为，所以，所以.又因为，解得，所以在上的单调递增区间为.
（2）因为，所以，因为，所以，即，所以.所以.
【点拨】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，以及三角函数的单调区间和三角恒等变换，属于基础题.
9.（2026·江西南昌·一模）已知函数部分图象如图所示，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由图可知，函数图象在处取得最大值，在处取得零点且处于上升阶段，所以，解得.因为，所以.又函数图象过点，所以，解得.因为，所以.所以，则.
【点拨】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，根据图象特征求出周期和初相是解题的关键.
考法6：结合函数性质求解析式
10.（2026·广东佛山·二模）已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C、D为图象与x轴的交点，且为等腰直角三角形.
（1）求的解析式，及为偶函数时的最小正实数m；
（2）求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】（1）因为，由为等腰直角三角形知，，所以，得.因为为偶函数，所以，得，所以最小正实数为.
（2）令，则，即，取：，所以.令，且在左侧，则，解得：，故，且在右侧，周期，所以，即.所以，所以.
【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，利用三角恒等变换化简解析式，结合等腰直角三角形的性质求出周期是解题的关键.
考法7：结合向量或几何条件求解析式
11.（2025·福建厦门·三模）（多选）将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若的图像与的图像关于轴对称，则下列说法正确的有
A.
B.
C. 的对称轴过的对称中心
D. ，唯一的，使得
【答案】ACD
【解析】，，的图像与的图像关于轴对称，，即，，即，，，A对，B错.，，令，得，即的对称中心为，令，得，即的对称轴为，的对称轴过的对称中心，C对.当时，，，当时，，，且在上单调递增，，唯一的，使得，D对.
【点拨】本题考查三角函数图象的平移变换、对称性及单调性，需熟练掌握图象变换法则及三角函数的性质.
12.（2025·河北张家口·二模）已知函数，圆.
（1）若两条相邻的对称轴与相切，求；
（2）若，是的极值点，且点有且仅有两个在的内部，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）圆的圆心为，半径相邻对称轴的距离为.因为两条相邻对称轴与圆相切，所以这两条对称轴之间的距离等于圆的直径，即，所以.又因为对称轴与圆相切，圆心在，半径为，所以两条切线方程为和.所以和是的对称轴.所以，即.因为，当时，.此时，其对称轴为，相邻对称轴包含和，符合题意.所以.
（2）若，则.其极值点满足，即.点在圆的内部，即，解得.所以满足的整数有且仅有两个.因为，所以.因为区间的长度为，且包含这个整数.要使该区间内有且仅有两个整数，这两个整数只能是和.所以必须满足且.解得且，即.同时，由于区间是开区间，不能在区间内，所以，即；必须在区间内，所以，即；不能在区间内，所以，即.综合得.
【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，结合圆的切线和内部点的条件求参数是解题的关键.
考点三：三角函数的定义域、值域与最值
考法8：利用辅助角公式求值域或最值
13.（2026·八省T8联考·4月联测）在区间上的值域为__．
【答案】
【解析】，其中.因为，所以.因为，所以.当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值.所以在区间上的值域为.
【点拨】本题考查利用辅助角公式求三角函数的值域，注意自变量的取值范围是解题的关键.
14.（2026·浙江温州·一模）函数在上的最大值为____．
【答案】
【解析】因为，所以，所以，所以，函数的最大值为.
【点拨】本题考查三角函数在给定区间上的最值，根据自变量的范围求出整体角的范围是解题的关键.
考法9：结合换元法求值域或最值
15.（2025·江西九师联盟·5月检测）若函数在上的值域是，则的取值范围为__；的取值范围为__．
【答案】；
【解析】当时，，在上单调递增，且，故；当时，，在上单调递减，在上单调递增，且，所以.此时，.
【点拨】本题考查三角函数的值域及三角恒等变换，利用分段函数和换元法求出的范围是解题的关键.
考法10：三角函数交点与方程有解问题
16.（2024·广东华南师大附中·三模）函数和函数的图象相交于、两点，为坐标原点，则的面积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，得，即，化简得，即，解得或（舍去）.因为，所以或.当时，，即点；当时，，即点.所以的面积.
【点拨】本题考查三角函数图象的交点问题，通过解三角方程求出交点坐标，再利用三角形面积公式求解是关键.
考点四：三角函数的周期性
考法11：利用公式求三角函数周期
17.（2026·安徽华师联盟·4月质检）函数的最小正周期是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以函数的最小正周期.
【点拨】本题考查三角函数的周期，利用降幂公式化简解析式是解题的关键.
考法12：结合零点或最值点距离求周期
18.（2026·广东湛江·高考测试）若是函数的两个相邻的零点，则
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】由题意得，故，因为，所以.
【点拨】本题考查三角函数的周期性，相邻两个零点之间的距离为半个周期.
19.（2026·湖南九校联盟·一模）已知函数的两个相邻零点间的距离为，则__．
【答案】或
【解析】函数（其中），因为函数的两个相邻零点间的距离为，所以，即，所以，解得或.当时，，则；当时，，则.
【点拨】本题考查三角函数的周期性及求值，注意的正负是解题的易错点.
考法13：由周期求参数及函数值
20.（2025·山东名校联盟·二模）已知函数在处取得最大值，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设，则，，又，则.
【点拨】本题考查三角函数的最值，根据最值点求参数是解题的关键.
21.（2026·浙江金丽衢十二校·二模）已知函数在区间单调，其中为正整数，，且图象关于点对称．
（1）求的最小正周期；
（2）在中，，，边上的中线长为，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）由题意，的最小正周期，所以，由为正整数可得，又因为图象关于点对称，所以，即.由，若，，无解；若，，；若，，无解.所以，，的最小正周期为.
（2）由可得，又，，从而，故.设边上的中线为，，则，，，，解得.所以的面积.
【点拨】本题考查三角函数的图象与性质以及解三角形，利用向量法求中线长是解题的关键.
考点五：三角函数的奇偶性与对称性
考法14：判断三角函数的奇偶性及求参数
22.（2026·河南郑州·二模）（多选）已知函数，函数，则
A. 当时，
B. 和的奇偶性相同
C. 和的周期相同
D. 和的最值相同
【答案】BD
【解析】，因此，是偶函数，同理可判断也为偶函数，对于A，时，，，所以此时，又因为、均为偶函数，所以时，，故A错误；对于B，由前述分析可知、均为偶函数，故B正确；对于C，由于的图象如下所示，易知其为非周期函数，又为周期性函数，周期为，故为非周期函数，而，由于、为周期函数，所以为周期函数，因此两者周期性不同，故C错误；对于D，，当且仅当且时成立，例如即可取到最大值2，当且仅当且或且时成立，例如即可取到最小值0，，当且仅当且时成立，例如即可取到最大值2，当且仅当且或且时成立，例如即可取到最小值0，故D正确.
【点拨】本题考查三角函数的奇偶性、周期性及最值，结合函数图象分析是解题的关键.
考法15：求三角函数的对称轴或对称中心
23.（2026·广东深圳·一模）函数的最小正周期为，其图象的对称中心可以为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于，则，，令，解得，当时，，所以对称中心可以为.
【点拨】本题考查三角函数的周期及对称中心，熟练掌握正弦函数的性质是解题的关键.
24.（2025·河北保定·二模）若函数的最小正周期为，且的图象关于点对称，则__．
【答案】
【解析】，由，得，则，即.
【点拨】本题考查正切函数的周期及对称中心，熟练掌握正切函数的性质是解题的关键.
考法16：利用对称性求参数或函数值之和
25.（2026·浙江宁波十校·二模）若关于的方程在上恰有3个根，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图作出的函数图象，其中，是函数的对称轴，当与的有三个交点时，有，，所以，，所以.
【点拨】本题考查三角函数的对称性，作出图象，寻求交点间的对称性，得到等式求解即可.
考点六：三角函数的单调性
考法17：求三角函数的单调区间
26.（2026·河北石家庄·二模）若函数在区间上单调递减，则实数为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，其中.因为，所以.因为在区间上单调递减，且该区间长度为，恰好等于函数的半个周期，所以.所以，解得.所以.
【点拨】本题考查三角函数的单调性，利用辅助角公式化简解析式，结合单调区间长度恰好为半个周期是解题的关键.
27.（2026·山东菏泽·二模）已知函数，，则函数的单调递增区间是__．
【答案】
【解析】因为，函数的单调递增，即，解得，又因为，当时，函数的单调递增区间.
【点拨】本题考查三角函数的单调区间，利用辅助角公式化简解析式，结合定义域求得结果.
考法18：结合单调性求参数或解不等式
28.（2025·河北衡水中学·综合素质评价）在平面直角坐标系中，一动点从点开始，以的角速度逆时针绕坐标原点做匀速圆周运动，后到达点的位置.设，记，则的单调递增区间为_______
【答案】
【解析】依题意，后，动点走过的弧度数为，则，又，则，的单调递增区间，即的递减区间，则，即，所以的单调递增区间为.
【点拨】本题考查三角函数的实际应用，利用三角函数的定义求出点的坐标，求出并利用差角的余弦化简，再求的单调递增区间即可.
考点七：三角函数性质的综合与应用
考法19：三角函数图像与性质综合判断
29.（2026·江西萍乡·二模）（多选）函数，则下列说法正确的是
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称
D. 在区间上单调递减
【答案】AC
【解析】对于A，函数的最小正周期，故A正确；对于B，令，解得，所以的图象不关于直线对称，故B错误；对于C，令，解得，当时，，所以的图象关于点对称，故C正确；对于D，令，解得，所以在区间上单调递增，故D错误.
【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的周期性、对称性及单调性是解题的关键.
考法20：三角函数交点与零点问题
30.（2026·山东菏泽·二模）已知，曲线与曲线相邻的四个交点构成一个菱形，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】两曲线交点满足，解得，即.对应的纵坐标为.相邻的四个交点为，，，.这四个点构成的四边形只能是，其对角线为和的中点为，的中点为，中点重合，故四边形为平行四边形.要使其为菱形，只需对角线互相垂直，即，，所以，解得.
【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，求出交点坐标并利用菱形的性质是解题的关键.
31.（2026·河南华大新高考联盟·5月联考）已知函数，将函数的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且．
（1）求的值；
（2）求函数图象的对称中心；
（3）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）由，得，解得或，即或.因为，所以正零点从小到大排列时，，由，得.
（2）由（1）知，令，解得，所以函数图象的对称中心为.
（3）由（1）知的零点为或，所以.所以，所以.
【点拨】本题考查三角函数的零点与对称中心，结合等差数列求和是解题的关键.
考法21：三角函数实际应用模型
32.（2026·安徽皖南八校·4月检测）如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系．设时针长为，若某时刻时针指向点到点之间，且针尖所在点的纵坐标为，则在经过小时后，时针针尖所在点的横坐标为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知，针尖所在点初始位置在第二象限内，设为点，且在单位圆上，如图所示，点的纵坐标为，设轴，垂足为，单位圆交轴正半轴于点，设经过小时后，时针针尖所在点的坐标为，则，在直角三角形中，，因为，所以，又因为，所以点在第一象限内，设，则点坐标为，设点，由，解得或舍去，设，则，所以.
【点拨】本题考查三角函数的实际应用，利用三角函数的定义求出点的坐标，求出并利用差角的余弦化简是解题的关键.
第 2 页，共 17 页第27讲 三角函数的图像与性质 · 分类练习
考点一：三角函数的图像与变换 1
考法1：三角函数图像识别与应用 1
考法2：三角函数图像平移变换 1
考法3：三角函数图像平移与伸缩综合变换 2
考法4：三角函数图像折叠与空间几何结合 2
考点二：根据条件确定解析式 2
考法5：结合图像特征求解析式 2
考法6：结合函数性质求解析式 4
考法7：结合向量或几何条件求解析式 4
考点三：三角函数的定义域、值域与最值 5
考法8：利用辅助角公式求值域或最值 5
考法9：结合换元法求值域或最值 5
考法10：三角函数交点与方程有解问题 5
考点四：三角函数的周期性 5
考法11：利用公式求三角函数周期 5
考法12：结合零点或最值点距离求周期 5
考法13：由周期求参数及函数值 6
考点五：三角函数的奇偶性与对称性 6
考法14：判断三角函数的奇偶性及求参数 6
考法15：求三角函数的对称轴或对称中心 7
考法16：利用对称性求参数或函数值之和 7
考点六：三角函数的单调性 7
考法17：求三角函数的单调区间 7
考法18：结合单调性求参数或解不等式 7
考点七：三角函数性质的综合与应用 7
考法19：三角函数图像与性质综合判断 7
考法20：三角函数交点与零点问题 8
考法21：三角函数实际应用模型 8
考点一：三角函数的图像与变换
考法1：三角函数图像识别与应用
1.（2026·河北沧州十二校·一模）如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ 　　）
A. B. C. D.
2.（2025·江西优创名校·4月联考）（多选）已知函数的部分图象可能为（ 　　）
A. B.
C. D.
考法2：三角函数图像平移变换
3.（2026·湖北圆创联盟·2月联考）若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则的值是（ 　　）
A. B. C. D.
4.（2026·山东济宁·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若图象的一个对称中心为，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
考法3：三角函数图像平移与伸缩综合变换
5.（2026·江苏镇江·零模）（多选）将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，则（ 　　）
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 的图象关于直线对称
D. 的图象关于点中心对称
考法4：三角函数图像折叠与空间几何结合
6.（2025·江西十校协作体·二模）如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时，之间的距离为，则＿＿＿＿＿＿．
考点二：根据条件确定解析式
考法5：结合图像特征求解析式
7.（2026·广东茂名·一模）（多选）函数的部分图象如图所示，则（ 　　）
A. 为的周期
B. 是图象的对称中心
C. 当时，的值域是
D. 的单调递增区间是
8.（2026·山东青岛·一模）函数（，，）的部分图像如图所示.
（1）当时，求的单调递增区间；
（2）已知，且，求的值.
9.（2026·江西南昌·一模）已知函数部分图象如图所示，则（ 　　）
A. B. C. D.
10.（2026·广东佛山·二模）已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C、D为图象与x轴的交点，且为等腰直角三角形.
（1）求的解析式，及为偶函数时的最小正实数m；
（2）求的值.
考法6：结合函数性质求解析式
11.（2025·福建厦门·三模）（多选）将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若的图像与的图像关于轴对称，则下列说法正确的有（ 　　）
A.
B.
C. 的对称轴过的对称中心
D. ，唯一的，使得
考法7：结合向量或几何条件求解析式
12.（2025·河北张家口·二模）已知函数，圆.
（1）若两条相邻的对称轴与相切，求；
（2）若，是的极值点，且点有且仅有两个在的内部，求的取值范围.
考点三：三角函数的定义域、值域与最值
考法8：利用辅助角公式求值域或最值
13.（2026·八省T8联考·4月联测）在区间上的值域为＿＿＿＿＿＿．
14.（2026·浙江温州·一模）函数在上的最大值为＿＿＿＿＿＿．
考法9：结合换元法求值域或最值
15.（2025·江西九师联盟·5月检测）若函数在上的值域是，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿；的取值范围为＿＿＿＿＿＿．
考法10：三角函数交点与方程有解问题
16.（2024·广东华南师大附中·三模）函数和函数的图象相交于、两点，为坐标原点，则的面积为（ 　　）
A. B. C. D.
考点四：三角函数的周期性
考法11：利用公式求三角函数周期
17.（2026·安徽华师联盟·4月质检）函数的最小正周期是（ 　　）
A. B. C. D.
考法12：结合零点或最值点距离求周期
18.（2026·广东湛江·高考测试）若是函数的两个相邻的零点，则（ 　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
19.（2026·湖南九校联盟·一模）已知函数的两个相邻零点间的距离为，则＿＿＿＿＿＿．
考法13：由周期求参数及函数值
20.（2025·山东名校联盟·二模）已知函数在处取得最大值，则（ 　　）
A. B. C. D.
21.（2026·浙江金丽衢十二校·二模）已知函数在区间单调，其中为正整数，，且图象关于点对称．
（1）求的最小正周期；
（2）在中，，，边上的中线长为，求的面积．
考点五：三角函数的奇偶性与对称性
考法14：判断三角函数的奇偶性及求参数
22.（2026·河南郑州·二模）（多选）已知函数，函数，则（ 　　）
A. 当时，
B. 和的奇偶性相同
C. 和的周期相同
D. 和的最值相同
23.（2026·广东深圳·一模）函数的最小正周期为，其图象的对称中心可以为（ 　　）
A. B. C. D.
考法15：求三角函数的对称轴或对称中心
24.（2025·河北保定·二模）若函数的最小正周期为，且的图象关于点对称，则＿＿＿＿＿＿．
考法16：利用对称性求参数或函数值之和
25.（2026·浙江宁波十校·二模）若关于的方程在上恰有3个根，则（ 　　）
A. B. C. D.
考点六：三角函数的单调性
考法17：求三角函数的单调区间
26.（2026·河北石家庄·二模）若函数在区间上单调递减，则实数为（ 　　）
A. B. C. D.
27.（2026·山东菏泽·二模）已知函数，，则函数的单调递增区间是＿＿＿＿＿＿．
考法18：结合单调性求参数或解不等式
28.（2025·河北衡水中学·综合素质评价）在平面直角坐标系中，一动点从点开始，以的角速度逆时针绕坐标原点做匀速圆周运动，后到达点的位置.设，记，则的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿
考点七：三角函数性质的综合与应用
考法19：三角函数图像与性质综合判断
29.（2026·江西萍乡·二模）（多选）函数，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称
D. 在区间上单调递减
考法20：三角函数交点与零点问题
30.（2026·山东菏泽·二模）已知，曲线与曲线相邻的四个交点构成一个菱形，则（ 　　）
A. B. C. D.
31.（2026·河南华大新高考联盟·5月联考）已知函数，将函数的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且．
（1）求的值；
（2）求函数图象的对称中心；
（3）求数列的前项和．
考法21：三角函数实际应用模型
32.（2026·安徽皖南八校·4月检测）如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系．设时针长为，若某时刻时针指向点到点之间，且针尖所在点的纵坐标为，则在经过小时后，时针针尖所在点的横坐标为（ 　　）
A. B. C. D.
第 2 页，共 17 页第27讲 三角函数的图像与性质 · 讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 2
三、典题精讲 5
考点一：三角函数的图像与变换 5
考点二：根据条件确定解析式 9
考点三：三角函数的定义域、值域与最值 12
考点四：三角函数的周期性 14
考点五：三角函数的奇偶性与对称性 15
考点六：三角函数的单调性 18
考点七：三角函数性质的综合与应用 19
四、高考真题 22
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2024 第7题 单选 5分 直接 三角函数图像的交点个数问题
2025 第4题 单选 第19题 解答 22分 直接 正切函数的对称中心；三角函数的单调性、最值与恒成立问题综合
2026 第13题 填空 5分 直接 正弦型函数的奇偶性与单调区间
近三年全国一卷对三角函数的图像与性质考查较为频繁，每年均有直接考察.题型涵盖单选题、填空题和解答题，分值在5分至22分之间波动，既有基础性质的考查，也有作为压轴题的综合应用.
2. 命题角度与特色
（1） 核心考点：重点考查三角函数的图像特征（如交点个数）、基本性质（如对称中心、奇偶性、单调性）以及在特定区间上的最值问题.
（2） 命题趋势：基础题型多以正弦型或正切型函数的性质为主，强调对周期、对称性和单调区间的熟练掌握；解答题则倾向于将三角函数与不等式恒成立、导数等知识结合，综合性强.
（3） 试题特点：数形结合思想贯穿始终.无论是判断图像交点个数，还是处理三角不等式，都需要借助三角函数的图像特征进行直观分析与严密推导.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握正弦、余弦、正切函数的图像与基本性质，能够准确求出复杂三角函数的周期、对称轴、对称中心及单调区间.
（2） 强化数形结合能力，在处理三角函数方程的根、图像交点个数等问题时，养成画草图辅助分析的习惯.
（3） 针对解答题中的三角函数综合问题，需提升代数变形能力，熟练运用三角恒等变换公式，并结合导数工具处理复杂的最值与恒成立问题.
二、知识清单
1. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1） 在正弦函数的图象中，五个关键点是：，，，，.
（2） 在余弦函数的图象中，五个关键点是：，，，，.
2. 正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中）
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间
递减区间 无
对称中心
对称轴方程 无
① 正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是.
② 正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离是.
【易错提醒】 正切函数的图象只有对称中心，没有对称轴.其对称中心不仅包括与轴的交点，还包括渐近线与轴的交点，统一表示为.
3. 与的图像与性质
（1） 最小正周期：.
（2） 定义域与值域：，的定义域为，值域为.
（3） 最值（假设）：
① 对于，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值.
② 对于，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值.
（4） 对称轴与对称中心（假设）：
① 对于，当，即时，的对称轴为；当，即时，的对称中心为.
② 对于，当，即时，的对称轴为；当，即时，的对称中心为.
③ 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置.
（5） 单调性（假设）：
① 对于， 增区间； 减区间.
② 对于， 增区间； 减区间.
【防坑警示】若，在求单调区间时，必须先利用诱导公式将的系数化为正数，即转化为的形式，再结合基本三角函数的单调性进行求解，否则会导致单调区间完全颠倒.
（6） 平移与伸缩：由函数的图像变换为函数的图像的步骤：
① 方法一：先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形.的图像向左平移个单位得到的图像，所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变得到的图像，所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变得到的图像，向上平移3个单位得到.
② 方法二：先周期变换，后相位变换，再振幅变换.的图像所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变得到的图像，向左平移个单位得到的图像，所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变得到的图像，向上平移3个单位得到.
【易错提醒】在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换都是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少.
4. 三角函数的奇偶性与对称性拓展
（1） 若函数为奇函数，则其图象关于原点对称，此时.
（2） 若函数为偶函数，则其图象关于轴对称，此时.
（3） 若函数为奇函数，则其图象关于原点对称，此时.
（4） 若函数为偶函数，则其图象关于轴对称，此时.
【防坑警示】正切型函数只能是奇函数或非奇非偶函数，绝不可能为偶函数.当其为奇函数时，.
5. 三角函数周期的拓展结论
（1） 函数与的最小正周期均为.
（2） 函数的最小正周期为.
（3） 函数不是周期函数，而是周期函数，且最小正周期为（因为）.
（4） 函数与的最小正周期均为.
（5） 函数与的最小正周期均为（可通过降幂公式转化为与得出）.
三、典题精讲
考点一：三角函数的图像与变换
考法1：三角函数图像识别与应用
例1.（2025·江西优创名校·4月联考）（多选）已知函数的部分图象可能为
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【思路】题目给出了含有参数的三角函数解析式，要求判断其可能的图象.切入点在于根据图象的特征（如最值、周期、特殊点的值）来反推参数的值.需要分别假设各个选项的图象成立，提取图象中的关键信息，代入解析式检验是否矛盾.
【解析】对于选项A，由图可知，的最小值为0，则，由，得，经检验，当时，的部分图象可以如选项A所示.对于选项D，由，得，即，则，此时，排除D.对于选项C，由，得，，即，当时，的部分图象可以如选项C所示.对于选项B，当时，，的部分图象可以如选项B所示.
【规律】处理含参三角函数图象识别问题，通常采用“特征点代入法”或“周期最值反推法”.先观察图象的最高点、最低点确定振幅和纵向平移量，再通过相邻零点或极值点的距离确定周期，最后利用图象经过的特殊点求出初相或验证参数.
考法2：三角函数图像平移变换
例2.（2026·湖北十一校·3月二联）（多选）将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若的图像与的图像关于轴对称，则下列说法正确的有
A.
B.
C. 的对称轴过的对称中心
D. ，唯一的，使得
【答案】ACD
【思路】本题涉及三角函数图象的平移与对称性.审题时需注意平移法则“左加右减”，先写出平移后的函数解析式.关键条件是两函数图象关于y轴对称，这意味着它们满足偶函数的对称关系，由此可建立关于初相的方程.
【解析】，，的图像与的图像关于轴对称，所以，即，所以，即，因为，所以，A对，B错.，，令，得，即的对称中心为，令，得，即的对称轴为，所以的对称轴过的对称中心，C对.当时，，，当时，，，且在上单调递增，所以，唯一的，使得，D对.
【规律】解决三角函数图象变换与对称性综合题，核心在于准确写出变换后的解析式.若两函数图象关于y轴对称，则满足；若关于某条垂直于x轴的直线对称，则利用对称轴公式处理.求参数时务必注意题目对参数范围的限制.
考法3：三角函数图像平移与伸缩综合变换
例3.（2026·江苏镇江·零模）（多选）将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，则
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 的图象关于直线对称
D. 的图象关于点中心对称
【答案】AC
【思路】题目要求对余弦函数进行平移和伸缩变换，并判断变换后函数的性质.切入点是严格按照“左加右减、上加下减”的规则写出目标函数的解析式.得到解析式后，再逐一分析其周期、单调性、对称轴和对称中心.
【解析】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数.对于A，的最小正周期为，A对.对于B，在单调递增，在单调递减，B错.对于C，令，则，时，，所以是一条对称轴，C对.对于D，对称中心纵坐标为2，D错.
【规律】图象变换题的易错点在于平移时未提取的系数.判断三角函数性质时，统一化为正弦或余弦的基本形式，利用整体代换法，将内层函数看作一个整体角，代入基本三角函数的性质公式中求解.
考法4：三角函数图像折叠与空间几何结合
例4.（2025·江西十校·二模）如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时，之间的距离为，则＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【思路】本题将三角函数图象与空间几何折叠结合，审题要点在于理解折叠前后线段长度和位置关系的变化.切入点是先在平面图象中利用周期和振幅表示出两点的坐标距离，折叠后利用空间向量的数量积公式，结合二面角的大小求出空间距离，从而解出振幅.
【解析】由题意，函数的最小正周期，则两点横坐标之差的绝对值为.设在轴上的投影分别为，则，.将纸片沿轴折成夹角为的钝二面角，则.在空间中，，所以.因为，所以，解得.由图可知，即，解得.由图可知函数在处单调递增，所以，故.
【规律】折叠问题的核心是“变与不变”，折叠前后在同一个半平面内的几何量（如线段长、平面角）保持不变.引入空间向量处理此类问题，通过向量的加法法则将空间线段转化为已知平面线段的向量和，利用数量积运算可有效避免复杂的空间几何建系.
【考点一 方法总结】
1. 处理含参三角函数图象识别问题，通常采用“特征点代入法”或“周期最值反推法”.先观察图象的最高点、最低点确定振幅和纵向平移量，再通过相邻零点或极值点的距离确定周期，最后利用图象经过的特殊点求出初相或验证参数.
2. 解决三角函数图象变换与对称性综合题，核心在于准确写出变换后的解析式.若两函数图象关于轴对称，则满足；若关于某条垂直于轴的直线对称，则利用对称轴公式处理.
3. 判断三角函数性质时，统一化为正弦或余弦的基本形式，利用整体代换法，将内层函数看作一个整体角，代入基本三角函数的性质公式中求解.
4. 折叠问题的核心是“变与不变”，折叠前后在同一个半平面内的几何量保持不变.引入空间向量处理此类问题，通过向量的加法法则将空间线段转化为已知平面线段的向量和，利用数量积运算可有效避免复杂的空间几何建系.
考点二：根据条件确定解析式
考法5：结合图像特征求解析式
例5.（2026·山东青岛·一模）函数（，，）的部分图像如图所示.
（1）当时，求的单调递增区间；
（2）已知，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【思路】题目给出了三角函数的部分图象，要求求出单调区间和特定函数值.切入点是根据图象的最高点和最低点确定振幅，通过相邻极值点与零点的横坐标之差确定周期，再将特殊点坐标代入求出初相.求值部分需利用诱导公式和两角和差公式.
【解析】（1）由图可得，，所以，且得，又因为，所以，所以.又因为，解得，所以在上的单调递增区间为.
（2）因为，所以，因为，所以，即，所以.所以.
【规律】由图象求解析式“五点法”是最常用的手段.求初相时，优先选择图象上的最值点代入，可避免多解的讨论.在求特定函数值时，若已知某个整体角的三角函数值，常采用“配角法”，将目标角拼凑成已知角的组合.
考法6：结合函数性质求解析式
例6.（2026·广东佛山·二模）已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C、D为图象与x轴的交点，且为等腰直角三角形.
（1）求的解析式，及为偶函数时的最小正实数m；
（2）求的值.
【答案】（1），
（2）
【思路】解析式中含有正余弦的乘积和平方项，首要任务是利用二倍角公式和辅助角公式将其化简为单一的三角函数形式.题目给出了等腰直角三角形的几何条件，这是求周期的关键，利用等腰直角三角形斜边上的高与底边的关系可建立方程.
【解析】（1）因为，由为等腰直角三角形知，，所以，得.因为为偶函数，所以，得，所以最小正实数为.
（2）令，则，即，取：，所以.令，且在左侧，则，解得：，故，且在右侧，周期，所以，即.所以，所以.
【规律】三角函数与平面几何结合的题目，关键在于将几何特征转化为代数条件.例如等腰直角三角形的顶点在极值点、底边在x轴上时，其底边长恰好等于半个周期，且高与底边长存在确定的比例关系.化简解析式是所有后续性质分析的前提.
考法7：结合向量或几何条件求解析式
例7.（2025·河北张家口·二模）已知函数，圆.
（1）若两条相邻的对称轴与相切，求；
（2）若，是的极值点，且点有且仅有两个在的内部，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【思路】题目将三角函数与圆的几何性质结合.第一问的切入点是“相邻对称轴与圆相切”，这意味着相邻对称轴的距离等于圆的直径，从而可求出周期.第二问涉及极值点在圆内的个数，需写出极值点的横坐标表达式，结合圆的方程转化为不等式中整数解的个数问题.
【解析】（1）函数相邻对称轴间的距离为，
由题知的直径为，所以，解得，
的圆心，所以其中一条对称轴为，
代入的对称轴方程，
解得，因为，所以.
（2）若，则的极值点满足，所以，
左顶点的横坐标为，右顶点的横坐标为，
故原题设等价于有且仅有个的值满足，
整理得，故能且仅能取两个值，
所以，解得.
【规律】处理三角函数与圆锥曲线或圆的交点、切线问题，本质是数形结合.将几何相切条件转化为距离关系，将点在图形内部转化为坐标满足的不等式.对于含有参数的整数解个数问题，常利用边界值卡位法确定参数的取值范围.
【考点二 方法总结】
1. 由图象求解析式“五点法”是最常用的手段.求初相时，优先选择图象上的最值点代入，可避免多解的讨论.在求特定函数值时，若已知某个整体角的三角函数值，常采用“配角法”，将目标角拼凑成已知角的组合.
2. 三角函数与平面几何结合的题目，关键在于将几何特征转化为代数条件.例如等腰直角三角形的顶点在极值点、底边在轴上时，其底边长恰好等于半个周期，且高与底边长存在确定的比例关系.
3. 处理三角函数与圆锥曲线或圆的交点、切线问题，本质是数形结合.将几何相切条件转化为距离关系，将点在图形内部转化为坐标满足的不等式.
考点三：三角函数的定义域、值域与最值
考法8：利用辅助角公式求值域或最值
例8.（2026·八省T8联考·4月联测）在区间上的值域为__．
【答案】
【思路】题目要求求出三角函数在闭区间上的值域.解析式是正弦和余弦的线性组合，切入点是利用辅助角公式将其化为单一的正弦函数.审题时需特别注意自变量的取值范围，这决定了整体角的范围，进而影响正弦值的取值边界.
【解析】，其中.因为，所以.因为，所以.当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值.所以在区间上的值域为.
【规律】求形如的值域，标准动作是提取化为.在限定区间上求值域时，必须先求出整体角的范围，再结合正弦函数的图象（特别是波峰和波谷是否在区间内）确定最大值和最小值.
考法9：结合换元法求值域或最值
例9.（2025·江西九师联盟·5月检测）若函数在上的值域是，则的取值范围为__；的取值范围为__．
【答案】；
【思路】函数解析式中含有绝对值，切入点是根据正弦函数的符号进行分类讨论，去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数.题目已知值域反求定义域的端点，需结合分段函数的单调性，画出函数草图，通过数形结合确定参数的边界.
【解析】当时，，在上单调递增，且，故；当时，，在上单调递减，在上单调递增，且，所以.此时，.
【规律】含有绝对值的三角函数问题，去绝对值是第一步.利用分段函数作图，通过水平直线与函数图象的交点来分析值域与定义域的对应关系.求三角恒等式的值时，常利用半角公式和同角三角函数关系进行降幂或化简.
考法10：三角函数交点与方程有解问题
例10.（2024·广东华南师大附中·三模）函数和函数的图象相交于、两点，为坐标原点，则的面积为
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】题目要求求出两个三角函数图象交点构成的三角形面积.切入点是联立两个函数解析式，将正切转化为正弦和余弦的比值，解三角方程求出交点的坐标.得到坐标后，利用三角形面积公式进行计算.
【解析】由，得，即，化简得，即，解得或（舍去）.因为，所以或.当时，，即点；当时，，即点.所以的面积.
【规律】解三角方程时，常利用同角三角函数的基本关系将不同名的三角函数化为同名函数，或者利用因式分解法求解.求坐标系中三角形面积，若有一边在坐标轴上或平行于坐标轴，直接利用底乘高的一半；否则可利用割补法或坐标公式求解.
【考点三 方法总结】
1. 求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为基本类型处理.
2. 求形如的值域，标准动作是提取化为.在限定区间上求值域时，必须先求出整体角的范围，再结合正弦函数的图象确定最大值和最小值.
3. 含有绝对值的三角函数问题，去绝对值是第一步.利用分段函数作图，通过水平直线与函数图象的交点来分析值域与定义域的对应关系.
4. 解三角方程时，常利用同角三角函数的基本关系将不同名的三角函数化为同名函数，或者利用因式分解法求解.
考点四：三角函数的周期性
考法11：利用公式求三角函数周期
例11.（2026·安徽华师联盟·4月质检）函数的最小正周期是
A. B. C. D.
【答案】C
【思路】函数解析式为正余弦的平方差形式，切入点是利用降幂公式将其转化为一次项，再合并同类项.化简为标准的余弦型函数后，直接利用周期公式求解即可.
【解析】因为，所以函数的最小正周期.
【规律】求三角函数的周期，核心在于“降次化一”.遇到平方项或高次项，首选降幂扩角公式；遇到正余弦乘积，首选二倍角正弦公式.最终化为的形式，利用求解.
考法12：结合零点或最值点距离求周期
例12.（2026·湖南九校联盟·一模）已知函数的两个相邻零点间的距离为，则__．
【答案】或
【思路】题目给出了两个相邻零点间的距离，这实际上隐含了函数的周期信息.切入点是先用辅助角公式将函数化简，根据相邻零点距离等于半个周期求出角速度的绝对值.注意角速度可能为负，需要分类讨论代入求值.
【解析】函数（其中），因为函数的两个相邻零点间的距离为，所以，即，所以，解得或.当时，，则；当时，，则.
【规律】三角函数图象中，相邻两个零点、相邻两个极值点之间的水平距离均为半个周期；相邻的零点与极值点之间的水平距离为四分之一个周期.在未明确符号时，由周期求必须加上绝对值，避免漏解.
考法13：由周期求参数及函数值
例13.（2026·湖北孝感·二模）已知函数在区间单调，其中为正整数，，且图象关于点对称．
（1）求的最小正周期；
（2）在中，，，边上的中线长为，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【思路】题目已知函数在某区间单调且关于某点对称，要求周期和解三角形.切入点是利用单调区间长度小于等于半个周期，限制角速度的范围；再利用对称中心处函数值为零，结合初相范围确定参数.第二问则是常规的解三角形，利用向量数量积处理中线长度.
【解析】（1）由题意，的最小正周期，所以，由为正整数可得，又因为图象关于点对称，所以，即.由，若，，无解；若，，；若，，无解.所以，，的最小正周期为.
（2）由可得，又，，从而，故.设边上的中线为，，则，，，，解得.所以的面积.
【规律】由单调区间和对称性求参数，常采用“范围限制+验证”的策略.单调区间的长度提供周期的下界，对称中心或极值点提供参数的等式约束.在解三角形中，遇到中线问题，利用向量加法的平行四边形法则或中线长公式是最高效的处理方式.
【考点四 方法总结】
1. 求三角函数的周期，核心在于“降次化一”.遇到平方项或高次项，首选降幂扩角公式；遇到正余弦乘积，首选二倍角正弦公式.最终化为的形式，利用求解.
2. 三角函数图象中，相邻两个零点、相邻两个极值点之间的水平距离均为半个周期；相邻的零点与极值点之间的水平距离为四分之一个周期.在未明确符号时，由周期求必须加上绝对值，避免漏解.
3. 由单调区间和对称性求参数，常采用“范围限制+验证”的策略.单调区间的长度提供周期的下界，对称中心或极值点提供参数的等式约束.
考点五：三角函数的奇偶性与对称性
考法14：判断三角函数的奇偶性及求参数
例14.（2026·河南郑州·二模）（多选）已知函数，函数，则
A. 当时，
B. 和的奇偶性相同
C. 和的周期相同
D. 和的最值相同
【答案】BD
【思路】题目给出了两个含有绝对值的三角函数，要求判断它们的奇偶性、周期性、大小关系和最值.切入点是利用奇偶性定义进行验证，通过去绝对值化为分段函数来分析大小关系.周期性需结合基本三角函数加绝对值后的图象特征进行判断.
【解析】，因此，是偶函数，同理可判断也为偶函数，对于A，时，，，所以此时，又因为、均为偶函数，所以时，，故A错误；对于B，由前述分析可知、均为偶函数，故B正确；对于C，由于的图象如下所示，易知其为非周期函数，又为周期性函数，周期为，故为非周期函数，而，由于、为周期函数，所以为周期函数，因此两者周期性不同，故C错误；对于D，，当且仅当且时成立，例如即可取到最大值2，当且仅当且或且时成立，例如即可取到最小值0，，当且仅当且时成立，例如即可取到最大值2，当且仅当且或且时成立，例如即可取到最小值0，故D正确.
【规律】判断复杂三角函数的奇偶性，严格按照定义与的关系推导.含有的三角函数通常是偶函数，但不一定是周期函数（如在原点处图象发生折折，破坏了整体周期性）.比较大小和求最值时，结合特殊值代入和图象草图更为直观.
考法15：求三角函数的对称轴或对称中心
例15.（2026·广东深圳·一模）函数的最小正周期为，其图象的对称中心可以为
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】题目已知函数的最小正周期，要求找出其图象的对称中心.切入点是先利用周期公式求出角速度，得到完整的函数解析式.然后令整体角等于，解出对称中心的横坐标表达式，通过给赋值寻找符合选项的答案.
【解析】由于，则，，令，解得，当时，，所以对称中心可以为.
【规律】求正弦型函数的对称中心，只需令内层函数，解出，对应的点即为对称中心.对称轴则是令.
考法16：利用对称性求参数或函数值之和
例16.（2026·浙江宁波十校·二模）若关于的方程在上恰有3个根，则
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】题目要求求出方程在特定区间内三个根的线性组合值.切入点是画出余弦函数的图象，结合水平直线的交点情况，利用余弦函数图象的对称性，找出这三个根关于对称轴的对称关系，从而整体求出它们的和.
【解析】如图作出的函数图象，其中，是函数的对称轴，当与的有三个交点时，有，，所以，，所以.
【规律】处理三角方程多根求和问题，极少需要求出具体的根，而是利用图象的对称性进行整体代换.若两根关于直线对称，则.作图时务必标出区间端点和关键的对称轴位置.
【考点五 方法总结】
1. 判断复杂三角函数的奇偶性，严格按照定义与的关系推导.含有的三角函数通常是偶函数，但不一定是周期函数.
2. 求正弦型函数的对称中心，只需令内层函数，解出，对应的点即为对称中心.对称轴则是令.
3. 求余弦型函数的对称中心，只需令内层函数，解出，对应的点即为对称中心.对称轴则是令.
4. 处理三角方程多根求和问题，极少需要求出具体的根，而是利用图象的对称性进行整体代换.若两根关于直线对称，则.
5. 根据函数必关于轴对称，在三角函数中联想到的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解.
考点六：三角函数的单调性
考法17：求三角函数的单调区间
例17.（2026·河北石家庄·二模）若函数在区间上单调递减，则实数为
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】题目给出了一个含有参数的三角函数，已知其在某区间上单调递减，求参数值.切入点是利用辅助角公式化简，观察到已知单调区间的长度恰好等于半个周期，这意味着该区间必须与函数的一个完整单调递减区间完全重合，由此建立端点对应的方程.
【解析】，其中.因为，所以.因为在区间上单调递减，且该区间长度为，恰好等于函数的半个周期，所以.所以，解得.所以.
【规律】已知单调区间求参数，若区间长度恰好等于半个周期，则该区间即为基本单调区间，可直接令整体角的边界等于基本单调区间的边界；若区间长度小于半个周期，则该区间是基本单调区间的子集，需列出不等式组求解.
考法18：结合单调性求参数或解不等式
例18.（2025·河北衡水中学·综合素质评价）在平面直角坐标系中，一动点从点开始，以的角速度逆时针绕坐标原点做匀速圆周运动，后到达点的位置.设，记，则的单调递增区间为_______
【答案】
【思路】本题是三角函数在物理运动模型中的应用.审题要点是根据匀速圆周运动的角速度和时间，写出动点的坐标.切入点是利用两点间距离公式写出距离平方的表达式，利用三角恒等变换将其化简为单一的余弦型函数，最后求其单调递增区间.
【解析】依题意，后，动点走过的弧度数为，则，又，则，的单调递增区间，即的递减区间，则，即，所以的单调递增区间为.
【规律】解决三角函数实际应用题，关键是建立准确的数学模型.圆周运动常通过引入时间变量，利用三角函数定义写出动点坐标.在求距离或最值时，必然涉及三角恒等变换，将其化为标准形式后再利用基本性质求解.
【考点六 方法总结】
1. 三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式.
2. 已知单调区间求参数，若区间长度恰好等于半个周期，则该区间即为基本单调区间，可直接令整体角的边界等于基本单调区间的边界；若区间长度小于半个周期，则该区间是基本单调区间的子集，需列出不等式组求解.
3. 解决三角函数实际应用题，关键是建立准确的数学模型.圆周运动常通过引入时间变量，利用三角函数定义写出动点坐标.
考点七：三角函数性质的综合与应用
考法19：三角函数图像与性质综合判断
例19.（2026·江西萍乡·二模）（多选）函数，则下列说法正确的是
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称
D. 在区间上单调递减
【答案】AC
【思路】题目要求判断给定正弦型函数的各项性质.切入点是直接利用周期公式求周期，利用整体代换法求对称轴和对称中心，以及单调区间.将选项中的数值代入验证是否满足对应的性质公式.
【解析】对于A，函数的最小正周期，故A正确；对于B，令，解得，所以的图象不关于直线对称，故B错误；对于C，令，解得，当时，，所以的图象关于点对称，故C正确；对于D，令，解得，所以在区间上单调递增，故D错误.
【规律】综合判断三角函数性质的题目，是对基础知识的全面检验.验证对称轴时，代入横坐标看函数值是否达到最值；验证对称中心时，代入横坐标看函数值是否为零.求单调区间必须注意的符号，若为负需先利用奇偶性转化为正.
考法20：三角函数交点与零点问题
例20.（2026·河南华大新高考联盟·5月联考）已知函数，将函数的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且．
（1）求的值；
（2）求函数图象的对称中心；
（3）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
（3）
【思路】题目定义了一个由正零点组成的数列，要求求参数、对称中心和数列求和.切入点是解三角方程求出零点的通式，根据正零点从小到大的顺序确定首项，进而求出参数.数列求和部分，观察到零点通式构成了两个等差数列的交错，可采用分组求和法.
【解析】（1）由，得，解得或，即或.因为，所以正零点从小到大排列时，，由，得.
（2）由（1）知，令，解得，所以函数图象的对称中心为.
（3）由（1）知的零点为或，所以.所以，所以.
【规律】三角函数的零点按顺序排列构成数列是常见考法.解方程得到的零点通式通常包含两个分支，分别对应两个等差数列.在求前项和时，将相邻两项（分别来自两个分支）组合在一起，转化为一个新的等差数列求和，可大大简化运算.
考法21：三角函数实际应用模型
例21.（2026·安徽皖南八校·4月检测）如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系．设时针长为，若某时刻时针指向点到点之间，且针尖所在点的纵坐标为，则在经过小时后，时针针尖所在点的横坐标为
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】本题以时钟为背景，考查三角函数定义的实际应用.审题时需注意时针的初始位置在第二象限，且已知纵坐标.切入点是设出初始位置的坐标和辐角，根据经过的时间计算出转过的角度.利用三角函数定义和两角和差的余弦公式求出新位置的横坐标.
【解析】由题意可知，针尖所在点初始位置在第二象限内，设为点，且在单位圆上，如图所示，点的纵坐标为，设轴，垂足为，单位圆交轴正半轴于点，设经过小时后，时针针尖所在点的坐标为，则，在直角三角形中，，因为，所以，又因为，所以点在第一象限内，设，则点坐标为，设点，由，解得或舍去，设，则，所以.
【规律】时钟模型本质上是圆周运动模型.处理此类问题，先建立直角坐标系，利用三角函数定义将点的坐标与角度联系起来.旋转后的坐标计算，强烈依赖于两角和与差的三角函数公式.注意判断初始角所在的象限以确定三角函数值的符号.
【考点七 方法总结】
1. 综合判断三角函数性质的题目，是对基础知识的全面检验.验证对称轴时，代入横坐标看函数值是否达到最值；验证对称中心时，代入横坐标看函数值是否为零.求单调区间必须注意的符号，若为负需先利用奇偶性转化为正.
2. 三角函数的零点按顺序排列构成数列是常见考法.解方程得到的零点通式通常包含两个分支，分别对应两个等差数列.在求前项和时，将相邻两项（分别来自两个分支）组合在一起，转化为一个新的等差数列求和，可大大简化运算.
3. 时钟模型本质上是圆周运动模型.处理此类问题，先建立直角坐标系，利用三角函数定义将点的坐标与角度联系起来.旋转后的坐标计算，强烈依赖于两角和与差的三角函数公式.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）当时，曲线与的交点个数为（ 　　）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为.所以在上函数有三个周期的图象.所以在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.故选C.
2.（2025·全国一卷）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足.即的对称中心是.即.又因为，所以时最小，最小值是.即.故选B.
3.（2026·全国一卷）已知是偶函数，在区间单调递增，则＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿.
【答案】；
【解析】因为是偶函数，所以.又因为，所以或.若，则.要使其在单调递增，需且半周期，即.此时或.但此时在上实际是单调递减的，矛盾.若，则.要使其在单调递增，需且，即.又因为，所以或.当时，，.当时，，.综上，，.
4.（2025·全国一卷）
（1）设函数，求在的最大值；
（2）给定，设为实数，证明：存在，使得；
（3）若存在使得对任意，都有，求的最小值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）
【解析】（1）法1：.因为，所以，所以.当时，即.当时，即.所以在上为增函数，在为减函数.所以在上的最大值为.
法2：我们有.所以.这得到，同时又有，所以在上的最大值为，在上的最大值也是.
（2）法1：由余弦函数的性质得的解为.若任意与交集为空，则且，此时无解，矛盾，故无解.所以存在，使得.
法2：由余弦函数的性质知的解为.若每个与交集都为空，则对每个，必有或之一成立.此即或，但长度为1的闭区间上必有一整数，该整数不满足条件，矛盾.所以存在，使得成立.
（3）法1：记.因为，所以为周期函数且周期为，所以只需讨论的情况.当时，.当时，，此时.令，则.而，，所以.当，在（2）中取，则存在，使得.取，则，取即，所以，所以.综上，可取，使得等号成立.综上，.
法2：设.①一方面，若存在，使得对任意恒成立，则对这样的，同样有.所以对任意恒成立，这直接得到.设，则根据恒成立，有，，.所以均不超过.再结合，就得到均不超过.假设，则，所以.但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可能都在直线左侧.所以假设不成立，这意味着.②另一方面，若，则由（1）中已经证明，知存在，使得.从而满足题目要求.综合上述两个方面，可知的最小值是.
第 2 页，共 17 页第27讲 三角函数的图像与性质 · 讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 2
三、典题精练 5
考点一：三角函数的图像与变换 5
考点二：根据条件确定解析式 7
考点三：三角函数的定义域、值域与最值 8
考点四：三角函数的周期性 9
考点五：三角函数的奇偶性与对称性 10
考点六：三角函数的单调性 11
考点七：三角函数性质的综合与应用 11
四、高考真题 12
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2024 第7题 单选 5分 直接 三角函数图像的交点个数问题
2025 第4题 单选 第19题 解答 22分 直接 正切函数的对称中心；三角函数的单调性、最值与恒成立问题综合
2026 第13题 填空 5分 直接 正弦型函数的奇偶性与单调区间
近三年全国一卷对三角函数的图像与性质考查较为频繁，每年均有直接考察.题型涵盖单选题、填空题和解答题，分值在5分至22分之间波动，既有基础性质的考查，也有作为压轴题的综合应用.
2. 命题角度与特色
（1） 核心考点：重点考查三角函数的图像特征（如交点个数）、基本性质（如对称中心、奇偶性、单调性）以及在特定区间上的最值问题.
（2） 命题趋势：基础题型多以正弦型或正切型函数的性质为主，强调对周期、对称性和单调区间的熟练掌握；解答题则倾向于将三角函数与不等式恒成立、导数等知识结合，综合性强.
（3） 试题特点：数形结合思想贯穿始终.无论是判断图像交点个数，还是处理三角不等式，都需要借助三角函数的图像特征进行直观分析与严密推导.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握正弦、余弦、正切函数的图像与基本性质，能够准确求出复杂三角函数的周期、对称轴、对称中心及单调区间.
（2） 强化数形结合能力，在处理三角函数方程的根、图像交点个数等问题时，养成画草图辅助分析的习惯.
（3） 针对解答题中的三角函数综合问题，需提升代数变形能力，熟练运用三角恒等变换公式，并结合导数工具处理复杂的最值与恒成立问题.
二、知识清单
1. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1） 在正弦函数的图象中，五个关键点是：，，，，.
（2） 在余弦函数的图象中，五个关键点是：，，，，.
2. 正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中）
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间
递减区间 无
对称中心
对称轴方程 无
① 正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是.
② 正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离是.
【易错提醒】 正切函数的图象只有对称中心，没有对称轴.其对称中心不仅包括与轴的交点，还包括渐近线与轴的交点，统一表示为.
3. 与的图像与性质
（1） 最小正周期：.
（2） 定义域与值域：，的定义域为，值域为.
（3） 最值（假设）：
① 对于，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值.
② 对于，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值.
（4） 对称轴与对称中心（假设）：
① 对于，当，即时，的对称轴为；当，即时，的对称中心为.
② 对于，当，即时，的对称轴为；当，即时，的对称中心为.
③ 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置.
（5） 单调性（假设）：
① 对于， 增区间； 减区间.
② 对于， 增区间； 减区间.
【防坑警示】若，在求单调区间时，必须先利用诱导公式将的系数化为正数，即转化为的形式，再结合基本三角函数的单调性进行求解，否则会导致单调区间完全颠倒.
（6） 平移与伸缩：由函数的图像变换为函数的图像的步骤：
① 方法一：先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形.的图像向左平移个单位得到的图像，所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变得到的图像，所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变得到的图像，向上平移3个单位得到.
② 方法二：先周期变换，后相位变换，再振幅变换.的图像所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变得到的图像，向左平移个单位得到的图像，所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变得到的图像，向上平移3个单位得到.
【易错提醒】在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换都是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少.
4. 三角函数的奇偶性与对称性拓展
（1） 若函数为奇函数，则其图象关于原点对称，此时.
（2） 若函数为偶函数，则其图象关于轴对称，此时.
（3） 若函数为奇函数，则其图象关于原点对称，此时.
（4） 若函数为偶函数，则其图象关于轴对称，此时.
【防坑警示】正切型函数只能是奇函数或非奇非偶函数，绝不可能为偶函数.当其为奇函数时，.
5. 三角函数周期的拓展结论
（1） 函数与的最小正周期均为.
（2） 函数的最小正周期为.
（3） 函数不是周期函数，而是周期函数，且最小正周期为（因为）.
（4） 函数与的最小正周期均为.
（5） 函数与的最小正周期均为（可通过降幂公式转化为与得出）.
三、典题精练
考点一：三角函数的图像与变换
考法1：三角函数图像识别与应用
例1.（2025·江西优创名校·4月联考）（多选）已知函数的部分图象可能为
A. B.
C. D.
考法2：三角函数图像平移变换
例2.（2026·湖北十一校·3月二联）（多选）将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若的图像与的图像关于轴对称，则下列说法正确的有
A.
B.
C. 的对称轴过的对称中心
D. ，唯一的，使得
考法3：三角函数图像平移与伸缩综合变换
例3.（2026·江苏镇江·零模）（多选）将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，则
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 的图象关于直线对称
D. 的图象关于点中心对称
考法4：三角函数图像折叠与空间几何结合
例4.（2025·江西十校·二模）如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时，之间的距离为，则＿＿＿＿＿＿．
【考点一 方法总结】
1. 处理含参三角函数图象识别问题，通常采用“特征点代入法”或“周期最值反推法”.先观察图象的最高点、最低点确定振幅和纵向平移量，再通过相邻零点或极值点的距离确定周期，最后利用图象经过的特殊点求出初相或验证参数.
2. 解决三角函数图象变换与对称性综合题，核心在于准确写出变换后的解析式.若两函数图象关于轴对称，则满足；若关于某条垂直于轴的直线对称，则利用对称轴公式处理.
3. 判断三角函数性质时，统一化为正弦或余弦的基本形式，利用整体代换法，将内层函数看作一个整体角，代入基本三角函数的性质公式中求解.
4. 折叠问题的核心是“变与不变”，折叠前后在同一个半平面内的几何量保持不变.引入空间向量处理此类问题，通过向量的加法法则将空间线段转化为已知平面线段的向量和，利用数量积运算可有效避免复杂的空间几何建系.
考点二：根据条件确定解析式
考法5：结合图像特征求解析式
例5.（2026·山东青岛·一模）函数（，，）的部分图像如图所示.
（1）当时，求的单调递增区间；
（2）已知，且，求的值.
考法6：结合函数性质求解析式
例6.（2026·广东佛山·二模）已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C、D为图象与x轴的交点，且为等腰直角三角形.
（1）求的解析式，及为偶函数时的最小正实数m；
（2）求的值.
考法7：结合向量或几何条件求解析式
例7.（2025·河北张家口·二模）已知函数，圆.
（1）若两条相邻的对称轴与相切，求；
（2）若，是的极值点，且点有且仅有两个在的内部，求的取值范围.
【考点二 方法总结】
1. 由图象求解析式“五点法”是最常用的手段.求初相时，优先选择图象上的最值点代入，可避免多解的讨论.在求特定函数值时，若已知某个整体角的三角函数值，常采用“配角法”，将目标角拼凑成已知角的组合.
2. 三角函数与平面几何结合的题目，关键在于将几何特征转化为代数条件.例如等腰直角三角形的顶点在极值点、底边在轴上时，其底边长恰好等于半个周期，且高与底边长存在确定的比例关系.
3. 处理三角函数与圆锥曲线或圆的交点、切线问题，本质是数形结合.将几何相切条件转化为距离关系，将点在图形内部转化为坐标满足的不等式.
考点三：三角函数的定义域、值域与最值
考法8：利用辅助角公式求值域或最值
例8.（2026·八省T8联考·4月联测）在区间上的值域为__．
考法9：结合换元法求值域或最值
例9.（2025·江西九师联盟·5月检测）若函数在上的值域是，则的取值范围为__；的取值范围为__．
考法10：三角函数交点与方程有解问题
例10.（2024·广东华南师大附中·三模）函数和函数的图象相交于、两点，为坐标原点，则的面积为
A. B. C. D.
【考点三 方法总结】
1. 求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为基本类型处理.
2. 求形如的值域，标准动作是提取化为.在限定区间上求值域时，必须先求出整体角的范围，再结合正弦函数的图象确定最大值和最小值.
3. 含有绝对值的三角函数问题，去绝对值是第一步.利用分段函数作图，通过水平直线与函数图象的交点来分析值域与定义域的对应关系.
4. 解三角方程时，常利用同角三角函数的基本关系将不同名的三角函数化为同名函数，或者利用因式分解法求解.
考点四：三角函数的周期性
考法11：利用公式求三角函数周期
例11.（2026·安徽华师联盟·4月质检）函数的最小正周期是
A. B. C. D.
考法12：结合零点或最值点距离求周期
例12.（2026·湖南九校联盟·一模）已知函数的两个相邻零点间的距离为，则__．
考法13：由周期求参数及函数值
例13.（2026·湖北孝感·二模）已知函数在区间单调，其中为正整数，，且图象关于点对称．
（1）求的最小正周期；
（2）在中，，，边上的中线长为，求的面积．
【考点四 方法总结】
1. 求三角函数的周期，核心在于“降次化一”.遇到平方项或高次项，首选降幂扩角公式；遇到正余弦乘积，首选二倍角正弦公式.最终化为的形式，利用求解.
2. 三角函数图象中，相邻两个零点、相邻两个极值点之间的水平距离均为半个周期；相邻的零点与极值点之间的水平距离为四分之一个周期.在未明确符号时，由周期求必须加上绝对值，避免漏解.
3. 由单调区间和对称性求参数，常采用“范围限制+验证”的策略.单调区间的长度提供周期的下界，对称中心或极值点提供参数的等式约束.
考点五：三角函数的奇偶性与对称性
考法14：判断三角函数的奇偶性及求参数
例14.（2026·河南郑州·二模）（多选）已知函数，函数，则
A. 当时，
B. 和的奇偶性相同
C. 和的周期相同
D. 和的最值相同
考法15：求三角函数的对称轴或对称中心
例15.（2026·广东深圳·一模）函数的最小正周期为，其图象的对称中心可以为
A. B. C. D.
考法16：利用对称性求参数或函数值之和
例16.（2026·浙江宁波十校·二模）若关于的方程在上恰有3个根，则
A. B. C. D.
【考点五 方法总结】
1. 判断复杂三角函数的奇偶性，严格按照定义与的关系推导.含有的三角函数通常是偶函数，但不一定是周期函数.
2. 求正弦型函数的对称中心，只需令内层函数，解出，对应的点即为对称中心.对称轴则是令.
3. 求余弦型函数的对称中心，只需令内层函数，解出，对应的点即为对称中心.对称轴则是令.
4. 处理三角方程多根求和问题，极少需要求出具体的根，而是利用图象的对称性进行整体代换.若两根关于直线对称，则.
5. 根据函数必关于轴对称，在三角函数中联想到的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解.
考点六：三角函数的单调性
考法17：求三角函数的单调区间
例17.（2026·河北石家庄·二模）若函数在区间上单调递减，则实数为
A. B. C. D.
考法18：结合单调性求参数或解不等式
例18.（2025·河北衡水中学·综合素质评价）在平面直角坐标系中，一动点从点开始，以的角速度逆时针绕坐标原点做匀速圆周运动，后到达点的位置.设，记，则的单调递增区间为_______
【考点六 方法总结】
1. 三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式.
2. 已知单调区间求参数，若区间长度恰好等于半个周期，则该区间即为基本单调区间，可直接令整体角的边界等于基本单调区间的边界；若区间长度小于半个周期，则该区间是基本单调区间的子集，需列出不等式组求解.
3. 解决三角函数实际应用题，关键是建立准确的数学模型.圆周运动常通过引入时间变量，利用三角函数定义写出动点坐标.
考点七：三角函数性质的综合与应用
考法19：三角函数图像与性质综合判断
例19.（2026·江西萍乡·二模）（多选）函数，则下列说法正确的是
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称
D. 在区间上单调递减
考法20：三角函数交点与零点问题
例20.（2026·河南华大新高考联盟·5月联考）已知函数，将函数的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且．
（1）求的值；
（2）求函数图象的对称中心；
（3）求数列的前项和．
考法21：三角函数实际应用模型
例21.（2026·安徽皖南八校·4月检测）如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系．设时针长为，若某时刻时针指向点到点之间，且针尖所在点的纵坐标为，则在经过小时后，时针针尖所在点的横坐标为
A. B. C. D.
【考点七 方法总结】
1. 综合判断三角函数性质的题目，是对基础知识的全面检验.验证对称轴时，代入横坐标看函数值是否达到最值；验证对称中心时，代入横坐标看函数值是否为零.求单调区间必须注意的符号，若为负需先利用奇偶性转化为正.
2. 三角函数的零点按顺序排列构成数列是常见考法.解方程得到的零点通式通常包含两个分支，分别对应两个等差数列.在求前项和时，将相邻两项（分别来自两个分支）组合在一起，转化为一个新的等差数列求和，可大大简化运算.
3. 时钟模型本质上是圆周运动模型.处理此类问题，先建立直角坐标系，利用三角函数定义将点的坐标与角度联系起来.旋转后的坐标计算，强烈依赖于两角和与差的三角函数公式.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）当时，曲线与的交点个数为（ 　　）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
2.（2025·全国一卷）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
3.（2026·全国一卷）已知是偶函数，在区间单调递增，则＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿.
4.（2025·全国一卷）
（1）设函数，求在的最大值；
（2）给定，设为实数，证明：存在，使得；
（3）若存在使得对任意，都有，求的最小值.
第 2 页，共 17 页第27讲 三角函数的图像与性质·综合测试（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
D B C A D
6 7 8 9 10
C D D AC AB
11 12 13 14
BCD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·湖北襄阳·二模）将函数向左平移个单位得到新函数，则可能的取值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将函数向左平移个单位得到.
目标函数.
所以，解得.
当时，.
【点拨】本题考查三角函数图象的平移变换以及诱导公式的应用.解题的关键是将正弦函数转化为余弦函数，再根据平移规则列出关于的方程.
2.（2025·河北NT20名校联合体·二模）已知函数满足恒成立，则当时，曲线与的交点个数为（ 　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】因为恒成立，所以为的一条对称轴，
那么，所以，
解得，，
与的图象如图所示：
由图可知，曲线与的交点个数为4.故选：B.
【点拨】本题考查三角函数的性质与图象.根据最值条件确定函数的对称轴，进而求出参数是解题的突破口，随后利用数形结合思想判断交点个数.
3.（2024·深圳光明区高级中学·5月模考）已知函数，把的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，则（ 　　）
A. 是偶函数
B. 的图象关于直线对称
C. 在上的最大值为0
D. 不等式的解集为
【答案】C
【解析】由题知，由于的定义域为，且，故为奇函数，A错误.又，故的图象不关于直线对称，B错误.因为时，，所以在上的最大值为0，最小值为-2，故C正确.，则，则，故，D错误.
【点拨】本题考查三角函数图象的平移变换及其性质.先通过平移规则求出的解析式，再结合正弦函数的奇偶性、对称性、最值及不等式解法逐项判断即可.
4.（2026·江西南昌·一模）已知函数的部分图象如图所示，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由图象得，，解得，所以.
又在处取得最大值，代入可得，所以.
解得.
因为，所以.
所以.
则.
【点拨】本题考查由三角函数的部分图象求解析式.根据图象中的最高点与零点之间的水平距离求出周期，进而求出，再代入最高点坐标求出是解题的关键.
5.（2026·福建厦门·第二次质量检测）已知函数，若，则（ 　　）
A. 0 B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】由题意得是的最大值，所以，解得.
所以.故选D.
【点拨】本题考查辅助角公式及三角函数的最值.利用最值条件建立关于参数的方程是解题的核心，求出解析式后再利用诱导公式求值即可.
6.（2026·广东广州·一模）函数的最小正周期是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以最小正周期为.
【点拨】本题考查三角函数的化简与周期的求法.观察到两角之和为，利用诱导公式将其中一个正弦转化为余弦，再利用二倍角公式化简是解题的捷径.
7.（2025·深圳高级中学高中园·适应性测试）已知圆台的母线长为4，下底面的半径是上底面半径的3倍，母线与底面所成的角为，那么圆台的外接球的表面积为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为母线与底面所成的角为，则圆台的高为，上底面半径为1，下底面半径为3，设外接球的半径为，球心到上底面的距离为，则，解得，所以，所以.故选：D.
【点拨】本题考查圆台的几何性质及外接球表面积的计算.通过轴截面分析，利用勾股定理建立关于球心位置和球半径的方程组是解决此类外接球问题的通法.
8.（2026·湖北孝感·一模）若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据正弦函数对称中心性质得，然后利用诱导公式求值即可.
因为点是函数的图象的一个对称中心，
所以，即，
所以，所以.
故选：D.
【点拨】本题考查正弦函数的对称性及诱导公式的应用.熟记正弦函数对称中心的横坐标满足整体相位等于是解题的基础.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2025·江西上进联考·4月联考）在平面直角坐标系中，曲线由函数和的图象构成，则（ 　　）
A. 关于直线对称
B. 关于点对称
C. 直线被截得的线段长的最大值为
D. 围成的图形的面积大于
【答案】AC
【解析】画出的图象，由图可知A正确，B错误.直线被截的弦长为，故C正确.当时，如图，4个阴影部分面积相等，区域②的面积小于区域①的面积，区域③的面积小于区域④的面积.利用割补法知曲线在上围成的图形的面积小于以为宽、2为高的矩形的面积，即曲线围成的图形的面积小于，故D错误.故选AC.
【点拨】本题综合考查三角函数的图象与性质.通过准确作出两函数的图象，利用数形结合分析对称性、弦长最值及封闭图形的面积是解题的关键.
10.（2026·山东日照·二模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（ 　　）
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 函数的最大值为1
D. 方程在上有5个实数根
【答案】AB
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数，
若是的一个单调递增区间，则，即，显然成立.
且，且，
即且，
解得，所以，
因为，所以，.
所以，.
对于A，的最小正周期为，故A正确.
对于B，当时，，单调递增，故B正确.
对于C，，最大值为，故C错误.
对于D，方程可化为，
解得或.
当时，，
由得有两个解，
由得或，有两个解，
所以方程在上有4个实数根，故D错误.
故选：AB.
【点拨】本题考查三角函数的图象变换及性质.根据单调区间包含于正弦函数的基本单调区间内，列出不等式组求出是解题的关键，后续结合三角恒等变换及数形结合思想逐项分析即可.
11.（2026·江西吉安·一模）已知函数，函数和它的导函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ 　　）
A.
B.
C. 是函数的一条对称轴
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】由图可知，虚线的最高点为2，实线的最高点为1，且实线在处为0，虚线在处取得最大值.
因为，若实线为，则其最大值为，虚线为，最大值为，此时.
，解得.
此时，与图象不符.
若实线为，虚线为，则，，解得.
，且，
所以，解得，即.
因为，所以.
所以.
对于A，，错误.
对于B，，正确.
对于C，，所以是的一条对称轴，正确.
对于D，，即，
，正确.
故选：BCD.
【点拨】本题考查由函数及其导函数的图象求解析式.通过观察图象的极值点与零点的对应关系，准确判断出哪条曲线代表原函数、哪条代表导函数是解题的突破口.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·江苏南京·二模）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象关于轴对称，则＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】平移后得到，因为图象关于轴对称，所以，即.又，所以.
【点拨】本题考查三角函数图象的平移变换及对称性.平移后函数为偶函数，其初相必定为的奇数倍，由此列式求解即可.
13.（2026·八省T8·4月联考）在平面直角坐标系中，函数的部分图象如图所示，若，则点的纵坐标为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】如图，把函数图象进行平移，使得点与坐标系原点重合，得函数的图象，点的对应点分别为，依题意，可设，则.
，，
，解得（正值舍去）.
.即点的纵坐标为.
【点拨】本题考查三角函数图象的几何性质.通过适当的平移变换简化坐标表示，利用向量共线关系转化为三角方程，再结合二倍角公式求解是解题的巧妙之处.
14.（2025·江西三新协同教研共同体·5月模拟）函数在上的值域为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】易得，由，得，所以.
【点拨】本题考查辅助角公式及三角函数在闭区间上的值域.先化简为单一三角函数形式，再根据自变量的范围求出整体相位的范围，最后结合正弦函数的图象求得值域.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（2026·湖南新高考教学教研联盟·3月联考）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式，并写出的单调递减区间；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1）；单调递减区间为
（2）
【解析】（1）由图象可知，，
又，，
代入可知，即，
又因为，所以，，
可知当时，单调递减，
所以的单调递减区间为．
7 分
（2） ，又，
所以由二倍角公式可得：，解得，
又，，，
所以．
13 分
【点拨】本题考查由三角函数的部分图象求解析式以及三角恒等变换求值.第（1）问通过图象特征求出周期和初相；第（2）问利用诱导公式将正弦转化为余弦，再结合二倍角公式降幂求值，注意判断角的范围以确定符号.
16.（2026·浙江宁波·二模）已知函数的最大值为1.
（1）求常数的值；
（2）求使成立的的取值集合.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）
，
当时，有最大值，
所以，解得.
7 分
（2）由（1）知，，
由，得，所以，
解得，
故满足条件的的取值集合为.
15 分
【点拨】本题考查三角恒等变换及三角函数的最值与不等式解法.利用两角和与差的正弦公式及降幂公式将函数化为的形式是解题的关键.
17.（2026·浙江绍兴·二模）已知函数.
（1）求；
（2）求的值域和单调递减区间.
【答案】（1）
（2）值域为，单调递减区间为，
【解析】（1）.
5 分
（2）因为，
所以的值域为，
因为，，
解得，，
所以的单调递减区间为，.
13 分
【点拨】本题考查三角函数的求值及性质.利用降幂公式和辅助角公式将解析式化简为单一三角函数形式，再结合正弦函数的性质求解即可.
18.已知向量，，.
（1）求函数的最大值及相应的值；
（2）在中，角为锐角且，，，求的面积.
【答案】（1）最大值为，相应的值为
（2）
【解析】（1）依题意，，
即，
所以，当，
即时，取最大值；
8 分
（2）由（1）及得：，
即，
由，则，
因此，，则，
而，有，所以，
在中，由正弦定理得，
，
，
所以的面积为.
17 分
【点拨】本题考查平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换以及正弦定理、三角形面积公式的应用.将向量数量积转化为三角函数解析式是第一步，后续结合解三角形知识求解即可.
19.（2025·江西上进联考·4月联考）已知钝角的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，，证明：是等腰三角形.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）因为，
所以，
由正弦定理得，
所以，
所以.
因为是钝角三角形，所以，所以，即.
8 分
（2）证明：由余弦定理得，
所以，
又，
解得，
所以是等腰三角形.
17 分
【点拨】本题考查正余弦定理及三角恒等变换在解三角形中的应用.第（1）问利用正弦定理将边化角，再利用和差角公式化简求出角；第（2）问结合余弦定理及基本代数运算求出边长关系，从而证明结论.
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.将函数向左平移个单位得到新函数，则可能的取值为（ 　　）
A. B. C. D.
2.已知函数满足恒成立，则当时，曲线与的交点个数为（ 　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3.已知函数，把的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，则（ 　　）
A. 是偶函数
B. 的图象关于直线对称
C. 在上的最大值为0
D. 不等式的解集为
4.已知函数的部分图象如图所示，则（ 　　）
A. B. C. D.
5.已知函数，若，则（ 　　）
A. 0 B. C. 1 D.
6.函数的最小正周期是（ 　　）
A. B. C. D.
7.已知圆台的母线长为4，下底面的半径是上底面半径的3倍，母线与底面所成的角为，那么圆台的外接球的表面积为（ 　　）
A. B. C. D.
8.若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在平面直角坐标系中，曲线由函数和的图象构成，则（ 　　）
A. 关于直线对称
B. 关于点对称
C. 直线被截得的线段长的最大值为
D. 围成的图形的面积大于
10.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（ 　　）
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 函数的最大值为1
D. 方程在上有5个实数根
11.已知函数，函数和它的导函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ 　　）
A.
B.
C. 是函数的一条对称轴
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.将函数的图象向左平移个单位，得到的图象关于轴对称，则＿＿＿＿＿＿．
13.在平面直角坐标系中，函数的部分图象如图所示，若，则点的纵坐标为＿＿＿＿＿＿．
14.函数在上的值域为＿＿＿＿＿＿．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式，并写出的单调递减区间；
（2）若，且，求的值．
16.已知函数的最大值为1.
（1）求常数的值；
（2）求使成立的的取值集合.
17.已知函数.
（1）求；
（2）求的值域和单调递减区间.
18.已知向量，，.
（1）求函数的最大值及相应的值；
（2）在中，角为锐角且，，，求的面积.
19.已知钝角的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，，证明：是等腰三角形.
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