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第33讲 平面向量的数量积及运算 · 分类练习（解析卷）
考点一：平面向量的投影、投影向量 1
考法1：求解投影向量的坐标及模长 1
考法2：已知投影（向量）求参数或模长 2
考法3：投影与投影向量的综合应用 2
考点二：平面向量的数量积运算 3
考法4：利用定义与坐标公式计算数量积 3
考法5：利用基底与线性表示计算数量积 3
考法6：利用几何性质与投影计算数量积 4
考法7：求解向量数量积的最值与范围 5
考法8：数量积的综合应用与新定义 6
考点三：平面向量的模长 6
考法9：利用坐标运算求解向量模长 6
考法10：利用数量积与平方法求解向量模长 6
考法11：求解向量模长的最值与范围 7
考点四：平面向量的夹角 7
考法12：利用坐标运算求解向量夹角 7
考法13：利用数量积与模长公式求解向量夹角 8
考法14：利用模长关系平方化简求解向量夹角 8
考法15：求解向量夹角的范围及综合问题 9
考点五：平面向量的垂直问题 10
考法16：利用坐标运算求解向量垂直问题 10
考法17：利用数量积性质求解向量垂直问题 10
考点六：平面向量的实际应用与综合 11
考法18：建立坐标系解决向量问题 11
考法19：向量的综合与创新应用 11
答案速查表
1 2 3 4 5
B D D
6 7 8 9 10
C A （1） （2） D
11 12 13 14 15
2 D B D
16 17 18 19 20
C ACD D 1 C
21 22 23 24 25
C C B A D
26 27 28 29 30
A A B D
考点一：平面向量的投影、投影向量
考法1：求解投影向量的坐标及模长
1.（2026·安徽马鞍山·一模）已知 ， 在 上的投影向量是 ，则 （　　 ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】由题意得 在 上的投影向量为 ，则 ，则 ，则 .故选：B.
【点拨】本题考查投影向量的计算公式以及向量模长的求法，掌握投影向量的定义是解题关键.
2.（2026·山东淄博·模拟）平面向量 ， ，则 在 上的投影向量坐标为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由题意得 ，.所以 在 上的投影向量为 .
【点拨】本题考查投影向量的坐标表示，直接代入投影向量公式即可.
考法2：已知投影（向量）求参数或模长
3.（2026·江苏苏北四市·一模）已知平面向量 在向量 上的投影向量为 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因为 在 上的投影向量为 ，所以 与 共线.设 ， .则 在 上的投影向量为 .由题意得 ，解得 .所以 ， .
【点拨】本题考查投影向量的坐标表示及模长计算，利用共线向量设出 的坐标是解题关键.
考法3：投影与投影向量的综合应用
4.（2026·山东泰安·模拟）已知在 中， ，，，M 为 BE 与 CD 的交点，则向量 在 上的投影向量的模的最小值为（　　 ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设 ，，则 .因为 ，，设 ，则 .又设 ，则 .由平面向量基本定理得 ，，解得 ，.所以 .向量 在 上的投影向量的模为 .由基本不等式得 ，当且仅当 即 时等号成立.所以向量 在 上的投影向量的模的最小值为 .
【点拨】本题考查平面向量基本定理、数量积的运算以及投影向量的模，利用基本不等式求最值是解题关键.
考点二：平面向量的数量积运算
考法4：利用定义与坐标公式计算数量积
5.（2026·安徽淮南·检测）已知向量 ， ， 与 的夹角为 ，则 （　　 ）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】D
【解析】因为向量 ，所以 ，又 ， 与 的夹角为 ，所以 ，所以 ，所以 .故选：D.
【点拨】本题考查平面向量的数量积运算，利用数量积的定义和性质是解题关键.
6.（2025·河北沧衡八县·一模）已知向量 ， ，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】依题意，.
【点拨】本题考查平面向量数量积的坐标运算以及同角三角函数的基本关系，将表达式齐次化是解题关键.
考法5：利用基底与线性表示计算数量积
7.（2026·湖南永州·二模）已知菱形 的边长为 2， ， 是 的中点，则 （　　 ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】 ， .故选：C.
【点拨】本题考查平面向量的线性运算与数量积，选取合适的基底表示目标向量是解题关键.
8.（2026·湖北云学联盟·模拟） 中， ， ， 是 的中点，则 （　　 ）
A. B. 7 C. D. 25
【答案】A
【解析】因为 是 的中点，所以 .又 .所以 .故选 A.
【点拨】本题考查平面向量的数量积运算，利用向量的线性运算将目标向量用已知边长对应的向量表示是解题关键.
9.（2025·浙江杭州二中·检测）在 中，内角 ， ， 满足 ．
（1）求 ；
（2）若 为 边上一点， ， ， ，求 的面积．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由 ，所以 ，所以 ，又 为三角形内角，所以 ，所以 ．
（2）因为 ，所以 ，所以 ，又 ，所以， ，所以面积 ．
【点拨】本题考查正弦定理及三角恒等变换求角，以及利用平面向量数量积求解三角形面积，将向量关系转化为边长关系是解题关键.
考法6：利用几何性质与投影计算数量积
10.（2026·湖南株洲·检测）已知向量 ，将向量 绕坐标原点 逆时针旋转 角得到向量 ，则下列说法正确的是（　　 ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，对于 A， ，所以 ，当 时，即 时， ，故 A 错误；对于 B，由 A 可知 ，又 ，当 时， ，可得 ，故 B 错误；对于 C，当 ， ，可得 ，所以 ，故 C 错误；对于 D，因为 ，所以 ，故 D 正确.故选：D.
【点拨】本题考查平面向量的模长与数量积运算，利用向量数量积的定义及性质逐项分析是解题关键.
11.（2026·广东汕头·一模） 为圆 的一条弦，且 ，则 的值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】2
【解析】取弦 的中点 ，连接 ，根据圆的垂径定理，可得 ，如图.因为 ,所以 .根据向量数量积的几何意义： .
【点拨】本题考查平面向量数量积的几何意义，利用垂径定理将数量积转化为投影与模长的乘积是解题关键.
考法7：求解向量数量积的最值与范围
12.（2026·山东聊城·模拟）已知 ， ，且满足 ，则 的最大值为（　　 ）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
【答案】D
【解析】由 知 .所以点 在以 为直径的圆上.设 的中点为 ，则 为圆心，，所以圆 的半径 .因为 是 的中点，所以 .要求 的最大值，即求 的最大值.已知 ，且 在圆 上，半径为 1.根据三角形不等式，.当 三点共线且 在 之间时， 取得最大值 5.所以 的最大值为 .
【点拨】本题考查平面向量数量积的最值问题，利用极化恒等式或向量的线性运算将数量积转化为距离的最值是解题关键.
13.（2026·山东枣庄·检测）在 中， 在 上， ， ， 与 的夹角为 ，则 的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】设 ，.已知 ， 与 夹角为 .因为 ，.设 .这是一个关于 的二次函数，开口向下，当 时取得最大值.最大值为 .
【点拨】本题考查平面向量数量积的最值问题，选取合适的基底将目标数量积表示为关于某个模长的二次函数是解题关键.
考法8：数量积的综合应用与新定义
14.（2026·山东九五协作体·检测）已知 为向量，则“ ”是“ 或 ”的（　　 ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若 ，则 ，所以 成立；若 ，则 成立.即必要性成立.若 ，则可能 且 且 ，此时 且 ，即充分性不成立.所以“ ”是“ 或 ”的必要不充分条件.故选 B.
【点拨】本题考查平面向量数量积的性质以及充分必要条件的判定，明确数量积为零的几何意义是解题关键.
考点三：平面向量的模长
考法9：利用坐标运算求解向量模长
15.（2025·广东深圳高中园·一模）已知向量 满足 ， ，则 （　　 ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】D
【解析】由 ， 可得 ， ，故 ，故选：D.
【点拨】本题考查平面向量的坐标运算以及模长的求法，先求出两向量的坐标是解题关键.
考法10：利用数量积与平方法求解向量模长
16.（2026·山东德州·一模）若平面向量 两两夹角相等，且 ， ， ，则 （　　 ）
A. B. 36 C. 或 6 D. 3 或 36
【答案】C
【解析】因为平面向量 ， ， 两两夹角相等，所以夹角有两种情况，即 ， ， 两两夹角为 或 ，当夹角为 时， ；当夹角为 时， ， ， ，则 ；综上所述： 或 .
【点拨】本题考查平面向量模长的求解，根据题意分情况讨论两两夹角是解题关键.
考法11：求解向量模长的最值与范围
17.（2025·江西上进联考·检测）（多选）已知 均为单位向量，且 ，则（　　 ）
A.
B.
C. 当实数 变化时， 的最小值为
D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】由 得 ，解得 （舍去）或 ，因为 均为单位向量，则 ，故 A 正确； ，故 B 错误； ，当且仅当 时取等号，故 C 正确；由 ，则 ，所以 ，整理得 ，即 ，故 D 正确.故选 ACD.
【点拨】本题考查平面向量的模长与数量积运算，利用平方法求出数量积是解题关键.
考点四：平面向量的夹角
考法12：利用坐标运算求解向量夹角
18.（2025·广东衡水金卷·联考）已知向量 ，则 （　　 ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，，所以 ，故选 D.
【点拨】本题考查平面向量的坐标运算以及夹角公式，先求出两向量的坐标是解题关键.
19.（2026·山东临沂·模拟）已知向量 ，则向量 与 的夹角正切值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】1
【解析】由 ， 得 ，即 .所以 ，，.设向量 与 的夹角为 ，则 .因为 ，所以 ，则 .
【点拨】本题考查平面向量的坐标运算以及夹角公式，先求出向量 的坐标是解题关键.
考法13：利用数量积与模长公式求解向量夹角
20.（2026·广东东莞·模拟）已知 ， ， 与 互相垂直，则 与 的夹角为（　　 ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，因为 与 互相垂直，所以 ，解得 ，所以 ，即 与 的夹角为 .故选：C.
【点拨】本题考查平面向量垂直的性质以及数量积的运算，利用向量垂直数量积为零求出 是解题关键.
考法14：利用模长关系平方化简求解向量夹角
21.（2025·河北沧州五县·一模）已知向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（　　 ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由 ，得 ，而 ，则 ， ，而 ，所以 与 的夹角 .故选 C.
【点拨】本题考查平面向量的模长与数量积运算，将模长等式两边平方是解题关键.
22.（2026·安徽安庆·二模）已知向量 ， ，且 ， ，则向量 ， 夹角的余弦值为（　　 ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设向量 ， 夹角为 ，由条件知 ，即 ，得 ，解得 ，故选 C.
【点拨】本题考查平面向量的模长与数量积运算，利用向量数量积的定义及平方法化简是解题关键.
考法15：求解向量夹角的范围及综合问题
23.（2025·广东上进联考·联考）在 中，“ 且 ”是“ 为锐角三角形”的（　　 ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 且 可得 与 为锐角，但 不一定为锐角，故 不一定为锐角三角形；反之，若 为锐角三角形， 与 都为锐角，所以 且 成立.故选 B.
【点拨】本题考查平面向量数量积的符号与夹角的关系，以及充分必要条件的判定，明确数量积大于零等价于夹角为锐角是解题关键.
24.（2025·河北衡水中学·检测）已知向量 ，且 ，则 与 夹角的最大值为（　　 ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，解得 ，故 ，设 ， ，则 ，设 ，则 ，则 ，即 ，设 ，设 夹角为 ，则 ，令 ，则 ，则 ，令 ，则 ，则 ，其中 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时， 取得最小值，最小值为 ，当 或 3 时， 取得最大值，最大值为 1，故 ，由于 在 上单调递减，故 ， 与 夹角的最大值为 .故选 A.
【点拨】本题考查平面向量的数量积与夹角的最值问题，利用坐标法将问题转化为三角函数的最值问题是解题关键.
考点五：平面向量的垂直问题
考法16：利用坐标运算求解向量垂直问题
25.（2026·安徽江淮十校·模拟）已知四边形 为平行四边形， 、 、 ， ，若 ，则 的值为（　　 ）
A. B. C. D. 7
【答案】D
【解析】设 ，则 ，，，所以 ，解得 ，所以 ，所以 ，而 ，，所以 ，选 D.
【点拨】本题考查平面向量的坐标运算以及向量垂直的充要条件，先求出点 的坐标是解题关键.
26.（2026·河北沧州八校·二模）已知向量 ， ，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因为向量 ， ，则 ，因为 ，则 ，解得 .
【点拨】本题考查平面向量的坐标运算以及向量垂直的坐标表示，直接代入数量积坐标公式即可.
考法17：利用数量积性质求解向量垂直问题
27.（2025·江西稳派上进·联考）已知向量 ， ，若 ，则 （　　 ）
A. B. C. 3 D. 6
【答案】A
【解析】依题意， ，解得 ，故 .故选 A.
【点拨】本题考查平面向量垂直的坐标表示及模长的求法，利用数量积为零求出参数是解题关键.
考点六：平面向量的实际应用与综合
考法18：建立坐标系解决向量问题
28.（2026·广东广州·一模）已知向量 ， ，向量 满足 ，则 的取值范围是（　　 ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设 .已知 ， ，所以 .则 ，即 .因 表示点 到原点的距离，而点 是直线 上的点，故 的最小值即为原点到直线 的距离 ，因为点 在直线 上，所以 可无限大，所以 的取值范围是 .
【点拨】本题考查平面向量的坐标运算以及模长的几何意义，将向量模长转化为点到直线的距离是解题关键.
考法19：向量的综合与创新应用
29.（2026·江苏·检测）等腰直角 中， ， ，点 在 外接圆上运动，若 ，则 的最大值为（　　 ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】B
【解析】以直角顶点 为原点， 为 轴， 为 轴，建立平面直角坐标系，则：， ， ，外接圆圆心为斜边 的中点 ，坐标为 ，半径为 ，故外接圆方程为： ．又因为 ，其中 ， ，则 ．将 代入圆的方程得 ，即 ， ，∴ ，解得 ，当且仅当 时取得 的最大值 2．
【点拨】本题考查平面向量基本定理以及圆的方程，建立平面直角坐标系将向量关系转化为代数关系是解题关键.
30.（2026·河南新未来·检测）已知向量 满足 ，定义 ，若 ，则 的最大值为（　　 ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】设 ，.由 得 .即 .所以 .设 ，则 ，即 .所以 .因为 ，所以 .所以 .所以 的最大值为 .
【点拨】本题考查平面向量数量积的新定义问题，将目标式转化为三角函数最值问题是解题关键.
第 2 页，共 17 页第33讲 平面向量的数量积及运算 · 分类练习
考点一：平面向量的投影、投影向量 1
考法1：求解投影向量的坐标及模长 1
考法2：已知投影（向量）求参数或模长 1
考法3：投影与投影向量的综合应用 1
考点二：平面向量的数量积运算 1
考法4：利用定义与坐标公式计算数量积 1
考法5：利用基底与线性表示计算数量积 2
考法6：利用几何性质与投影计算数量积 2
考法7：求解向量数量积的最值与范围 2
考法8：数量积的综合应用与新定义 3
考点三：平面向量的模长 3
考法9：利用坐标运算求解向量模长 3
考法10：利用数量积与平方法求解向量模长 3
考法11：求解向量模长的最值与范围 3
考点四：平面向量的夹角 3
考法12：利用坐标运算求解向量夹角 3
考法13：利用数量积与模长公式求解向量夹角 4
考法14：利用模长关系平方化简求解向量夹角 4
考法15：求解向量夹角的范围及综合问题 4
考点五：平面向量的垂直问题 4
考法16：利用坐标运算求解向量垂直问题 4
考法17：利用数量积性质求解向量垂直问题 5
考点六：平面向量的实际应用与综合 5
考法18：建立坐标系解决向量问题 5
考法19：向量的综合与创新应用 5
考点一：平面向量的投影、投影向量
考法1：求解投影向量的坐标及模长
1.（2026·安徽马鞍山·一模）已知 ， 在 上的投影向量是 ，则 （　　 ）
A. B. 2 C. D. 4
2.（2026·山东淄博·模拟）平面向量 ， ，则 在 上的投影向量坐标为＿＿＿＿＿＿.
考法2：已知投影（向量）求参数或模长
3.（2026·江苏苏北四市·一模）已知平面向量 在向量 上的投影向量为 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
考法3：投影与投影向量的综合应用
4.（2026·山东泰安·模拟）已知在 中， ，，，M 为 BE 与 CD 的交点，则向量 在 上的投影向量的模的最小值为（　　 ）
A. B. C. D.
考点二：平面向量的数量积运算
考法4：利用定义与坐标公式计算数量积
5.（2026·安徽淮南·检测）已知向量 ， ， 与 的夹角为 ，则 （　　 ）
A. B. C. 1 D. 3
6.（2025·河北沧衡八县·一模）已知向量 ， ，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
考法5：利用基底与线性表示计算数量积
7.（2026·湖南永州·二模）已知菱形 的边长为 2， ， 是 的中点，则 （　　 ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
8.（2026·湖北云学联盟·模拟） 中， ， ， 是 的中点，则 （　　 ）
A. B. 7 C. D. 25
9.（2025·浙江杭州二中·检测）在 中，内角 ， ， 满足 ．
（1）求 ；
（2）若 为 边上一点， ， ， ，求 的面积．
考法6：利用几何性质与投影计算数量积
10.（2026·湖南株洲·检测）已知向量 ，将向量 绕坐标原点 逆时针旋转 角得到向量 ，则下列说法正确的是（　　 ）
A. B. C. D.
11.（2026·广东汕头·一模） 为圆 的一条弦，且 ，则 的值为＿＿＿＿＿＿.
考法7：求解向量数量积的最值与范围
12.（2026·山东聊城·模拟）已知 ， ，且满足 ，则 的最大值为（　　 ）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
13.（2026·山东枣庄·检测）在 中， 在 上， ， ， 与 的夹角为 ，则 的最大值为＿＿＿＿＿＿.
考法8：数量积的综合应用与新定义
14.（2026·山东九五协作体·检测）已知 为向量，则“ ”是“ 或 ”的（　　 ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
考点三：平面向量的模长
考法9：利用坐标运算求解向量模长
15.（2025·广东深圳高中园·一模）已知向量 满足 ， ，则 （　　 ）
A. B. C. 0 D. 1
考法10：利用数量积与平方法求解向量模长
16.（2026·山东德州·一模）若平面向量 两两夹角相等，且 ， ， ，则 （　　 ）
A. B. 36 C. 或 6 D. 3 或 36
考法11：求解向量模长的最值与范围
17.（2025·江西上进联考·检测）（多选）已知 均为单位向量，且 ，则（　　 ）
A.
B.
C. 当实数 变化时， 的最小值为
D. 若 ，则
考点四：平面向量的夹角
考法12：利用坐标运算求解向量夹角
18.（2025·广东衡水金卷·联考）已知向量 ，则 （　　 ）
A. B. C. D.
19.（2026·山东临沂·模拟）已知向量 ，则向量 与 的夹角正切值为＿＿＿＿＿＿.
考法13：利用数量积与模长公式求解向量夹角
20.（2026·广东东莞·模拟）已知 ， ， 与 互相垂直，则 与 的夹角为（　　 ）
A. B. C. D.
考法14：利用模长关系平方化简求解向量夹角
21.（2025·河北沧州五县·一模）已知向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（　　 ）
A. B. C. D.
22.（2026·安徽安庆·二模）已知向量 ， ，且 ， ，则向量 ， 夹角的余弦值为（　　 ）
A. B. C. D.
考法15：求解向量夹角的范围及综合问题
23.（2025·广东上进联考·联考）在 中，“ 且 ”是“ 为锐角三角形”的（　　 ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
24.（2025·河北衡水中学·检测）已知向量 ，且 ，则 与 夹角的最大值为（　　 ）
A. B. C. D.
考点五：平面向量的垂直问题
考法16：利用坐标运算求解向量垂直问题
25.（2026·安徽江淮十校·模拟）已知四边形 为平行四边形， 、 、 ， ，若 ，则 的值为（　　 ）
A. B. C. D. 7
26.（2026·河北沧州八校·二模）已知向量 ， ，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
考法17：利用数量积性质求解向量垂直问题
27.（2025·江西稳派上进·联考）已知向量 ， ，若 ，则 （　　 ）
A. B. C. 3 D. 6
考点六：平面向量的实际应用与综合
考法18：建立坐标系解决向量问题
28.（2026·广东广州·一模）已知向量 ， ，向量 满足 ，则 的取值范围是（　　 ）
A. B. C. D.
考法19：向量的综合与创新应用
29.（2026·江苏·检测）等腰直角 中， ， ，点 在 外接圆上运动，若 ，则 的最大值为（　　 ）
A. B. 2 C. D. 3
30.（2026·河南新未来·检测）已知向量 满足 ，定义 ，若 ，则 的最大值为（　　 ）
A. 2 B. 4 C. D.
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一、考情分析 1
二、知识清单 2
三、典题精讲 4
考点一：平面向量的投影、投影向量 4
考点二：平面向量的数量积运算 5
考点三：平面向量的模长 8
考点四：平面向量的夹角 9
考点五：平面向量的垂直问题 12
考点六：平面向量的实际应用与综合 12
四、高考真题 14
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2024 第3题 单选题 5分 直接 平面向量垂直的坐标表示及数量积运算
2025 第6题 单选题 第18题 解答题 22分 直接 间接 向量模长的实际应用 解析几何中结合数量积求点坐标
2026 第16题 解答题 15分 间接 解三角形中结合向量垂直（数量积为0）求参数
近三年全国一卷对平面向量数量积及运算的考查较为稳定，既有直接考查其坐标运算与模长的客观题，也常在解析几何、解三角形等解答题中作为核心工具进行间接考查.
2. 命题角度与特色
（1） 基础性与工具性并重.客观题常直接考查数量积的坐标运算、向量垂直的等价条件及模长计算.
（2） 综合性强.在解答题中，向量数量积常与圆锥曲线、解三角形等知识深度融合，作为转化几何关系（如垂直、距离）的代数工具.
（3） 创设实际情境.如2025年第6题以帆船比赛为背景，考查向量的实际应用与模长计算.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握平面向量数量积的定义、几何意义及坐标运算法则，牢记向量垂直的充要条件.
（2） 强化向量作为工具的应用意识，学会在解析几何、解三角形等综合问题中，利用向量数量积处理垂直、夹角和长度问题.
（3） 关注向量与实际生活的联系，提升从实际情境中抽象出向量模型并进行代数运算的能力.
二、知识清单
1. 平面向量数量积的概念与几何意义
（1） 平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即，规定：零向量与任一向量的数量积为0.
（2） 平面向量数量积的几何意义
① 向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0.
② 的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积.
③ 投影向量：设，是两个非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，，，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.记为.
2. 数量积的运算律与性质
（1） 数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
① .
② .
③ .
（2） 数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则：
① .
② .
③ 当与同向时，；当与反向时，.特别地，或.
④ ().
⑤ .
3. 数量积的坐标运算
（1） 坐标表示
已知非零向量，，为向量、的夹角.
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要条件
的充要条件
与的关系 （当且仅当时等号成立）
4. 易错警示
（1） 平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且.
（2） 数量积不满足消去律.当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有.当时，且时，也不能推出一定有，只能得出.
（3） 数量积不满足结合律.即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于.
（4） 夹角为锐角或钝角的充要条件.非零向量夹角为锐角当且仅当且（即不共向）；夹角为钝角当且仅当且（即不反向）.
三、典题精讲
考点一：平面向量的投影、投影向量
考法1：求解投影向量的坐标及模长
例1.（2026·安徽马鞍山·一模）已知 ， 在 上的投影向量是 ，则 （　　 ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】B
【思路】由投影向量的定义，可将已知条件转化为向量数量积与模长的关系，再利用模长公式展开求值.
【解析】由题意得 在 上的投影向量为 ，则 ，则 ，则 .故选：B.
【规律】求向量模长时，通常采用平方法，将模长问题转化为向量的数量积运算.投影向量的公式是联系数量积与模长的桥梁.
考法2：已知投影（向量）求参数或模长
例2.（2026·江苏苏北四市·一模）已知平面向量 在向量 上的投影向量为 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】投影向量与基准向量 共线，可设出 的坐标，代入投影向量的坐标公式中建立关于参数 的方程.
【解析】∵ 在 上的投影向量为 ，∴ 与 共线.设 ， .则 在 上的投影向量为 .由题意得 ，解得 .∴ ， .
【规律】处理投影向量的坐标问题时，牢记投影向量与被投影的向量共线，通过设共线向量的坐标，可以极大简化运算.
考法3：投影与投影向量的综合应用
例3.（2026·山东泰安·模拟）已知在 中， ，，，M 为 BE 与 CD 的交点，则向量 在 上的投影向量的模的最小值为（　　 ）
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】交点问题优先考虑平面向量基本定理，利用三点共线定理将目标向量用基底表示，再代入投影向量的模长公式，最后利用基本不等式求最值.
【解析】设 ，，则 .∵ ，，设 ，则 .又设 ，则 .由平面向量基本定理得 ，，解得 ，.∴ .向量 在 上的投影向量的模为 .由基本不等式得 ，当且仅当 即 时等号成立.∴ 向量 在 上的投影向量的模的最小值为 .
【规律】解决交点向量表示问题，常用“等和线”或两路表示法建立方程组；求代数式的最值时，基本不等式是首选工具.
【考点一 方法总结】
1. 投影与投影向量的区别与联系：投影是一个数量，可正、可负、可为零；投影向量是一个向量，其方向与基准向量相同或相反.向量 在 上的投影向量公式为 ，它是联系数量积与模长的桥梁.
2. 投影向量的坐标处理技巧：处理投影向量的坐标问题时，牢记投影向量与被投影的向量共线，通过设共线向量的坐标，可以极大简化运算.
3. 交点与模长最值问题：解决交点向量表示问题，常用“等和线”或两路表示法建立方程组；求投影向量模长的最值时，常结合基本不等式或二次函数进行求解.
考点二：平面向量的数量积运算
考法4：利用定义与坐标公式计算数量积
例4.（2025·河北沧衡八县·一模）已知向量 ， ，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】先利用数量积的坐标公式写出表达式，再利用二倍角公式和同角三角函数关系，将表达式转化为只含正切值的齐次式进行求值.
【解析】依题意，.
【规律】遇到形如 的式子，常将其看作分母为 的分式，分子分母同除以 转化为 的表达式.
考法5：利用基底与线性表示计算数量积
例5.（2026·湖北云学联盟·模拟） 中， ， ， 是 的中点，则 （　　 ）
A. B. 7 C. D. 25
【答案】A
【思路】选取 和 作为基底，将 和 用基底表示，再进行数量积的分配律展开.
【解析】∵ 是 的中点，∴ .又 .∴ .故选 A.
【规律】在三角形中求数量积，若已知两边长，常选这两边对应的向量作为基底，利用向量的线性运算将未知向量转化为基底的运算，从而巧妙避开夹角的计算.
考法6：利用几何性质与投影计算数量积
例6.（2026·广东汕头·一模） 为圆 的一条弦，且 ，则 的值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】2
【思路】利用圆的垂径定理构造直角三角形，结合数量积的几何意义，将 在 上的投影转化为线段长度.
【解析】取弦 的中点 ，连接 ，根据圆的垂径定理，可得 ，如图.∵ ,∴ .根据向量数量积的几何意义： .
【规律】处理与圆相关的数量积问题时，垂径定理是核心几何性质.利用数量积的几何意义（投影乘积）可直接得出结果，无需建立坐标系或求夹角.
考法7：求解向量数量积的最值与范围
例7.（2026·山东聊城·模拟）已知 ， ，且满足 ，则 的最大值为（　　 ）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
【答案】D
【思路】由数量积为零挖掘出直角和圆的隐藏条件，再利用极化恒等式将目标数量积转化为线段长度的最值问题.
【解析】由 知 .∴ 点 在以 为直径的圆上.设 的中点为 ，则 为圆心，，∴ 圆 的半径 .∵ 是 的中点，∴ .要求 的最大值，即求 的最大值.已知 ，且 在圆 上，半径为 1.根据三角形不等式，.当 三点共线且 在 之间时， 取得最大值 5.∴ 的最大值为 .
【规律】遇到起点相同、终点为定线段两端点的两个向量的数量积，首选极化恒等式 （ 为 中点），可将数量积最值转化为中线长度的最值.
考法8：数量积的综合应用与新定义
例8.（2026·山东九五协作体·检测）已知 为向量，则“ ”是“ 或 ”的（　　 ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【思路】从充分性和必要性两个方向分别推导.注意向量数量积为零不仅包含向量为零向量的情况，还包含两非零向量垂直的情况.
【解析】若 ，则 ，∴ 成立；若 ，则 成立.即必要性成立.若 ，则可能 且 且 ，此时 且 ，即充分性不成立.∴ “ ”是“ 或 ”的必要不充分条件.故选 B.
【规律】判断向量关系的充要条件时，务必警惕“垂直”这一特殊情况.数量积为零不能直接推出其中一个向量为零向量.
【考点二 方法总结】
1. 数量积的计算策略：
（1） 定义法：已知模长和夹角时直接使用.
（2） 坐标法：已知坐标时，利用公式 计算，常结合三角恒等变换（如齐次化处理）求解.
（3） 基底法：在多边形中，若已知两边长及夹角，常选这两边对应的向量作为基底，利用向量的线性运算将未知向量转化为基底的运算.
（4） 几何意义法：处理与圆、投影相关的数量积问题时，利用数量积等于一个向量的模与另一个向量在该向量方向上投影的乘积，可直接得出结果.
2. 数量积的最值问题：遇到起点相同、终点为定线段两端点的两个向量的数量积，首选极化恒等式 ，可将数量积最值转化为中线长度的最值.
3. 易错性质防坑：判断向量关系的充要条件时，务必警惕“垂直”与“零向量”这两种特殊情况.数量积为零不能直接推出其中一个向量为零向量；等式两边不能同时约去一个非零向量.
考点三：平面向量的模长
考法9：利用坐标运算求解向量模长
例9.（2025·广东深圳高中园·一模）已知向量 满足 ， ，则 （　　 ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】D
【思路】将已知条件看作关于 和 的方程组，解出两向量的坐标，再利用坐标公式计算模长的平方差.
【解析】由 ， 可得 ， ，故 ，故选：D.
【规律】已知两个向量的和与差的坐标，可通过解线性方程组直接求出原向量的坐标，进而求出模长.
考法10：利用数量积与平方法求解向量模长
例10.（2026·山东德州·一模）若平面向量 两两夹角相等，且 ， ， ，则 （　　 ）
A. B. 36 C. 或 6 D. 3 或 36
【答案】C
【思路】先根据平面向量的共面性确定三个向量两两夹角的可能值，再利用模长平方法展开计算.
【解析】∵ 平面向量 ， ， 两两夹角相等，∴ 夹角有两种情况，即 ， ， 两两夹角为 或 ，当夹角为 时， ；当夹角为 时， ， ， ，则 ；综上所述： 或 .
【规律】平面内三个非零向量两两夹角相等，夹角只能是 或 （空间中可能为 ），分类讨论是防坑关键.求和向量模长时，平方展开是标准动作.
考法11：求解向量模长的最值与范围
例11.（2025·江西上进联考·检测）（多选）已知 均为单位向量，且 ，则（　　 ）
A.
B.
C. 当实数 变化时， 的最小值为
D. 若 ，则
【答案】ACD
【思路】对已知等式两边平方，构造关于数量积 的一元二次方程，解出数量积后，再逐项分析各个选项.
【解析】由 得 ，解得 （舍去）或 ，∵ 均为单位向量，则 ，故 A 正确； ，故 B 错误； ，当且仅当 时取等号，故 C 正确；由 ，则 ，∴ ，整理得 ，即 ，故 D 正确.故选 ACD.
【规律】遇到形如 的条件，果断两边平方.注意平方后需检验 的符号是否满足原等式右侧的要求.
【考点三 方法总结】
1. 模长的基本求法：
（1） 坐标法：已知向量坐标，直接利用 求解.若已知两个向量的和与差的坐标，可通过解线性方程组直接求出原向量的坐标.
（2） 平方法：求向量模长或含模长的等式问题，通常采用平方法，利用 ，将模长问题转化为向量的数量积运算.
2. 隐含条件的挖掘：平面内三个非零向量两两夹角相等时，夹角只能是 或 ，必须分类讨论防坑.
3. 模长最值与范围：遇到形如 的条件，果断两边平方构造方程.求形如 的最值时，平方后转化为关于参数 的二次函数求最值.
考点四：平面向量的夹角
考法12：利用坐标运算求解向量夹角
例12.（2026·山东临沂·模拟）已知向量 ，则向量 与 的夹角正切值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】1
【思路】先通过向量的线性坐标运算求出向量 的坐标，再利用夹角余弦公式求出余弦值，进而确定夹角及正切值.
【解析】由 ， 得 ，即 .∴ ，，.设向量 与 的夹角为 ，则 .∵ ，∴ ，则 .
【规律】坐标法求夹角，核心是 .求出余弦值后，务必结合向量夹角的范围 确定最终的角.
考法13：利用数量积与模长公式求解向量夹角
例13.（2026·广东东莞·模拟）已知 ， ， 与 互相垂直，则 与 的夹角为（　　 ）
A. B. C. D.
【答案】C
【思路】将垂直条件转化为数量积为零，展开后代入已知模长，求出 的值，再利用夹角公式求解.
【解析】∵ ，∴ ，∵ 与 互相垂直，∴ ，解得 ，∴ ，即 与 的夹角为 .故选：C.
【规律】向量垂直的代数等价条件是数量积为零.展开数量积表达式是建立未知量与已知量方程的常用手段.
考法14：利用模长关系平方化简求解向量夹角
例14.（2026·安徽安庆·二模）已知向量 ， ，且 ， ，则向量 ， 夹角的余弦值为（　　 ）
A. B. C. D.
【答案】C
【思路】将模长用根号下的平方和表示，代入已知等式构建关于夹角余弦值的无理方程，通过移项平方解方程.
【解析】设向量 ， 夹角为 ，由条件知 ，即 ，得 ，解得 ，故选 C.
【规律】处理含有多个模长加减的等式，直接平方可能导致交叉项复杂.常将模长转化为 的形式，再解根式方程.
考法15：求解向量夹角的范围及综合问题
例15.（2025·河北衡水中学·检测）已知向量 ，且 ，则 与 夹角的最大值为（　　 ）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】先求出 与 的夹角，建立坐标系求出 的坐标.将 转化为圆的方程，利用参数方程设出 的坐标，最后通过三角函数求夹角的最值.
【解析】∵ ，∴ ，解得 ，故 ，设 ， ，则 ，设 ，则 ，则 ，即 ，设 ，设 夹角为 ，则 ，令 ，则 ，则 ，令 ，则 ，则 ，其中 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时， 取得最小值，最小值为 ，当 或 3 时， 取得最大值，最大值为 1，故 ，由于 在 上单调递减，故 ， 与 夹角的最大值为 .故选 A.
【规律】处理动向量的夹角最值问题，建系转化为解析几何中的圆与直线关系，或利用三角换元转化为代数函数求最值，是突破此类难题的通法.
【考点四 方法总结】
1. 夹角的计算公式与范围：求夹角的核心是 .求出余弦值后，务必结合向量夹角的范围 确定最终的角.
2. 夹角与数量积符号的关系： 是夹角为锐角的必要不充分条件（需排除同向共线）； 是夹角为钝角的必要不充分条件（需排除反向共线）.
3. 复杂等式的处理：处理含有多个模长加减的等式，直接平方可能导致交叉项复杂.常将模长转化为 的形式，再解根式方程.
4. 动向量夹角最值：处理动向量的夹角最值问题，建系转化为解析几何中的圆与直线关系，或利用三角换元转化为代数函数求最值，是突破此类难题的通法.
考点五：平面向量的垂直问题
考法16：利用坐标运算求解向量垂直问题
例16.（2026·安徽江淮十校·模拟）已知四边形 为平行四边形， 、 、 ， ，若 ，则 的值为（　　 ）
A. B. C. D. 7
【答案】D
【思路】先利用平行四边形的向量相等性质求出顶点 的坐标，得出 的坐标，再利用向量垂直的坐标表示列方程求解.
【解析】设 ，则 ，，，∴ ，解得 ，∴ ，∴ ，而 ，，∴ ，选 D.
【规律】平行四边形顶点坐标的求解常利用对边向量相等（如 ）.向量垂直的坐标充要条件 是解题的最终落脚点.
考法17：利用数量积性质求解向量垂直问题
例17.（2025·江西稳派上进·联考）已知向量 ， ，若 ，则 （　　 ）
A. B. C. 3 D. 6
【答案】A
【思路】直接利用向量垂直数量积为零求出参数 ，再代入模长公式计算.
【解析】依题意， ，解得 ，故 .故选 A.
【规律】已知向量垂直求参数，直接令数量积为零即可.这是向量中最基础也是最高频的考法之一.
【考点五 方法总结】
1. 垂直的代数转化：向量垂直的代数等价条件是数量积为零，即 .在坐标表示下，等价于 .这是处理垂直问题最基础也是最高频的切入点.
2. 结合几何性质：在四边形（如平行四边形）中，常先利用对边向量相等（如 ）求出顶点坐标，再利用垂直的坐标条件列方程求解未知参数.
考点六：平面向量的实际应用与综合
考法18：建立坐标系解决向量问题
例18.（2026·广东广州·一模）已知向量 ， ，向量 满足 ，则 的取值范围是（　　 ）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】设出未知向量的坐标，将抽象的向量数量积等式转化为直线的解析式，从而将向量模长最值转化为点到直线的距离.
【解析】设 .已知 ， ，∴ .则 ，即 .因 表示点 到原点的距离，而点 是直线 上的点，故 的最小值即为原点到直线 的距离 ，∵ 点 在直线 上，∴ 可无限大，∴ 的取值范围是 .
【规律】遇到动向量满足某种线性数量积关系求模长最值时，坐标化是最佳途径.将其转化为解析几何中的距离模型，能直观快速求解.
考法19：向量的综合与创新应用
例19.（2026·河南新未来·检测）已知向量 满足 ，定义 ，若 ，则 的最大值为（　　 ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】D
【思路】理解新定义本质是向量叉乘的模.设出模长与夹角，利用已知等式平方建立模长与夹角的关系，代入新定义表达式后，转化为三角函数求最值.
【解析】设 ，.由 得 .即 .∴ .设 ，则 ，即 .∴ .∵ ，∴ .∴ .∴ 的最大值为 .
【规律】应对新定义向量问题，关键是“翻译”.将新运算符号翻译为常规的模长与夹角表达式，再结合辅助角公式或基本不等式处理最值.
【考点六 方法总结】
1. 坐标系法：遇到动向量满足某种线性数量积关系求模长最值时，坐标化是最佳途径.将其转化为解析几何中的距离模型（如点到直线的距离），能直观快速求解.
2. 新定义问题的“翻译”：应对新定义向量问题，关键是“翻译”.将新运算符号翻译为常规的模长与夹角表达式，再结合辅助角公式或基本不等式处理最值.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷·第3题）已知向量 ，若 ，则 （　　 ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】∵ ，∴ .∴ ，即 ，故 .故选D.
2.（2025·全国一卷·第6题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.左图给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如右图（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（　　 ）
A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风
【答案】A
【解析】由题意及图得，视风风速对应的向量为：.视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，船速方向和船行风速的向量方向相反，设真风风速对应的向量为 ，船行风速对应的向量为 ，∴ ，船行风速：.∴ .由表得，真风风速为轻风.故选A.
3.（2025·全国一卷·第18题）设椭圆 的离心率为 ，下顶点为A，右顶点为B，.
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足 .
（i） 设 ，求点R的坐标（用m，n表示）；
（ii） 设O为坐标原点，M是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求 的最大值.
【答案】（1） （2） （i） （ii）
【解析】（1） 由题可知，，，∴ ，解得 ，，.故椭圆的标准方程为 .
（2） （i） 设 ，易知 .∵ ，，∴ .又点R在射线AP上，∴ ，且 .联立解得 ，.∴ 点R的坐标为 .
（ii） ∵ ，，由 ，可得 ，化简得 ，即 ().∴ 点P在以 为圆心， 为半径的圆上（除去两个点）. 为M到圆心N的距离加上半径.设 ，∴ ，当且仅当 时取等号.∴ .
4.（2026·全国一卷·第16题）已知在 中，，，.
（1） 求 ；
（2） 设D，E两点满足：D在BA的延长线上，，.若 ，求 .
【答案】（1） （2）
【解析】（1） 在 中，由余弦定理可知 ，故 .再由余弦定理得 .
（2） 以A为原点，AB为x轴正方向建立平面直角坐标系.
则 ，，由 ， 得 .D在BA延长线上，设 ，则 ，.∵ ，设 ，则 .由 ，得 ，故 ，解得 .于是 .已知 ，则 ，解得 ，则 .代入得 ，而 ，故 .
第 2 页，共 17 页第33讲 平面向量的数量积及运算 · 讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 2
三、典题精练 4
考点一：平面向量的投影、投影向量 4
考点二：平面向量的数量积运算 4
考点三：平面向量的模长 5
考点四：平面向量的夹角 6
考点五：平面向量的垂直问题 7
考点六：平面向量的实际应用与综合 8
四、高考真题 8
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2024 第3题 单选题 5分 直接 平面向量垂直的坐标表示及数量积运算
2025 第6题 单选题 第18题 解答题 22分 直接 间接 向量模长的实际应用 解析几何中结合数量积求点坐标
2026 第16题 解答题 15分 间接 解三角形中结合向量垂直（数量积为0）求参数
近三年全国一卷对平面向量数量积及运算的考查较为稳定，既有直接考查其坐标运算与模长的客观题，也常在解析几何、解三角形等解答题中作为核心工具进行间接考查.
2. 命题角度与特色
（1） 基础性与工具性并重.客观题常直接考查数量积的坐标运算、向量垂直的等价条件及模长计算.
（2） 综合性强.在解答题中，向量数量积常与圆锥曲线、解三角形等知识深度融合，作为转化几何关系（如垂直、距离）的代数工具.
（3） 创设实际情境.如2025年第6题以帆船比赛为背景，考查向量的实际应用与模长计算.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握平面向量数量积的定义、几何意义及坐标运算法则，牢记向量垂直的充要条件.
（2） 强化向量作为工具的应用意识，学会在解析几何、解三角形等综合问题中，利用向量数量积处理垂直、夹角和长度问题.
（3） 关注向量与实际生活的联系，提升从实际情境中抽象出向量模型并进行代数运算的能力.
二、知识清单
1. 平面向量数量积的概念与几何意义
（1） 平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即，规定：零向量与任一向量的数量积为0.
（2） 平面向量数量积的几何意义
① 向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0.
② 的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积.
③ 投影向量：设，是两个非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，，，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.记为.
2. 数量积的运算律与性质
（1） 数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
① .
② .
③ .
（2） 数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则：
① .
② .
③ 当与同向时，；当与反向时，.特别地，或.
④ ().
⑤ .
3. 数量积的坐标运算
（1） 坐标表示
已知非零向量，，为向量、的夹角.
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要条件
的充要条件
与的关系 （当且仅当时等号成立）
4. 易错警示
（1） 平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且.
（2） 数量积不满足消去律.当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有.当时，且时，也不能推出一定有，只能得出.
（3） 数量积不满足结合律.即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于.
（4） 夹角为锐角或钝角的充要条件.非零向量夹角为锐角当且仅当且（即不共向）；夹角为钝角当且仅当且（即不反向）.
三、典题精练
考点一：平面向量的投影、投影向量
考法1：求解投影向量的坐标及模长
例1.（2026·安徽马鞍山·一模）已知 ， 在 上的投影向量是 ，则 （　　 ）
A. B. 2 C. D. 4
考法2：已知投影（向量）求参数或模长
例2.（2026·江苏苏北四市·一模）已知平面向量 在向量 上的投影向量为 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
考法3：投影与投影向量的综合应用
例3.（2026·山东泰安·模拟）已知在 中， ，，，M 为 BE 与 CD 的交点，则向量 在 上的投影向量的模的最小值为（　　 ）
A. B. C. D.
【考点一 方法总结】
1. 投影与投影向量的区别与联系：投影是一个数量，可正、可负、可为零；投影向量是一个向量，其方向与基准向量相同或相反.向量 在 上的投影向量公式为 ，它是联系数量积与模长的桥梁.
2. 投影向量的坐标处理技巧：处理投影向量的坐标问题时，牢记投影向量与被投影的向量共线，通过设共线向量的坐标，可以极大简化运算.
3. 交点与模长最值问题：解决交点向量表示问题，常用“等和线”或两路表示法建立方程组；求投影向量模长的最值时，常结合基本不等式或二次函数进行求解.
考点二：平面向量的数量积运算
考法4：利用定义与坐标公式计算数量积
例4.（2025·河北沧衡八县·一模）已知向量 ， ，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
考法5：利用基底与线性表示计算数量积
例5.（2026·湖北云学联盟·模拟） 中， ， ， 是 的中点，则 （　　 ）
A. B. 7 C. D. 25
考法6：利用几何性质与投影计算数量积
例6.（2026·广东汕头·一模） 为圆 的一条弦，且 ，则 的值为＿＿＿＿＿＿.
考法7：求解向量数量积的最值与范围
例7.（2026·山东聊城·模拟）已知 ， ，且满足 ，则 的最大值为（　　 ）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
考法8：数量积的综合应用与新定义
例8.（2026·山东九五协作体·检测）已知 为向量，则“ ”是“ 或 ”的（　　 ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【考点二 方法总结】
1. 数量积的计算策略：
（1） 定义法：已知模长和夹角时直接使用.
（2） 坐标法：已知坐标时，利用公式 计算，常结合三角恒等变换（如齐次化处理）求解.
（3） 基底法：在多边形中，若已知两边长及夹角，常选这两边对应的向量作为基底，利用向量的线性运算将未知向量转化为基底的运算.
（4） 几何意义法：处理与圆、投影相关的数量积问题时，利用数量积等于一个向量的模与另一个向量在该向量方向上投影的乘积，可直接得出结果.
2. 数量积的最值问题：遇到起点相同、终点为定线段两端点的两个向量的数量积，首选极化恒等式 ，可将数量积最值转化为中线长度的最值.
3. 易错性质防坑：判断向量关系的充要条件时，务必警惕“垂直”与“零向量”这两种特殊情况.数量积为零不能直接推出其中一个向量为零向量；等式两边不能同时约去一个非零向量.
考点三：平面向量的模长
考法9：利用坐标运算求解向量模长
例9.（2025·广东深圳高中园·一模）已知向量 满足 ， ，则 （　　 ）
A. B. C. 0 D. 1
考法10：利用数量积与平方法求解向量模长
例10.（2026·山东德州·一模）若平面向量 两两夹角相等，且 ， ， ，则 （　　 ）
A. B. 36 C. 或 6 D. 3 或 36
考法11：求解向量模长的最值与范围
例11.（2025·江西上进联考·检测）（多选）已知 均为单位向量，且 ，则（　　 ）
A.
B.
C. 当实数 变化时， 的最小值为
D. 若 ，则
【考点三 方法总结】
1. 模长的基本求法：
（1） 坐标法：已知向量坐标，直接利用 求解.若已知两个向量的和与差的坐标，可通过解线性方程组直接求出原向量的坐标.
（2） 平方法：求向量模长或含模长的等式问题，通常采用平方法，利用 ，将模长问题转化为向量的数量积运算.
2. 隐含条件的挖掘：平面内三个非零向量两两夹角相等时，夹角只能是 或 ，必须分类讨论防坑.
3. 模长最值与范围：遇到形如 的条件，果断两边平方构造方程.求形如 的最值时，平方后转化为关于参数 的二次函数求最值.
考点四：平面向量的夹角
考法12：利用坐标运算求解向量夹角
例12.（2026·山东临沂·模拟）已知向量 ，则向量 与 的夹角正切值为＿＿＿＿＿＿.
考法13：利用数量积与模长公式求解向量夹角
例13.（2026·广东东莞·模拟）已知 ， ， 与 互相垂直，则 与 的夹角为（　　 ）
A. B. C. D.
考法14：利用模长关系平方化简求解向量夹角
例14.（2026·安徽安庆·二模）已知向量 ， ，且 ， ，则向量 ， 夹角的余弦值为（　　 ）
A. B. C. D.
考法15：求解向量夹角的范围及综合问题
例15.（2025·河北衡水中学·检测）已知向量 ，且 ，则 与 夹角的最大值为（　　 ）
A. B. C. D.
【考点四 方法总结】
1. 夹角的计算公式与范围：求夹角的核心是 .求出余弦值后，务必结合向量夹角的范围 确定最终的角.
2. 夹角与数量积符号的关系： 是夹角为锐角的必要不充分条件（需排除同向共线）； 是夹角为钝角的必要不充分条件（需排除反向共线）.
3. 复杂等式的处理：处理含有多个模长加减的等式，直接平方可能导致交叉项复杂.常将模长转化为 的形式，再解根式方程.
4. 动向量夹角最值：处理动向量的夹角最值问题，建系转化为解析几何中的圆与直线关系，或利用三角换元转化为代数函数求最值，是突破此类难题的通法.
考点五：平面向量的垂直问题
考法16：利用坐标运算求解向量垂直问题
例16.（2026·安徽江淮十校·模拟）已知四边形 为平行四边形， 、 、 ， ，若 ，则 的值为（　　 ）
A. B. C. D. 7
考法17：利用数量积性质求解向量垂直问题
例17.（2025·江西稳派上进·联考）已知向量 ， ，若 ，则 （　　 ）
A. B. C. 3 D. 6
【考点五 方法总结】
1. 垂直的代数转化：向量垂直的代数等价条件是数量积为零，即 .在坐标表示下，等价于 .这是处理垂直问题最基础也是最高频的切入点.
2. 结合几何性质：在四边形（如平行四边形）中，常先利用对边向量相等（如 ）求出顶点坐标，再利用垂直的坐标条件列方程求解未知参数.
考点六：平面向量的实际应用与综合
考法18：建立坐标系解决向量问题
例18.（2026·广东广州·一模）已知向量 ， ，向量 满足 ，则 的取值范围是（　　 ）
A. B. C. D.
考法19：向量的综合与创新应用
例19.（2026·河南新未来·检测）已知向量 满足 ，定义 ，若 ，则 的最大值为（　　 ）
A. 2 B. 4 C. D.
【考点六 方法总结】
1. 坐标系法：遇到动向量满足某种线性数量积关系求模长最值时，坐标化是最佳途径.将其转化为解析几何中的距离模型（如点到直线的距离），能直观快速求解.
2. 新定义问题的“翻译”：应对新定义向量问题，关键是“翻译”.将新运算符号翻译为常规的模长与夹角表达式，再结合辅助角公式或基本不等式处理最值.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷·第3题）已知向量 ，若 ，则 （　　 ）
A. B. C. 1 D. 2
2.（2025·全国一卷·第6题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.左图给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如右图（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（　　 ）
A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风
3.（2025·全国一卷·第18题）设椭圆 的离心率为 ，下顶点为A，右顶点为B，.
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足 .
（i） 设 ，求点R的坐标（用m，n表示）；
（ii） 设O为坐标原点，M是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求 的最大值.
4.（2026·全国一卷·第16题）已知在 中，，，.
（1） 求 ；
（2） 设D，E两点满足：D在BA的延长线上，，.若 ，求 .
第 2 页，共 17 页第33讲 平面向量的数量积及其度量与应用
综合测试（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
A B C A B
6 7 8 9 10
B A A AB AC
11 12 13 14 15
ABC （或） （1） （2）
16 17 18 19
（1） （2）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2025·青岛·一模）已知，，则在上的投影向量为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在上的投影向量为.
【点拨】本题考查投影向量的坐标运算，熟练掌握投影向量的计算公式是解题关键.
2.（2025·九江·一模）已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，
在上的投影向量为.
【点拨】本题考查投影向量的计算，根据投影向量的定义结合已知条件进行求解即可.
3.（2026·佛山·检测）已知非零向量满足，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，根据题意可得，两边平方得，
展开整理得，代入，
得，即，所以.
【点拨】本题考查平面向量数量积的运算，通过移项平方构造数量积关系是解题的关键.
4.（2026·南通·一模）已知，，与的夹角为，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得.
【点拨】本题考查平面向量数量积的计算，直接利用数量积的定义求解即可.
5.（2026·济宁·三模）在平面四边形中，，向量的夹角为，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
，
.
故选：B.
【点拨】本题考查平面向量的线性运算与数量积，利用基底表示目标向量并平方求模是常用的解题策略.
6.（2026·江西三新协同教研共同体·4月训练）如图，在中，，是边上靠近点的三等分点，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为是边上靠近点的三等分点，所以，
.
【点拨】本题考查平面向量基本定理及数量积的运算，选取合适的基底表示向量是解题的关键.
7.（2026·省十教育·最后一卷）不共线的两个单位向量满足，若，则实数的值为（ 　　）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】因为为单位向量，，两边平方得，解得或，当时，，所以，所以共线，不满足题意；当时，由，得，所以.故选A.
【点拨】本题考查向量模与数量积的关系及向量垂直的充要条件，通过平方转化求出数量积是解题的突破口.
8.（2026·滨州·二模）设，且，，，则它们的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】首先比较的大小，
令，求导得在上恒成立，
所以在上单调递增.因为，所以.
又因为在上恒成立，且，所以，
所以，所以即.
由于在上单调递增，则.
其次比较的大小，
令，求导得，
因为，所以，所以且，
所以，所以在上单调递减.
所以.
又因为在上恒成立，所以，
又因为在上单调递减，所以，
即，由单调性可知.
综合以及，所以.
【点拨】本题考查利用导数比较大小，构造合适的函数并利用其单调性是比较大小的常用方法.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·百师联盟·一模）如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（ 　　）
A.
B.
C. 与的夹角为
D. 在方向上的投影为
【答案】AB
【解析】因为，，所以.
在A中，由，可得，故A正确；
在B中，由，可得，故B正确；
在C中，由，可得与的夹角为，故C错误；
在D中，在方向上的投影为，故D错误.
故选:AB.
【点拨】本题考查平面向量的共线定理、模长及投影的计算，熟练掌握向量的坐标运算是解题关键.
10.（2026·滁州·一模）已知平面向量，满足，，则下列结论正确的是（ 　　）
A.
B. 与的夹角为
C. 向量在向量上的投影向量为
D.
【答案】AC
【解析】因为，，所以，即，也即，解得，故A正确；
，故与的夹角不为，故B错误；
向量在向量上的投影向量为，故C正确；
，故D错误.
故选：AC.
【点拨】本题考查平面向量数量积的运算及投影向量的求解，利用向量模的平方转化求出数量积是解题核心.
11.（2026·阜阳·一模）已知向量满足，则下列结论正确的是（ 　　）
A.
B. 与的夹角为
C.
D. 向量在向量上的投影向量为
【答案】ABC
【解析】由，得，即，又，所以，解得，故A正确；
，因为，所以与的夹角为，故B正确；
，故C正确；
向量在向量上的投影向量为，故D错误.
故选：ABC.
【点拨】本题考查平面向量的数量积、夹角、模长及投影向量的综合应用，熟练掌握相关公式是解题关键.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2025·上进联考·5月测评）已知向量，，则在上的投影向量的坐标为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】在上的投影向量为.
【点拨】本题考查投影向量的坐标表示，直接代入投影向量的计算公式即可求解.
13.（2026·杭州二中·5月阶段测试）已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】，，
因为，所以，
解得.所以，，
所以在方向上的投影向量的坐标为.
【点拨】本题考查向量垂直的坐标表示及投影向量的计算，先利用垂直关系求出参数是解题的关键.
14.（2026·福漳南三市·二模）已知单位向量满足，则＿＿＿＿＿＿．
【答案】（或）
【解析】因为为单位向量，所以，又因为，
展开得，由于，代入得，
所以，
因为，所以.
【点拨】本题考查向量垂直的充要条件及向量夹角的计算，利用数量积的运算性质求出夹角的余弦值是解题核心.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（2026·杭州二中·5月阶段测试）在中，内角，，满足．
（1）求；
（2）若为边上一点，，，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）由， 2 分
所以，
所以，又为三角形内角，所以， 4 分
所以. 6 分
（2）因为，所以， 8 分
所以， 10 分
又，所以，，
所以面积. 13 分
【点拨】本题考查正弦定理、三角恒等变换及平面向量在解三角形中的应用，利用向量数量积求出边长是解题的关键.
16.（2026·百师联盟·一模）已知平面向量，，，且，．
（1）求在方向上的投影向量；
（2）求与的夹角.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1），，解得. 3 分
.
，，. 5 分
.
，
.
所以在方向上的投影向量为. 7 分
（2）由（1）知，，， 10 分
，，. 13 分
设，的夹角为，则：.
，；
即向量与向量的夹角为. 15 分
【点拨】本题考查平面向量共线与垂直的坐标表示、投影向量及夹角的计算，熟练掌握坐标运算公式是解题基础.
17.（2026·宜春十校·二模）葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为2和3，且两球心的距离为，记两球心分别为，，为两个球面交线上一点，求的值．
【答案】
【解析】如图，连接，在中，，，， 5 分
由余弦定理，可得， 10 分
故. 15 分
【点拨】本题考查余弦定理及平面向量数量积的计算，将空间问题转化为平面三角形问题是解题的关键.
18.（2026·济宁·一模）已知中，，，，且点在上，求的值．
【答案】
【解析】中，由，，得， 5 分
，又，且点在上，则， 10 分
所以. 17 分
【点拨】本题考查平面向量数量积的几何意义及直角三角形的性质，利用投影的几何意义可简化计算.
19.（2026·湖衢丽三市·二模）如图，已知正三角形的边长为2，以为圆心的圆与直线相切，若点是圆上的动点，求的最大值．
【答案】
【解析】如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
已知正三角形的边长为2，以为圆心的圆与直线相切，
则，，，圆的半径为， 5 分
因为点是圆上的动点，设，
则，， 10 分
则，
因为，
所以，当时，取得最大值为. 17 分
【点拨】本题考查平面向量数量积的最值问题，建立平面直角坐标系并利用参数方程表示动点坐标是常用的有效方法.
第 2 页，共 17 页第33讲 平面向量的数量积及其度量与应用·综合测试
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，，则在上的投影向量为（ 　　）
A. B. C. D.
2.已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ 　　）
A. B. C. D.
3.已知非零向量满足，则（ 　　）
A. B. C. D.
4.已知，，与的夹角为，则（ 　　）
A. B. C. D.
5.在平面四边形中，，向量的夹角为，，则（ 　　）
A. B. C. D.
6.如图，在中，，是边上靠近点的三等分点，则（ 　　）
A. B. C. D.
7.不共线的两个单位向量满足，若，则实数的值为（ 　　）
A. B. C. 或 D. 或
8.设，且，，，则它们的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（ 　　）
A.
B.
C. 与的夹角为
D. 在方向上的投影为
10.已知平面向量，满足，，则下列结论正确的是（ 　　）
A.
B. 与的夹角为
C. 向量在向量上的投影向量为
D.
11.已知向量满足，则下列结论正确的是（ 　　）
A.
B. 与的夹角为
C.
D. 向量在向量上的投影向量为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为＿＿＿＿＿＿．
13.已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是＿＿＿＿＿＿．
14.已知单位向量满足，则＿＿＿＿＿＿．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在中，内角，，满足．
（1）求；
（2）若为边上一点，，，，求的面积．
16.已知平面向量，，，且，．
（1）求在方向上的投影向量；
（2）求与的夹角.
17.葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为2和3，且两球心的距离为，记两球心分别为，，为两个球面交线上一点，求的值．
18.已知中，，，，且点在上，求的值．
19.如图，已知正三角形的边长为2，以为圆心的圆与直线相切，若点是圆上的动点，求的最大值．
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