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第38讲 数列的通项公式 · 分类练习（解析卷）
考点一：观察法求通项 1
考法1：观察前几项归纳通项公式 1
考法2：结合数学文化与模型观察求通项 2
考点二：由 与 关系求通项 2
考法3：利用 与 关系求通项 2
考法4：利用 与 关系求通项并求和或最值 4
考法5：利用 与 关系求通项并证明不等式 4
考点三：累加法与累乘法求通项 5
考法6：利用累加法求通项 5
考法7：利用累乘法求通项 6
考点四：构造法求通项 7
考法8：待定系数法构造等差或等比数列求通项 7
考法9：同除以指数构造数列求通项 10
考法10：取倒数法构造数列求通项 10
考法11：取对数法构造数列求通项 11
考法12：因式分解法构造数列求通项 12
考点五：特殊递推关系求通项 13
考法13：奇偶分段与正负相间数列求通项 13
考法14：周期数列求通项与求和 14
考法15：前n项积型数列求通项 15
考法16：双数列递推求通项 15
考法17：其他非线性或高阶递推求通项 16
考法18：结合实际情境与模型的递推数列 16
考点六：递推数列的综合应用 17
考法19：递推数列与不等式证明 17
考法20：抽象递推关系求通项 18
考法21：递推数列综合求和（错位相减、裂项相消、分组求和） 18
答案速查表
1 2 3 4 5
D C C BCD
6 7 8 9 10
见解析 （1） （2） 见解析 （1） （2）
11 12 13 14 15
C C 见解析 ABD
16 17 18 19 20
（1）见解析 （2） 见解析 A 见解析
21 22 23 24 25
（1） （2）见解析 ACD （1） （2） C 见解析
26 27 28 29 30
D D 见解析
31 32 33 34 35
； 见解析 （1） （2）见解析 A ACD
36
见解析
考点一：观察法求通项
考法1：观察前几项归纳通项公式
1.若数列 的前 4 项分别是 ，，，，则该数列的一个通项公式为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为数列 的前 4 项分别是 ，，，，正负项交替出现，分子均为 1，分母依次增加 1.所以对照四个选项， 正确.故选D.
【点拨】观察数列的前几项，寻找符号、分子、分母与项数的关系.
考法2：结合数学文化与模型观察求通项
2.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，……，则第十层有（　　）个球．
A. 12 B. 20 C. 55 D. 110
【答案】C
【解析】由题意知：，，，，.所以 .故选C.
【点拨】根据题意列出前几层的球数，寻找相邻两层球数之差的规律.
考点二：由 与 关系求通项
考法3：利用 与 关系求通项
3.（2026·广东茂名·一模）已知数列 的前 项和记为 ，若 ，则 （　　）
A. 15 B. 31 C. 63 D. 127
【答案】C
【解析】当 时，，解得 .当 时，，整理得 .所以数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，故 .则 .故选C.
【点拨】利用 将关于 与 的递推关系转化为 的递推关系.
4.（2026·湖南常德·检测）（多选）已知数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是（　　）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】BCD
【解析】对于A，若 ，当 时，，当 时， 恒成立，无法推出 ，例如数列 ，其前 项和 为 ，满足 ，但 ，故A错误.对于B，若 ，当 时，，即 ，又 恒成立，所以 ，故B正确.对于C，若 ，当 时，，即 ，当 时，，即 ，因为 ，所以 ，故C正确.对于D，若 ，即 ，所以 ，又 ，所以 ，当 时，，所以 ，故D正确.故选BCD.
【点拨】利用 () 将条件转化为关于 的不等式进行分析.
5.（2026·江西九江·二模）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】当 时，；当 时，，两式相减得 ，所以 是首项为 1，公比为 的等比数列，所以 .
【点拨】利用 转化为 的递推关系，再构造等比数列.
6.（2026·广东佛山·检测）已知数列 的前 项和为 ，且 （ 为常数，且 ）.
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） （2）
【解析】（1）当 时，.当 时，.所以 .由于 ，故 ，不适合 .综上， 的通项公式为 .
（2）若 ，由（1）即 ，得 .所以 ， 时，.即 .所以，当 时，.当 时，，即 .所以，当 时，.当 时，.所以 .当 时，.当 时， 也满足.综上，.
【点拨】第一问利用 求解，注意检验 的情况；第二问利用裂项相消法求和.
考法4：利用 与 关系求通项并求和或最值
7.（2026·山东烟台·检测）已知正项数列 的前 项和为 ，，且 .
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 求数列 的前 项和 .
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为 ，所以 ，.所以 ，即 .当 时，.两式相减，可得 ，整理得 .所以 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，所以 .
（2）.所以 .整理得 .
【点拨】第一问将条件转化为 ，结合 求解；第二问利用裂项相消法求和.
考法5：利用 与 关系求通项并证明不等式
8.已知 是各项都为正数的数列， 为其前 项和，且 ，，
（1） 求数列 的通项 ；
（2） 证明：.
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】（1） 法一：因为 ，所以当 时，.所以 ，.两式相减可得 ，又 .所以 是首项为 1，公差为 1 的等差数列.所以 ，即 .故当 时，.经验证，当 时， 满足上式.所以 .法二：因为 ，所以当 时，.故 ，等号两边平方得 .设 ，则 ，又 .所以 是首项为 2，公差为 4 的等差数列.故 ，即 ，则 .故 ，则 ，解得 或 .当 时，，则 ，而 .矛盾，舍去.当 时，经验证，满足题意，故 .
（2） 由法一易知 .由法二易得 .故由 （1） 得，.所以 ，命题得证.
【点拨】第一问利用 转化为 的递推关系；第二问利用放缩法和裂项相消法证明不等式.
考点三：累加法与累乘法求通项
考法6：利用累加法求通项
9.（2025·河北承德·一模）已知数列 满足 且 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，，，.所以 .因为 ，所以 .
【点拨】利用累加法求出 的表达式，再进行代数变形.
10.（2024·广东新南方·联考）数列 满足 .
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 若数列 满足 ，求数列 的前 项和.
【答案】（1） （2）
【解析】（1），因此 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列.设 的前 项和为 ，则 .又由 ，得 .当 时，经检验也满足 ，.
（2），因此 .
【点拨】第一问利用累加法求通项；第二问利用裂项相消法求和.
考法7：利用累乘法求通项
11.（2026·河北名校·一模）已知数列 满足 ，，且 ，若 ，数列 的前 项和为 ，则满足 的正整数 的最大值为（　　）
A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
【答案】C
【解析】由 可得，，又 ，所以数列 是首项为 2，公差为 1 的等差数列，所以 .
当 时，，又 ，也符合 ，故 .
所以 .
当 为偶数时，.
当 为奇数且 时， 为偶数，则 .
又 符合上式，故当 为奇数时，.
当 为偶数时，，当 为奇数时，，故 .
由 可得 ，即 ，故满足条件的 的最大值为 23.
故选C.
【点拨】将递推式变形为 ，利用累加法或等差数列求出 ，再用累乘法求出 .
12.（2026·湖南师大附中·模拟）设数列 的前 项和为 ，，且 ，则 的最小值为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由 ，得 ，又 ，所以 ，则 为等差数列，得 .所以 ，又 ，当 时，，当 时，，所以当 时， 取到最小值 .
【点拨】将递推式变形为 ，判断数列 为常数列，求出 和 ，再利用基本不等式求最小值.
13.（2026·浙江精诚联盟·模拟）已知数列 的前 项和为 ，，且对 ，．
（1） 求 ；
（2） 证明：．
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】（1）由 可得 ，两边同除以 ，得 ，所以 .因为 ，且 ，解得 ，所以 ，所以 ，所以 .
（2）证明：由（1）知数列 为等差数列，则 ，所以 ，故 ，因为 ，所以 得证.
【点拨】第一问将递推式变形，构造等差数列求通项；第二问利用裂项相消法证明不等式.
考点四：构造法求通项
考法8：待定系数法构造等差或等比数列求通项
14.（2026·河南湘豫联盟·检测）（多选）记数列 的前 项和为 ，且 ，，，设 ，则（　　）
A. B. 数列 为等比数列
C. D. 的最大值为 53
【答案】ABD
【解析】.当 时，，解得 ，A正确.由 ，得 ，结合 ，得 ，即 ，又 ，所以数列 是以 为首项，2 为公比的等比数列，B正确.由 B，可得 ，即 ，所以 .又 符合上式，所以 ，C错误.当 时，，即 单调递增；当 时，，即 单调递减.所以 ，所以 的最大值为 ，D正确.故选ABD.
【点拨】利用待定系数法将递推式转化为等比数列，求出 ，再用累加法求 .
15.（2026·江苏南京·一模）已知数列 满足 ，且 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】设 ，则 .
由 ，解得 .
.
又 ，所以数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列.
，.
【点拨】利用待定系数法构造等比数列 求解.
16.（2026·安徽淮北·检测）已知数列 满足 ，，．
（1） 设 ，求证：数列 为等比数列；
（2） 求 的通项公式．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）由 得：，
即 ，故 为等比数列；
（2），由（1）得 .
即 ，
于是 .
【点拨】第一问将递推式变形为 证明；第二问利用累加法求通项.
17.（2025·河北保定·二模）已知数列 中，若 ，其中 均为常数， 是一元二次方程 的两个实根，证明：．
（2） 若数列 满足 ， 对应的一元二次方程为 ，该方程有两个实数根 ，则 ，其中 均为常数．已知数列 满足 ，且 ．
①求 的通项公式；
②若数列 满足 ，且 ，求 的前 项和 ．
【答案】（1）证明见解析 （2）① ②答案见解析
【解析】（1）证明:因为 是方程 ，即 两个实根，
所以 ，
则
，
得证；
（2）①解:由题意知 的一元二次方程为 ，
解得 ，
根据题意，不妨取 ，
设 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，
故 ，
②解:由 ，
得 ，
因为 ，
所以由①知 ，
则 .
设 ，
则 ，
则
所以 .
当 为偶数时，；
当 为奇数时，.
【点拨】第一问直接代入验证；第二问利用第一问的结论求 ，再通过换元转化为求 的通项，最后分组求和.
考法9：同除以指数构造数列求通项
18.已知数列 满足 ，，求数列 的通项公式．
【答案】
【解析】将 两边除以 ，
得 ，则 ，
故数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
则 ，
∴数列 的通项公式为 .
【点拨】在递推式两边同除以 ，构造等差数列求解.
考法10：取倒数法构造数列求通项
19.（2026·山东济宁·模拟）已知数列 的首项 ，且满足 ，则 （　　）
A. B. C. 10 D. 12
【答案】A
【解析】由题意可得：，令 ，则可得：，所以 等差数列，公差为 2.又因为 ，所以 ，所以 .故选A.
【点拨】对递推式两边取倒数，构造等差数列求解.
20.（2026·浙江县域联盟·模拟）已知数列 满足 ，．
（1） 证明：数列 是等差数列；
（2） 若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析
【解析】（1）证明：数列 满足 ，则 ，于是 ，即 ，而 ，所以数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列.
（2）由（1）知，，即 ，则 ，所以 ，当 时，，当 时，，所以当 时，；当 时，.综上所述：.
【点拨】第一问将递推式减 1 后取倒数证明；第二问求出 后，分段去绝对值求和.
考法11：取对数法构造数列求通项
21.已知数列 满足 ，．
（1） 证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（2） 若 ，数列 的前 项和 ，求证：．
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】（1） 因为 ，所以 ，
则 ，
又 ，
所以数列 是以 为首项，2 为公比的等比数列，
则 ，
所以 ；
（2） 由 ，得 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
【点拨】第一问将递推式变形为 ，两边取对数构造等比数列；第二问利用裂项相消法证明不等式.
考法12：因式分解法构造数列求通项
22.（2026·湖北新八校·二模）（多选）已知数列 满足 ，且 ，则 的值可能是（　　）
A. 1 B. 2026 C. D.
【答案】ACD
【解析】原式因式分解可得 ，故 或 都可成立.数列每一项都满足 时，选A；每一项都满足 时，选D；，且 时，选C；B不能成立.故选ACD.
【点拨】将递推式因式分解，得到两种可能的递推关系，分类讨论.
23.（2025·河南南阳一中·三模）已知正项数列 中，，满足 ．
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 已知数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意：，即 ，因为 ，所以 ，则 ，所以 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以 .
（2）方法一：由（1）知 ， 为奇数时，，，由于 无法求和，方法一错误.
方法二：由（1）知 ，设 ，则可得 ，所以 是以 4 为首项，4 为公比的等比数列，所以 的前 项和 ，设 ，所以 的前 项和 ，所以 .
【点拨】第一问将递推式因式分解，求出 的递推关系；第二问分奇偶项分别求和.
考点五：特殊递推关系求通项
考法13：奇偶分段与正负相间数列求通项
24.（2026·福建福州·检测）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 （　　）
A. 16 B. 18 C. 20 D. 22
【答案】C
【解析】由 得，
当 时，，即 .
当 时，，即 ，.
当 时，，即 ，所以 ，.
当 时，，即 ，所以 ，.
当 时，，即 ，所以 .
故选C.
【点拨】通过对 赋值，依次求出 .
25.（2025·河北衡水·联考）已知数列 满足 ，记 的前 项和为 ，且 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（1） 求 的值；
（2） 求 的通项公式；
（3） 求 的通项公式，并证明：．
【答案】（1） （2） （3），证明见解析
【解析】（1），则 ，
当 时，，又 ，则 ，
当 时，，即 ，又 ，则 .
（2）当 为偶数时，，同理，，以此类推，，累加有 ，化简得 ，则 .当 为奇数时，，同理，，以此类推 ，累加有 ，化简得 .综上，.
（3）由（2）可得 ，，故 .当 为奇数时，易知 与 均增大而增大，当 时，，故 .此时，当 时，，而对于任意奇数 ，，故 .当 为偶数时，易知 与 均增大而减小，当 时，，故 .此时，当 时，，而对于任意偶数 ，，故 .综上：.
【点拨】利用 ，结合等比数列通项公式，分奇偶项求出 和 .
考法14：周期数列求通项与求和
26.（2026·山东师大附中·检测）记 为数列 的前 项积，已知 ，则 （　　）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】D
【解析】当 时，，，；
当 时，有 ，代入 得 ，
化简得：，则 ，.
【点拨】利用 将递推式转化为关于 的递推式.
27.（2026·山东淄博·二模）记 为数列 的前 项和，若 ，，且 ，则 （　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
当 为奇数时，，，.
.
，所以 .
当 为偶数时，，，.
，所以 .
.
【点拨】利用三角函数的周期性，对 分奇偶讨论，分别求出奇数项和偶数项的通项公式，再分组求和.
考法15：前n项积型数列求通项
28.（2026·湖北孝感·一模）已知数列 为等比数列，，公比 ， 是数列 的前 项积．若 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿．
【答案】26
【解析】由题意 ，所以 ，由 ，可得 ，则有 ，解得 或 ，又 为正整数，所以 的最小值是 26.
【点拨】利用等比数列通项公式求出 ，再利用指数运算法则求出 ，解指数不等式即可.
考法16：双数列递推求通项
29.已知数列 和 满足 ．
（1） 证明： 是等比数列， 是等差数列；
（2） 求 的通项公式以及 的前 项和 ．
【答案】（1）证明见解析 （2）,
【解析】（1） 证明：因为 ，
所以 ，即 ，
，所以 是公比为 的等比数列.
将 方程左右两边分别相减，
得 ，化简得 ，
所以 是公差为 2 的等差数列.
（2） 由 （1） 知 ，，
上式两边相加并化简，得 ，
所以 .
【点拨】将两个递推式分别相加和相减，构造出两个基本数列，求出 和 ，再解方程组求 .
考法17：其他非线性或高阶递推求通项
30.已知 ，则 的通项公式为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】，①
.②
由①÷②得 .
又因为 ，所以 是公比为 -2，首项为 -2 的等比数列，从而 ，即 .
【点拨】将递推式变形为 和 ，两式相除构造等比数列.
考法18：结合实际情境与模型的递推数列
31.（2025·河北保定·一模）现有 个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号——处理并产生新信号——发射新信号．当处理器接收到一个 A 类信号时，会产生一个 A 类信号和一个 B 类信号并全部发射至下一个处理器；当处理器接收到一个 B 类信号时，会产生一个 A 类信号和两个 B 类信号，产生的 B 类信号全部发射至下一个处理器，但由接收 B 类信号直接产生的所有 A 类信号只发射一个至下一个处理器．当第一个处理器只发射一个 A 类信号至第二个处理器，按上述规则依次类推，若第 个处理器发射的 B 类信号数量记作 ，即 ，则 ＿＿＿＿＿＿，数列 的通项公式 ＿＿＿＿＿＿．
【答案】8；
【解析】设第 个处理器发射的 A 类信号数量记作 ，则 ，
由题意，当 时，第 个处理器发射的 A 类信号数量为 ，即当 时，，
当 时，，则 ，
故当 时，，可得 ，
又 ，所以数列 从第二项开始是以 3 为首项，2 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
当 时，上式不成立，所以 .
【点拨】根据题意列出 和 的递推关系，利用构造法求通项.
考点六：递推数列的综合应用
考法19：递推数列与不等式证明
32.（2026·安徽A10联盟·检测）已知数列 中，，．
（1） 求证：数列 为等比数列；
（2） 记 ，数列 的前 项和为 ，求证：．
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【解析】（1）证明：，，
，即 ，
， 数列 是以 2 为首项， 为公比的等比数列.
（2）由（1）得，，，
.
当 时，；
当 时，.
【点拨】第一问对递推式取倒数构造等比数列；第二问求出 ，利用放缩法和裂项相消法证明不等式.
33.（2026·河南新未来·检测）已知数列 满足 ，且数列 是公差为 4 的等差数列．
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 求证：．
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】（1），
所以 ，
当 时满足上通项公式，
综上所述： 的通项公式为 ；
（2），
当 时，，
当 时，，
综上所述：.
【点拨】第一问利用累加法求通项；第二问利用放缩法 () 证明不等式.
考法20：抽象递推关系求通项
34.（2026·山东德州·一模）数列 中，，对 ，有 ，若 ，则 （　　）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】A
【解析】令 ，可得 ，则 是首项 ，公差 的等差数列，
通项公式为 ，
，
解得 .
【点拨】利用抽象递推关系 推出数列为等差数列，再利用等差数列求和公式求解.
考法21：递推数列综合求和（错位相减、裂项相消、分组求和）
35.（2026·安徽蚌埠·检测）（多选）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，．若 ，则（　　）
A. B. 数列 是等差数列 C. D. 数列 中不存在能被 3 整除的项
【答案】ACD
【解析】对于 A 选项，，A 对；
对于 B 选项，， ①，可得 ②，②-①得 ，又因为 ，，易知 ，所以 ，故数列 不是等差数列，B 错；
对于 C 选项，由 B 选项可知，数列 是首项为 1，公差为 3 的等差数列，所以 ，数列 是首项为 2，公差为 3 的等差数列，所以 ，则 ，C 对；
对于 D 选项，对任意的 ，、 均不能被 3 整除，故数列 中不存在能被 3 整除的项，D 对.
【点拨】将递推式 转化为 ，两式相减得到奇偶项的等差关系，再分类讨论.
36.（2026·山东德州·一模）已知函数 ．
（1） 证明： 在 上单调递增；
（2） 记 的最小值为 ，，数列 的前 项积为 ．
（i）求 的通项公式；
（ii）证明：对任意的 ， 成立．
【答案】（1）证明见解析 （2）（i） （ii）证明见解析
【解析】（1）因为 ，
当 时，则 ，所以 ，可得 ，
且 ，则 ，即 ，
可得 ，所以函数 在 上单调递增.
（2） （i）若 ，则 ，即 ；
若 ，由（1）可知： 在 上单调递增，且 ，可知 是一个周期为 的周期函数，又因为 ，可知 关于 对称，则 在 处取到最大值，在 处取到最小值，可得 ，综上所述：.
（ii），，
方法一：数学归纳法证明不等式 成立，
当 时，左边 ，右边 ，因为 ，所以不等式成立，
假设当 时不等式成立，即 成立，
则当 时，左边 ，
所以当 时，不等式也成立，综上所述：可证得不等式恒成立；
方法二：构造新数列方法证明不等式.令 ，，所以 ，即 ，，综上所述：可证得不等式恒成立.
方法三：.
【点拨】第一问利用导数证明单调性；第二问求出最小值 ，进而求出 ，再利用放缩法或数学归纳法证明不等式.
第 2 页，共 17 页第38讲 数列的通项公式 · 分类练习
考点一：观察法求通项 1
考法1：观察前几项归纳通项公式 1
考法2：结合数学文化与模型观察求通项 1
考点二：由 与 关系求通项 1
考法3：利用 与 关系求通项 1
考法4：利用 与 关系求通项并求和或最值 2
考法5：利用 与 关系求通项并证明不等式 2
考点三：累加法与累乘法求通项 3
考法6：利用累加法求通项 3
考法7：利用累乘法求通项 3
考点四：构造法求通项 4
考法8：待定系数法构造等差或等比数列求通项 4
考法9：同除以指数构造数列求通项 5
考法10：取倒数法构造数列求通项 5
考法11：取对数法构造数列求通项 5
考法12：因式分解法构造数列求通项 5
考点五：特殊递推关系求通项 6
考法13：奇偶分段与正负相间数列求通项 6
考法14：周期数列求通项与求和 6
考法15：前n项积型数列求通项 7
考法16：双数列递推求通项 7
考法17：其他非线性或高阶递推求通项 7
考法18：结合实际情境与模型的递推数列 7
考点六：递推数列的综合应用 7
考法19：递推数列与不等式证明 7
考法20：抽象递推关系求通项 8
考法21：递推数列综合求和（错位相减、裂项相消、分组求和） 8
考点一：观察法求通项
考法1：观察前几项归纳通项公式
1.若数列 的前 4 项分别是 ，，，，则该数列的一个通项公式为（　　）
A. B. C. D.
考法2：结合数学文化与模型观察求通项
2.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，……，则第十层有（　　）个球．
A. 12 B. 20 C. 55 D. 110
考点二：由 与 关系求通项
考法3：利用 与 关系求通项
3.（2026·广东茂名·一模）已知数列 的前 项和记为 ，若 ，则 （　　）
A. 15 B. 31 C. 63 D. 127
4.（2026·湖南常德·检测）（多选）已知数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是（　　）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
5.（2026·江西九江·二模）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
6.（2026·广东佛山·检测）已知数列 的前 项和为 ，且 （ 为常数，且 ）.
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 .
考法4：利用 与 关系求通项并求和或最值
7.（2026·山东烟台·检测）已知正项数列 的前 项和为 ，，且 .
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 求数列 的前 项和 .
考法5：利用 与 关系求通项并证明不等式
8.已知 是各项都为正数的数列， 为其前 项和，且 ，，
（1） 求数列 的通项 ；
（2） 证明：.
考点三：累加法与累乘法求通项
考法6：利用累加法求通项
9.（2025·河北承德·一模）已知数列 满足 且 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
10.（2024·广东新南方·联考）数列 满足 .
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 若数列 满足 ，求数列 的前 项和.
考法7：利用累乘法求通项
11.（2026·河北名校·一模）已知数列 满足 ，，且 ，若 ，数列 的前 项和为 ，则满足 的正整数 的最大值为（　　）
A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
12.（2026·湖南师大附中·模拟）设数列 的前 项和为 ，，且 ，则 的最小值为（　　）
A. B. C. D.
13.（2026·浙江精诚联盟·模拟）已知数列 的前 项和为 ，，且对 ，．
（1） 求 ；
（2） 证明：．
考点四：构造法求通项
考法8：待定系数法构造等差或等比数列求通项
14.（2026·河南湘豫联盟·检测）（多选）记数列 的前 项和为 ，且 ，，，设 ，则（　　）
A. B. 数列 为等比数列
C. D. 的最大值为 53
15.（2026·江苏南京·一模）已知数列 满足 ，且 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
16.（2026·安徽淮北·检测）已知数列 满足 ，，．
（1） 设 ，求证：数列 为等比数列；
（2） 求 的通项公式．
17.（2025·河北保定·二模）已知数列 中，若 ，其中 均为常数， 是一元二次方程 的两个实根，证明：．
（2） 若数列 满足 ， 对应的一元二次方程为 ，该方程有两个实数根 ，则 ，其中 均为常数．已知数列 满足 ，且 ．
①求 的通项公式；
②若数列 满足 ，且 ，求 的前 项和 ．
考法9：同除以指数构造数列求通项
18.已知数列 满足 ，，求数列 的通项公式．
考法10：取倒数法构造数列求通项
19.（2026·山东济宁·模拟）已知数列 的首项 ，且满足 ，则 （　　）
A. B. C. 10 D. 12
20.（2026·浙江县域联盟·模拟）已知数列 满足 ，．
（1） 证明：数列 是等差数列；
（2） 若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
考法11：取对数法构造数列求通项
21.已知数列 满足 ，．
（1） 证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（2） 若 ，数列 的前 项和 ，求证：．
考法12：因式分解法构造数列求通项
22.（2026·湖北新八校·二模）（多选）已知数列 满足 ，且 ，则 的值可能是（　　）
A. 1 B. 2026 C. D.
23.（2025·河南南阳一中·三模）已知正项数列 中，，满足 ．
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 已知数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
考点五：特殊递推关系求通项
考法13：奇偶分段与正负相间数列求通项
24.（2026·福建福州·检测）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 （　　）
A. 16 B. 18 C. 20 D. 22
25.（2025·河北衡水·联考）已知数列 满足 ，记 的前 项和为 ，且 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（1） 求 的值；
（2） 求 的通项公式；
（3） 求 的通项公式，并证明：．
考法14：周期数列求通项与求和
26.（2026·山东师大附中·检测）记 为数列 的前 项积，已知 ，则 （　　）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
27.（2026·山东淄博·二模）记 为数列 的前 项和，若 ，，且 ，则 （　　）
A. B. C. D.
考法15：前n项积型数列求通项
28.（2026·湖北孝感·一模）已知数列 为等比数列，，公比 ， 是数列 的前 项积．若 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿．
考法16：双数列递推求通项
29.已知数列 和 满足 ．
（1） 证明： 是等比数列， 是等差数列；
（2） 求 的通项公式以及 的前 项和 ．
考法17：其他非线性或高阶递推求通项
30.已知 ，则 的通项公式为＿＿＿＿＿＿．
考法18：结合实际情境与模型的递推数列
31.（2025·河北保定·一模）现有 个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号——处理并产生新信号——发射新信号．当处理器接收到一个 A 类信号时，会产生一个 A 类信号和一个 B 类信号并全部发射至下一个处理器；当处理器接收到一个 B 类信号时，会产生一个 A 类信号和两个 B 类信号，产生的 B 类信号全部发射至下一个处理器，但由接收 B 类信号直接产生的所有 A 类信号只发射一个至下一个处理器．当第一个处理器只发射一个 A 类信号至第二个处理器，按上述规则依次类推，若第 个处理器发射的 B 类信号数量记作 ，即 ，则 ＿＿＿＿＿＿，数列 的通项公式 ＿＿＿＿＿＿．
考点六：递推数列的综合应用
考法19：递推数列与不等式证明
32.（2026·安徽A10联盟·检测）已知数列 中，，．
（1） 求证：数列 为等比数列；
（2） 记 ，数列 的前 项和为 ，求证：．
33.（2026·河南新未来·检测）已知数列 满足 ，且数列 是公差为 4 的等差数列．
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 求证：．
考法20：抽象递推关系求通项
34.（2026·山东德州·一模）数列 中，，对 ，有 ，若 ，则 （　　）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
考法21：递推数列综合求和（错位相减、裂项相消、分组求和）
35.（2026·安徽蚌埠·检测）（多选）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，．若 ，则（　　）
A. B. 数列 是等差数列
C. D. 数列 中不存在能被 3 整除的项
36.（2026·山东德州·一模）已知函数 ．
（1） 证明： 在 上单调递增；
（2） 记 的最小值为 ，，数列 的前 项积为 ．
（i）求 的通项公式；
（ii）证明：对任意的 ， 成立．
第 2 页，共 17 页第38讲 数列的通项公式 · 讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 1
三、典题精讲 4
考点一：观察法求通项 4
考点二：由与关系求通项 5
考点三：累加法与累乘法求通项 8
考点四：构造法求通项 9
考点五：特殊递推关系求通项 12
考点六：递推数列的综合应用 16
四、高考真题 18
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2024 — — — —
2025 第16题 解答题 15分 直接 考察通过对递推关系式进行代数变形，构造等差数列求通项公式的方法.
2026 — — — —
近三年全国一卷中，数列的通项公式在2025年以解答题形式进行了直接考查.整体来看，通项公式的求解常作为数列综合题的第一问出现，是解决后续求和或证明问题的重要基础.
2. 命题角度与特色
（1） 侧重于对递推关系的代数变形能力的考查，要求学生能够通过同乘、同除等手段构造出基本的等差或等比数列.
（2） 常与其他知识板块（如导数、函数求导与错位相减求和的结合）进行综合考查，体现了知识的交汇性与综合性.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握由递推关系求通项公式的常见方法，如累加法、累乘法、构造法等基本题型.
（2） 提高代数变形与式子化简能力，能够敏锐观察递推式的结构特征，寻找构造等差或等比数列的切入点.
（3） 重视数列与函数、导数等知识的跨章节综合训练，提升综合运用数学知识解决问题的能力.
二、知识清单
1. 观察法与公式法
（1） 观察法：已知数列的前若干项，通过观察各项的符号、分子、分母等特征，寻找项与项数之间的规律，从而归纳出数列的通项公式.
（2） 公式法：若已知数列的前项和与通项的关系，可利用公式求解.求解后需检验时的情形是否符合时的通项公式，若符合则合写为一个表达式，否则写成分段函数的形式.
【易错提醒】 在利用公式求通项时，极易忽略的前提条件.必须单独计算，并检验是否符合由推导出的表达式.若不符合，必须写成分段函数的形式.
2. 累加法
（1） 适用类型：形如的递推数列.
（2） 求解步骤：将递推式变形为，依次列出个等式，将这个等式两边分别相加，可得（）.
（3） 常见情形：
① 若为常数，则该数列为等差数列.
② 若为关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和.
③ 若为关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和.
④ 若为关于的分式函数或根式函数，累加后常通过裂项相消法求和.
3. 累乘法
（1） 适用类型：形如的递推数列，且.
（2） 求解步骤：将递推式变形为，依次列出个等式，将这个等式两边分别相乘，可得（）.
（3） 常见情形：若为关于的分式，累乘后常通过裂项相消（约分）化简.
【防坑警示】 在使用累乘法时，必须确保作为分母的项.在解题步骤中，应先根据已知条件和递推关系，简要说明恒成立，再进行除法运算.
4. 构造数列法
（1） 适用类型一：形如（均为非零常数，且）的一阶线性递推数列.
（2） 求解步骤：利用待定系数法，设，展开后与原式比较系数，解得.从而将原数列转化为以为首项，以为公比的等比数列，求出其通项后再解出.
（3） 适用类型二：形如（）的递推数列.
① 若为一次函数，可设，通过待定系数法求出，构造等比数列.或者利用与两式相减，转化为累加法求解.
② 若为指数函数，即.当时，可在两边同除以，转化为，再利用构造法求解；当时，可在两边同除以，转化为，此时为等差数列.
5. 倒数变换法
（1） 适用类型一：形如（）的分式递推数列.
（2） 求解步骤：两边取倒数，得.令，则转化为，再利用构造数列法求出，进而求出.
（3） 适用类型二：形如（）的递推数列.两边同除以，得，即为等差数列.
【防坑警示】 在使用倒数变换法时，同样必须先验证并说明数列的所有项均不为零，方可进行取倒数或同除操作.
6. 对数变换法
（1） 适用类型：形如（）的递推数列.
（2） 求解步骤：两边取对数，得（底数可根据题意选取，通常取或）.令，则转化为，再利用构造数列法求出，进而求出.
【防坑警示】 在使用对数变换法时，必须确保数列的各项均为正数（即恒成立），否则不能在等式两边取对数.
7. 特征方程法（二阶线性递推）
（1） 适用类型：形如（）的递推数列.
（2） 求解步骤：利用待定系数法，设，展开比较系数得，.可知是一元二次方程（即特征方程）的两个根.从而转化为等比数列求解.
8. 奇偶项分段数列与周期数列
（1） 奇偶项分段数列：若递推关系中含有或根据的奇偶性给出不同的递推式，通常需要分为奇数和偶数两种情况进行讨论，分别求出奇数项和偶数项的通项公式，最后用分段函数表示，或尝试合并为一个统一的解析式.
（2） 周期数列：若递推关系呈现周期性变化，可通过计算前几项寻找周期规律，利用的性质确定通项.
三、典题精讲
考点一：观察法求通项
考法1：观察前几项归纳通项公式
例1.若数列的前6项为，则数列的通项公式可以为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【思路】观察数列前几项的符号、分子、分母的特征，分别寻找它们与项数之间的对应规律，再将各部分组合起来.
【解析】通过观察数列的前6项，可以发现有如下规律：
且奇数项为正，偶数项为负，故用表示各项的正负.
各项的绝对值为分数，分子等于各自的序号数.
而分母是以1为首项，2为公差的等差数列.
故第项的绝对值是.
所以数列的通项可为.
故选D.
【规律】归纳数列通项公式时，通常将数列的项拆分为符号、分子、分母等部分，分别观察它们与项数的关系，最后进行乘积组合.
考法2：结合数学文化与模型观察求通项
例2.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数构成数列，其前项和为，则（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】根据杨辉三角的规律写出数列的前几项，将其分母转化为相邻两整数乘积的形式，从而归纳出通项公式，再利用裂项相消法求和.
【解析】由题意可知，
.
.
.
.
则.
所以其前项和为：
.
.
则.
故选B.
【规律】对于分母为相邻两项乘积的数列，常将其拆分为两项之差，利用裂项相消法进行求和.
【考点一 方法总结】
1. 归纳数列通项公式时，通常将数列的项拆分为符号、分子、分母等部分，分别观察它们与项数的关系，最后进行乘积组合.
2. 对于分母为相邻两项乘积的数列，常将其拆分为两项之差，利用裂项相消法进行求和.
考点二：由与关系求通项
考法3：利用与关系求通项
例3.（2026·广东佛山·检测）已知数列的前项和为，且（为常数，且）.
（1）求的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和.
【答案】（1） （2）
【思路】第一问利用将已知条件转化为的表达式，注意必须单独检验的情况；第二问代入求出，化简后利用裂项相消法求和.
【解析】（1）当时，.当时，.所以.由于，故，不适合.综上，的通项公式为.
（2）若，由（1）即，得.所以，时，.即.所以，当时，.当时，，即.所以，当时，.当时，.所以.当时，.当时，也满足.综上，.
【规律】已知与的关系式，通常利用（）转化为的递推式，必须单独检验时公式是否成立.
考法4：利用与关系求通项并求和或最值
例4.（2026·山东烟台·检测）已知正项数列的前项和为，，且.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 求数列的前项和.
【答案】（1） （2）
【思路】第一问将条件式两边同除以，构造出，从而得到与的关系，再用求解；第二问将通项代入后利用裂项相消法求和.
【解析】（1）因为，所以，.所以，即.当时，.两式相减，可得，整理得.所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
（2）.所以.整理得.
【规律】遇到复杂的与混合式，可通过代数变形（如同除、因式分解等）分离变量，转化为基本递推关系.
考法5：利用与关系求通项并证明不等式
例5.（2026·山东泰安·一模）（多选）已知数列的前项和为，且，则下列选项正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【思路】利用平方差公式将条件转化为，求出后再求，注意的正负会导致两种情况，随后利用放缩法证明不等式.
【解析】由，得，即.
当时，，即，解得，故A正确.
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
所以，即，故B错误.
当时，，则.
当时，，则，故C正确.
当时，.
当时，，故D正确.
【规律】当递推式中含有的二次式时，常构造的等差数列进行求解.
【考点二 方法总结】
1. 已知与的关系式，通常利用（）转化为的递推式，必须单独检验时公式是否成立.
2. 遇到复杂的与混合式，可通过代数变形（如同除、因式分解等）分离变量，转化为基本递推关系.
3. 当递推式中含有的二次式时，常构造的等差数列进行求解.
考点三：累加法与累乘法求通项
考法6：利用累加法求通项
例6.（2024·广东新南方·联考）数列满足.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 若数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1） （2）
【思路】由可知，数列的相邻项之差构成等差数列，利用累加法可求出；第二问将代入后利用裂项相消法求和.
【解析】（1），因此是以2为首项，1为公差的等差数列.设的前项和为，则.又由，得.当时，经检验也满足，.
（2），因此.
【规律】形如的递推式，若可求和，则直接使用累加法求通项.
考法7：利用累乘法求通项
例7.（2026·河北名校·一模）已知数列满足，，且，若，数列的前项和为，则满足的正整数的最大值为（　　）
A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
【答案】C
【思路】将递推式变形为，说明相邻项的比值构成等差数列，求出比值后再用累乘法求，最后代入求和并解不等式.
【解析】由可得，，又，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以.
当时，，又，也符合，故.
所以.
当为偶数时，.
当为奇数且时，为偶数，则.
又符合上式，故当为奇数时，.
当为偶数时，，当为奇数时，，故.
由可得，即，故满足条件的的最大值为23.
故选C.
【规律】形如的递推式，若可求积，则使用累乘法求通项.
【考点三 方法总结】
1. 形如的递推式，若可求和，则直接使用累加法求通项.
2. 形如的递推式，若可求积，则使用累乘法求通项.
考点四：构造法求通项
考法8：待定系数法构造等差或等比数列求通项
例8.（2026·安徽淮北·检测）已知数列满足，，．
（1） 设，求证：数列为等比数列；
（2） 求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【思路】将二阶线性递推式变形为，构造等比数列，再用累加法求通项.
【解析】（1）由得：，
即，故为等比数列；
（2），由（1）得.
即，
于是.
【规律】对于型递推式，常通过待定系数法将其转化为的形式构造等比数列.
考法9：同除以指数构造数列求通项
例9.已知数列满足，，求数列的通项公式．
【答案】
【思路】递推式右边含有指数式，两边同除以，可构造出等差数列.
【解析】将两边除以，
得，则，
故数列是以为首项，以为公差的等差数列，
则，
∴数列的通项公式为.
【规律】形如的递推式，通常两边同除以或，构造新的等差或等比数列.
考法10：取倒数法构造数列求通项
例10.（2026·浙江县域联盟·模拟）已知数列满足，．
（1） 证明：数列是等差数列；
（2） 若数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析
【思路】将递推式减1后取倒数，证明是等差数列；第二问求出后，找到其正负分界点，分段去绝对值求和.
【解析】（1）证明：数列满足，则，于是，即，而，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
（2）由（1）知，，即，则，所以，当时，，当时，，所以当时，；当时，.综上所述：.
【规律】形如的分式递推式，常通过求特征根或取倒数法构造等差或等比数列.
考法11：取对数法构造数列求通项
例11.已知数列满足，．
（1） 证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2） 若，数列的前项和，求证：．
【答案】（1） （2）证明见解析
【思路】将递推式配方为，两边取自然对数，转化为等比数列求解；第二问利用裂项相消法证明不等式.
【解析】（1） 因为，所以，
则，
又，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
则，
所以；
（2） 由，得，
则，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以.
【规律】形如或可通过平移转化为该形式的递推式，两边取对数是降次的有效手段.
考法12：因式分解法构造数列求通项
例12.（2025·河南南阳一中·三模）已知正项数列中，，满足．
（1） 求数列的通项公式；
（2） 已知数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1） （2）
【思路】将递推式看作关于的一元二次方程，因式分解得到与的比例关系；第二问分奇偶项分别求和.
【解析】（1）由题意：，即，因为，所以，则，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.
（2）方法一：由（1）知，为奇数时，，，由于无法求和，方法一错误.
方法二：由（1）知，设，则可得，所以是以4为首项，4为公比的等比数列，所以的前项和，设，所以的前项和，所以.
【规律】对于含有、及交叉项的齐次递推式，优先考虑因式分解转化为一阶线性递推式.
【考点四 方法总结】
1. 对于型递推式，常通过待定系数法将其转化为的形式构造等比数列.
2. 形如的递推式，通常两边同除以或，构造新的等差或等比数列.
3. 形如的分式递推式，常通过求特征根或取倒数法构造等差或等比数列.
4. 形如或可通过平移转化为该形式的递推式，两边取对数是降次的有效手段.
5. 对于含有、及交叉项的齐次递推式，优先考虑因式分解转化为一阶线性递推式.
考点五：特殊递推关系求通项
考法13：奇偶分段与正负相间数列求通项
例13.（2025·河北衡水·联考）已知数列满足，记的前项和为，且是以为首项，为公比的等比数列．
（1） 求的值；
（2） 求的通项公式；
（3） 求的通项公式，并证明：．
【答案】（1） （2） （3），证明见解析
【思路】利用，结合已知等比数列，分奇数项和偶数项分别进行累加求和，进而求出.
【解析】（1），则，
当时，，又，则，
当时，，即，又，则.
（2）当为偶数时，，同理，，以此类推，，累加有，化简得，则.当为奇数时，，同理，，以此类推，累加有，化简得.综上，.
（3）由（2）可得，，故.当为奇数时，易知与均增大而增大，当时，，故.此时，当时，，而对于任意奇数，，故.当为偶数时，易知与均增大而减小，当时，，故.此时，当时，，而对于任意偶数，，故.综上：.
【规律】当已知条件涉及时，通常需要按奇偶项分类讨论，利用分组累加法求.
考法14：周期数列求通项与求和
例14.（2026·山东淄博·二模）记为数列的前项和，若，，且，则（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】递推式中含有三角函数，利用三角函数的周期性，对分奇偶讨论，分别求出奇数项和偶数项的通项，再分组求和.
【解析】.
当为奇数时，，，.
.
，所以.
当为偶数时，，，.
，所以.
.
【规律】含有周期性变化的系数（如三角函数、）的递推式，应根据周期进行分类讨论，转化为常规递推式.
考法15：前n项积型数列求通项
例15.（2026·湖北孝感·一模）已知数列为等比数列，，公比，是数列的前项积．若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿．
【答案】26
【思路】先求出等比数列的通项公式，再利用同底数幂的乘法法则求出前项积，最后解指数不等式.
【解析】由题意，所以，由，可得，则有，解得或，又为正整数，所以的最小值是26.
【规律】等比数列的前项积，常转化为指数函数的单调性或二次函数的最值问题.
考法16：双数列递推求通项
例16.已知数列和满足．
（1） 证明：是等比数列，是等差数列；
（2） 求的通项公式以及的前项和．
【答案】（1）证明见解析 （2）,
【思路】将两个递推式分别相加和相减，构造出和两个基本数列，求出它们的通项后再解方程组求.
【解析】（1） 证明：因为，
所以，即，
，所以是公比为的等比数列.
将方程左右两边分别相减，
得，化简得，
所以是公差为2的等差数列.
（2） 由（1）知，，
上式两边相加并化简，得，
所以.
【规律】对于双数列交织的递推式，通过整体加减构造出两个独立的等差或等比数列是通法.
考法17：其他非线性或高阶递推求通项
例17.已知，则的通项公式为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【思路】将递推式分子分母分别减去特征根，两式相除构造等比数列.
【解析】，①
.②
由①÷②得.
又因为，所以是公比为-2，首项为-2的等比数列，从而，即.
【规律】对于分式递推式，若有两个不同的特征根，则.
考法18：结合实际情境与模型的递推数列
例18.（2025·河北保定·一模）现有个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号——处理并产生新信号——发射新信号．当处理器接收到一个 A 类信号时，会产生一个 A 类信号和一个 B 类信号并全部发射至下一个处理器；当处理器接收到一个 B 类信号时，会产生一个 A 类信号和两个 B 类信号，产生的 B 类信号全部发射至下一个处理器，但由接收 B 类信号直接产生的所有 A 类信号只发射一个至下一个处理器．当第一个处理器只发射一个 A 类信号至第二个处理器，按上述规则依次类推，若第个处理器发射的 B 类信号数量记作，即，则＿＿＿＿＿＿，数列的通项公式＿＿＿＿＿＿．
【答案】8；
【思路】根据信号处理规则，列出和的递推关系，利用待定系数法构造等比数列求通项.
【解析】设第个处理器发射的 A 类信号数量记作，则，
由题意，当时，第个处理器发射的 A 类信号数量为，即当时，，
当时，，则，
故当时，，可得，
又，所以数列从第二项开始是以3为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，
当时，上式不成立，所以.
【规律】实际情境中的数列问题，关键是准确理解题意，将文字描述转化为数学递推符号，再运用常规方法求解.
【考点五 方法总结】
1. 当已知条件涉及时，通常需要按奇偶项分类讨论，利用分组累加法求.
2. 含有周期性变化的系数（如三角函数、）的递推式，应根据周期进行分类讨论，转化为常规递推式.
3. 等比数列的前项积，常转化为指数函数的单调性或二次函数的最值问题.
4. 对于双数列交织的递推式，通过整体加减构造出两个独立的等差或等比数列是通法.
5. 对于分式递推式，若有两个不同的特征根，则.
6. 实际情境中的数列问题，关键是准确理解题意，将文字描述转化为数学递推符号，再运用常规方法求解.
考点六：递推数列的综合应用
考法19：递推数列与不等式证明
例19.（2026·安徽A10联盟·检测）已知数列中，，．
（1） 求证：数列为等比数列；
（2） 记，数列的前项和为，求证：．
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【思路】对递推式取倒数构造等比数列求出，进而求出，再利用放缩法将放大为等比数列进行求和证明.
【解析】（1）证明：，，
，即，
，数列是以2为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得，，，
.
当时，；
当时，.
【规律】数列不等式证明中，若直接求和困难，常通过放缩法将通项放大或缩小为可求和的数列（如等比数列或裂项相消数列）.
考法20：抽象递推关系求通项
例20.（2026·安徽·检测）已知数列满足：
（1）求，；
（2）猜想数列的通项公式并给出证明.
【答案】（1）， （2）通项公式为，证明见解析
【思路】先通过赋值法求出数列的前几项，归纳猜想出通项公式，再利用作差法证明猜想.
【解析】（1）已知对任意正整数，有
当时，.
当时，，代入，得.
所以，.
（2）猜想通项公式为.
由题设，当时，有.
①－②得：③.
将替换为，得④.
④－③得：，即.
结合，知数列是首项为1，公比为-1的等比数列.
故通项公式为，得证.
【规律】对于抽象的求和递推式，赋值猜想是探路的好方法，证明时常利用与的式子作差消去求和符号.
考法21：递推数列综合求和（错位相减、裂项相消、分组求和）
例21.（2026·广东广州·一模）数列的前三项均为1，是公比为3的等比数列，且.
（1）求的前项和；
（2）求.
【答案】（1） （2）
【思路】利用等比数列通项公式求出，再利用对数运算法则化简求和；第二问利用的关系，通过间隔累加法求出特定项.
【解析】（1）因为是公比为3的等比数列，且.
又因为，则.
可得，则.
可得.
所以.
（2）因为，即，则.
可得.
则
.
所以.
【规律】对于跨项的递推关系（如），求特定项时可采用间隔累加法，注意起始项的对应.
【考点六 方法总结】
1. 数列不等式证明中，若直接求和困难，常通过放缩法将通项放大或缩小为可求和的数列（如等比数列或裂项相消数列）.
2. 对于抽象的求和递推式，赋值猜想是探路的好方法，证明时常利用与的式子作差消去求和符号.
3. 对于跨项的递推关系（如），求特定项时可采用间隔累加法，注意起始项的对应.
四、高考真题
1.（2025·全国一卷·第16题）设数列满足，.
（1）证明：为等差数列；
（2）设，求.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由题意证明如下，.
在数列中，，.
所以，即.
所以是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）由题意及（1）得，.
在数列中，首项为3，公差为1.
所以，即.
在中.
，.
所以.
当且时.
所以.
所以.
所以.
.
.
.
第 2 页，共 17 页第38讲 数列的通项公式 · 讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 1
三、典题精练 4
考点一：观察法求通项 4
考点二：由与关系求通项 5
考点三：累加法与累乘法求通项 5
考点四：构造法求通项 6
考点五：特殊递推关系求通项 7
考点六：递推数列的综合应用 8
四、高考真题 9
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2024 — — — —
2025 第16题 解答题 15分 直接 考察通过对递推关系式进行代数变形，构造等差数列求通项公式的方法.
2026 — — — —
近三年全国一卷中，数列的通项公式在2025年以解答题形式进行了直接考查.整体来看，通项公式的求解常作为数列综合题的第一问出现，是解决后续求和或证明问题的重要基础.
2. 命题角度与特色
（1） 侧重于对递推关系的代数变形能力的考查，要求学生能够通过同乘、同除等手段构造出基本的等差或等比数列.
（2） 常与其他知识板块（如导数、函数求导与错位相减求和的结合）进行综合考查，体现了知识的交汇性与综合性.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握由递推关系求通项公式的常见方法，如累加法、累乘法、构造法等基本题型.
（2） 提高代数变形与式子化简能力，能够敏锐观察递推式的结构特征，寻找构造等差或等比数列的切入点.
（3） 重视数列与函数、导数等知识的跨章节综合训练，提升综合运用数学知识解决问题的能力.
二、知识清单
1. 观察法与公式法
（1） 观察法：已知数列的前若干项，通过观察各项的符号、分子、分母等特征，寻找项与项数之间的规律，从而归纳出数列的通项公式.
（2） 公式法：若已知数列的前项和与通项的关系，可利用公式求解.求解后需检验时的情形是否符合时的通项公式，若符合则合写为一个表达式，否则写成分段函数的形式.
【易错提醒】 在利用公式求通项时，极易忽略的前提条件.必须单独计算，并检验是否符合由推导出的表达式.若不符合，必须写成分段函数的形式.
2. 累加法
（1） 适用类型：形如的递推数列.
（2） 求解步骤：将递推式变形为，依次列出个等式，将这个等式两边分别相加，可得（）.
（3） 常见情形：
① 若为常数，则该数列为等差数列.
② 若为关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和.
③ 若为关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和.
④ 若为关于的分式函数或根式函数，累加后常通过裂项相消法求和.
3. 累乘法
（1） 适用类型：形如的递推数列，且.
（2） 求解步骤：将递推式变形为，依次列出个等式，将这个等式两边分别相乘，可得（）.
（3） 常见情形：若为关于的分式，累乘后常通过裂项相消（约分）化简.
【防坑警示】 在使用累乘法时，必须确保作为分母的项.在解题步骤中，应先根据已知条件和递推关系，简要说明恒成立，再进行除法运算.
4. 构造数列法
（1） 适用类型一：形如（均为非零常数，且）的一阶线性递推数列.
（2） 求解步骤：利用待定系数法，设，展开后与原式比较系数，解得.从而将原数列转化为以为首项，以为公比的等比数列，求出其通项后再解出.
（3） 适用类型二：形如（）的递推数列.
① 若为一次函数，可设，通过待定系数法求出，构造等比数列.或者利用与两式相减，转化为累加法求解.
② 若为指数函数，即.当时，可在两边同除以，转化为，再利用构造法求解；当时，可在两边同除以，转化为，此时为等差数列.
5. 倒数变换法
（1） 适用类型一：形如（）的分式递推数列.
（2） 求解步骤：两边取倒数，得.令，则转化为，再利用构造数列法求出，进而求出.
（3） 适用类型二：形如（）的递推数列.两边同除以，得，即为等差数列.
【防坑警示】 在使用倒数变换法时，同样必须先验证并说明数列的所有项均不为零，方可进行取倒数或同除操作.
6. 对数变换法
（1） 适用类型：形如（）的递推数列.
（2） 求解步骤：两边取对数，得（底数可根据题意选取，通常取或）.令，则转化为，再利用构造数列法求出，进而求出.
【防坑警示】 在使用对数变换法时，必须确保数列的各项均为正数（即恒成立），否则不能在等式两边取对数.
7. 特征方程法（二阶线性递推）
（1） 适用类型：形如（）的递推数列.
（2） 求解步骤：利用待定系数法，设，展开比较系数得，.可知是一元二次方程（即特征方程）的两个根.从而转化为等比数列求解.
8. 奇偶项分段数列与周期数列
（1） 奇偶项分段数列：若递推关系中含有或根据的奇偶性给出不同的递推式，通常需要分为奇数和偶数两种情况进行讨论，分别求出奇数项和偶数项的通项公式，最后用分段函数表示，或尝试合并为一个统一的解析式.
（2） 周期数列：若递推关系呈现周期性变化，可通过计算前几项寻找周期规律，利用的性质确定通项.
三、典题精练
考点一：观察法求通项
考法1：观察前几项归纳通项公式
例1.若数列的前6项为，则数列的通项公式可以为（　　）
A. B.
C. D.
考法2：结合数学文化与模型观察求通项
例2.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数构成数列，其前项和为，则（　　）
A. B. C. D.
【考点一 方法总结】
1. 归纳数列通项公式时，通常将数列的项拆分为符号、分子、分母等部分，分别观察它们与项数的关系，最后进行乘积组合.
2. 对于分母为相邻两项乘积的数列，常将其拆分为两项之差，利用裂项相消法进行求和.
考点二：由与关系求通项
考法3：利用与关系求通项
例3.（2026·广东佛山·检测）已知数列的前项和为，且（为常数，且）.
（1）求的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和.
考法4：利用与关系求通项并求和或最值
例4.（2026·山东烟台·检测）已知正项数列的前项和为，，且.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 求数列的前项和.
考法5：利用与关系求通项并证明不等式
例5.（2026·山东泰安·一模）（多选）已知数列的前项和为，且，则下列选项正确的是（　　）
A. B. C. D.
【考点二 方法总结】
1. 已知与的关系式，通常利用（）转化为的递推式，必须单独检验时公式是否成立.
2. 遇到复杂的与混合式，可通过代数变形（如同除、因式分解等）分离变量，转化为基本递推关系.
3. 当递推式中含有的二次式时，常构造的等差数列进行求解.
考点三：累加法与累乘法求通项
考法6：利用累加法求通项
例6.（2024·广东新南方·联考）数列满足.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 若数列满足，求数列的前项和.
考法7：利用累乘法求通项
例7.（2026·河北名校·一模）已知数列满足，，且，若，数列的前项和为，则满足的正整数的最大值为（　　）
A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
【考点三 方法总结】
1. 形如的递推式，若可求和，则直接使用累加法求通项.
2. 形如的递推式，若可求积，则使用累乘法求通项.
考点四：构造法求通项
考法8：待定系数法构造等差或等比数列求通项
例8.（2026·安徽淮北·检测）已知数列满足，，．
（1） 设，求证：数列为等比数列；
（2） 求的通项公式．
考法9：同除以指数构造数列求通项
例9.已知数列满足，，求数列的通项公式．
考法10：取倒数法构造数列求通项
例10.（2026·浙江县域联盟·模拟）已知数列满足，．
（1） 证明：数列是等差数列；
（2） 若数列满足，求数列的前项和．
考法11：取对数法构造数列求通项
例11.已知数列满足，．
（1） 证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2） 若，数列的前项和，求证：．
考法12：因式分解法构造数列求通项
例12.（2025·河南南阳一中·三模）已知正项数列中，，满足．
（1） 求数列的通项公式；
（2） 已知数列满足，求数列的前项和．
【考点四 方法总结】
1. 对于型递推式，常通过待定系数法将其转化为的形式构造等比数列.
2. 形如的递推式，通常两边同除以或，构造新的等差或等比数列.
3. 形如的分式递推式，常通过求特征根或取倒数法构造等差或等比数列.
4. 形如或可通过平移转化为该形式的递推式，两边取对数是降次的有效手段.
5. 对于含有、及交叉项的齐次递推式，优先考虑因式分解转化为一阶线性递推式.
考点五：特殊递推关系求通项
考法13：奇偶分段与正负相间数列求通项
例13.（2025·河北衡水·联考）已知数列满足，记的前项和为，且是以为首项，为公比的等比数列．
（1） 求的值；
（2） 求的通项公式；
（3） 求的通项公式，并证明：．
考法14：周期数列求通项与求和
例14.（2026·山东淄博·二模）记为数列的前项和，若，，且，则（　　）
A. B. C. D.
考法15：前n项积型数列求通项
例15.（2026·湖北孝感·一模）已知数列为等比数列，，公比，是数列的前项积．若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿．
考法16：双数列递推求通项
例16.已知数列和满足．
（1） 证明：是等比数列，是等差数列；
（2） 求的通项公式以及的前项和．
考法17：其他非线性或高阶递推求通项
例17.已知，则的通项公式为＿＿＿＿＿＿．
考法18：结合实际情境与模型的递推数列
例18.（2025·河北保定·一模）现有个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号——处理并产生新信号——发射新信号．当处理器接收到一个 A 类信号时，会产生一个 A 类信号和一个 B 类信号并全部发射至下一个处理器；当处理器接收到一个 B 类信号时，会产生一个 A 类信号和两个 B 类信号，产生的 B 类信号全部发射至下一个处理器，但由接收 B 类信号直接产生的所有 A 类信号只发射一个至下一个处理器．当第一个处理器只发射一个 A 类信号至第二个处理器，按上述规则依次类推，若第个处理器发射的 B 类信号数量记作，即，则＿＿＿＿＿＿，数列的通项公式＿＿＿＿＿＿．
【考点五 方法总结】
1. 当已知条件涉及时，通常需要按奇偶项分类讨论，利用分组累加法求.
2. 含有周期性变化的系数（如三角函数、）的递推式，应根据周期进行分类讨论，转化为常规递推式.
3. 等比数列的前项积，常转化为指数函数的单调性或二次函数的最值问题.
4. 对于双数列交织的递推式，通过整体加减构造出两个独立的等差或等比数列是通法.
5. 对于分式递推式，若有两个不同的特征根，则.
6. 实际情境中的数列问题，关键是准确理解题意，将文字描述转化为数学递推符号，再运用常规方法求解.
考点六：递推数列的综合应用
考法19：递推数列与不等式证明
例19.（2026·安徽A10联盟·检测）已知数列中，，．
（1） 求证：数列为等比数列；
（2） 记，数列的前项和为，求证：．
考法20：抽象递推关系求通项
例20.（2026·安徽·检测）已知数列满足：
（1）求，；
（2）猜想数列的通项公式并给出证明.
考法21：递推数列综合求和（错位相减、裂项相消、分组求和）
例21.（2026·广东广州·一模）数列的前三项均为1，是公比为3的等比数列，且.
（1）求的前项和；
（2）求.
【考点六 方法总结】
1. 数列不等式证明中，若直接求和困难，常通过放缩法将通项放大或缩小为可求和的数列（如等比数列或裂项相消数列）.
2. 对于抽象的求和递推式，赋值猜想是探路的好方法，证明时常利用与的式子作差消去求和符号.
3. 对于跨项的递推关系（如），求特定项时可采用间隔累加法，注意起始项的对应.
四、高考真题
1.（2025·全国一卷·第16题）设数列满足，.
（1）证明：为等差数列；
（2）设，求.
第 2 页，共 17 页第38讲 数列的通项公式 · 综合测试（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
C D D D C
6 7 8 9 10
A D B ABD ACD
11 12 13 14 15
BCD （1）， （2）通项公式为 ，证明见解析
16 17 18 19
（1） （2）220 （1）， （2） （1）证明见解析， （2） （1） （2）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·江西赣州·一模）已知集合，，则（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，可得，.
又，可得，.
所以.
故选：C.
【点拨】本题考查集合的交集运算，需先分别解不等式求出集合和.
2.（2026·浙江·二模）已知数列 满足 ，且 ，则（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当 时：原式变为 ，整理得：（1）.
当 时：原式变为 ，已知 ，且由 得 .
代入得： 化简得 ，解得 .
把 代入式 ，得 ，解得 .
时：原式变为 ，由 得前两项和为 .
代入得： 化简得 ，解得 .
故 ， 对.
【点拨】本题考查数列递推关系的应用，通过给 赋值求出数列的前几项是解题关键.
3.（2025·浙江县域联盟·模拟）设数列 的前 项和为 ，且 ，则（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由 化简得到 ，令 ，得 ，则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，写出通项公式 ，再逐一验证即可.
由题意 ，两式相减可得：.
化简得 ，即 .
令 ，得到 ，即 ，解得 .
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
则 ，故 ，.
则 .
【点拨】本题考查利用 与 的关系求通项公式，进而判断项的大小关系.
4.已知数列 满足 ，，则 的通项为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，则当 时.
.
将 个式子相加可得 .
因为 ，则 ，当 时， 符合题意.
所以 .
故选：D.
【点拨】本题考查利用累加法和裂项相消法求数列的通项公式.
5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则 （　　）
A. 17 B. 37 C. 107 D. 128
【答案】C
【解析】∵ 能被 除余 且被 除余 ，∴ 既是 的倍数，又是 的倍数.
即是 的倍数，且 ，∴ .
即 ，∴ .
故选：C.
【点拨】本题考查数列的实际应用，理解整除的余数性质并找出数列的通项公式是解题关键.
6.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其各项规律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，记此数列为 ，则 （　　）
A. 650 B. 1050 C. 2550 D. 5050
【答案】A
【解析】由条件观察可得：，即 ，所以 是以 为首项， 为公差的等差数列.
故 .
故选：A.
【点拨】本题考查归纳推理与数列求和，通过观察相邻项的差找出规律是解题关键.
7.若数列 的前6项为 ，则数列 的通项公式可以为 （　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】通过观察数列 的前 项，可以发现有如下规律：
且奇数项为正，偶数项为负，故用 表示各项的正负.
各项的绝对值为分数，分子等于各自的序号数.
而分母是以 为首项， 为公差的等差数列.
故第 项的绝对值是 .
所以数列 的通项可为 .
故选：D.
【点拨】本题考查由数列的前几项归纳数列的通项公式，需分别观察符号、分子、分母的规律.
8.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数 构成数列 ，其前 项和为 ，则 （　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知，
.
.
.
.
则 .
所以其前 项和为：
.
.
则 .
故选：B.
【点拨】本题考查归纳推理与裂项相消法求和，找出数列的通项公式是解题关键.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·安徽马鞍山·二模）数列 的前 项和为 ，且 ，，则（　　）
A. 数列 是等差数列 B. 数列 是等比数列
C. D. 数列 的前 项和等于
【答案】ABD
【解析】由 ，得 .
即 .
因为 ，所以 ，所以 .
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，故 A 正确.
所以 ，所以 .
当 时，.
当 时， 也满足上式，所以 ，故 C 错误.
因为 ，所以数列 是等比数列，故 B 正确.
因为 .
所以数列 的前 项和为 ，故 D 正确.
【点拨】本题考查数列递推关系的应用，通过代数变形构造等差数列求出 是解题关键.
10.（2026·山东泰安·一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ，则下列选项正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】由 ，得 ，即 .
当 时，，即 ，解得 ，故 A 正确.
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列.
所以 ，即 ，故 B 错误.
当 时，，则 .
当 时，，则 ，故 C 正确.
当 时，.
当 时，，故 D 正确.
【点拨】本题考查利用 与 的关系求数列通项，以及数列不等式的证明.
11.（2025·江苏高邮·联考）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则下列说法正确的有（　　）
A. 数列 为等差数列
B. 数列 为等比数列
C.
D. 若 ，则数列 的前 项和
【答案】BCD
【解析】因为数列 的前 项和为 ，且满足 .
对于 A 选项，由已知等式变形可得 ，且 .
所以，，所以，数列 是首项和公比均为 的等比数列.
故 ，A 错.
对于 B 选项，由已知等式变形得 ，且 .
所以，数列 是首项和公比均为 的等比数列，则 ，B 对.
对于 C 选项，由 可得 .
所以，，C 对.
对于 D 选项，.
记 .
则 .
这两个等式作差得 .
所以，.
故 ，D 对.
故选：BCD.
【点拨】本题考查由递推关系求数列通项公式，以及利用错位相减法和分组求和法求数列的前 项和.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·山东济宁·模拟）已知数列 的前 项和为 ，若 成等差数列，则 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因为 成等差数列，所以 ，即 .
当 时，，即 ，解得 .
当 时，，整理得 ，即 .
所以 ，又 .
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
所以 ，即 .
【点拨】本题考查等差中项的性质以及利用 与 的关系求通项公式.
13.（2026·江苏名校联盟·一模）已知数列 满足 ，，则数列 的通项公式为 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由 .
当 时，.
当 时，.
两式相减，得 ，即 .
所以 .
所以 .
所以 .
由于 时，不满足上式.
所以 .
【点拨】本题考查利用构造法作差求数列的通项公式，注意对 的单独检验.
14.（2026·河北·检测）已知 为数列 的前 项和，且 ，，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因为 ，即 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，所以 .
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 ，所以 ，，，则 .
所以 .
【点拨】本题考查由递推关系求数列的通项公式，以及利用错位相减法求数列的前 项和.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（2026·安徽·检测）已知数列 满足：
（1）求 ，；
（2）猜想数列 的通项公式并给出证明.
【答案】（1），
（2）通项公式为 ，证明见解析
【解析】（1）已知对任意正整数 ，有
当 时，. 2 分
当 时，，代入 ，得 . 4 分
所以 ，. 5 分
（2）猜想通项公式为 . 7 分
由题设，当 时，有 . 9 分
①－②得：③. 11 分
将 替换为 ，得 ④. 13 分
④－③得：，即 .
结合 ，知数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
故通项公式为 ，得证. 15 分
【点拨】本题考查通过赋值法求数列的前几项，归纳猜想通项公式，并利用作差法进行证明.
16.（2026·山东济宁·二模）记 为数列 的前 项和，已知 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 为数列 的前 项和，求 .
【答案】（1）
（2）220
【解析】（1）由条件 可得，. 1 分
两式相减得，. 2 分
所以，. 3 分
累乘得，.
所以，. 6 分
当 时， 也符合上式.
所以，数列 的通项公式为 . 7 分
（2）记 ，由（1）可得 .
所以，. 11 分
所以，. 13 分
.
. 15 分
【点拨】本题考查利用 与 的关系求通项公式，以及利用并项求和法求数列的前 项和.
17.（2026·山东潍坊·二模）已知数列 的前 项和为 ，等差数列 满足 .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）记 为 在区间 内项的个数， 为数列 的前 项和，求 .
【答案】（1），
（2）
【解析】（1）当 时，. 1 分
当 时，. 3 分
经检验， 时符合上式.
所以 . 4 分
因为 ，所以公差 ，所以 . 7 分
（2）因为 在区间 内项的个数为 . 11 分
所以 .
所以 . 15 分
【点拨】本题考查等差、等比数列的通项公式求法，以及新定义数列的求和问题.
18.（2026·山东聊城·二模）记数列 的前 项和为 ，满足 ，且 .
（1）求证： 是等差数列，并求 的通项公式；
（2）设 ， 为数列 的前 项和，若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】（1）证明：由 ，①
得 ，②
②①得 ，③
则 ，④ 2 分
④③得 .
所以 是等差数列. 4 分
由 ，得 .
所以 . 5 分
因为 ，所以公差 .
所以 . 7 分
（2）解：
. 10 分
所以
. 12 分
由 对 恒成立，
得 ，即 . 14 分
设 ，由 对 恒成立，
得 ，解得 或 .
故 的范围为 . 17 分
【点拨】本题考查等差数列的证明与通项公式求法，裂项相消法求和，以及不等式恒成立问题转化为最值问题求解.
19.（2026·广东广州·一模）数列 的前三项均为 ， 是公比为 的等比数列，且 .
（1）求 的前 项和 ；
（2）求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）因为 是公比为 的等比数列，且 .
又因为 ，则 . 2 分
可得 ，则 .
可得 . 5 分
所以 . 7 分
（2）因为 ，即 ，则 .
可得 . 10 分
则 13 分
.
所以 . 15 分
【点拨】本题考查等比数列的通项公式与求和，以及利用递推关系和累加法求数列的特定项.
第 2 页，共 17 页第38讲 数列的通项公式 · 综合测试
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·江西赣州·一模）已知集合，，则（　　）
A. B. C. D.
2.（2026·浙江·二模）已知数列 满足 ，且 ，则（　　）
A. B. C. D.
3.（2025·浙江县域联盟·模拟）设数列 的前 项和为 ，且 ，则（　　）
A. B. C. D.
4.已知数列 满足 ，，则 的通项为（　　）
A. B.
C. D.
5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则 （　　）
A. 17 B. 37 C. 107 D. 128
6.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其各项规律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，记此数列为 ，则 （　　）
A. 650 B. 1050 C. 2550 D. 5050
7.若数列 的前6项为 ，则数列 的通项公式可以为 （　　）
A. B.
C. D.
8.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数 构成数列 ，其前 项和为 ，则 （　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·安徽马鞍山·二模）数列 的前 项和为 ，且 ，，则（　　）
A. 数列 是等差数列 B. 数列 是等比数列
C. D. 数列 的前 项和等于
10.（2026·山东泰安·一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ，则下列选项正确的是（　　）
A. B. C. D.
11.（2025·江苏高邮·联考）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则下列说法正确的有（　　）
A. 数列 为等差数列
B. 数列 为等比数列
C.
D. 若 ，则数列 的前 项和
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·山东济宁·模拟）已知数列 的前 项和为 ，若 成等差数列，则 ＿＿＿＿＿＿.
13.（2026·江苏名校联盟·一模）已知数列 满足 ，，则数列 的通项公式为 ＿＿＿＿＿＿.
14.（2026·河北·检测）已知 为数列 的前 项和，且 ，，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（15分）（2026·安徽·检测）已知数列 满足：
（1）求 ，；
（2）猜想数列 的通项公式并给出证明.
16.（15分）（2026·山东济宁·二模）记 为数列 的前 项和，已知 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 为数列 的前 项和，求 .
17.（15分）（2026·山东潍坊·二模）已知数列 的前 项和为 ，等差数列 满足 .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）记 为 在区间 内项的个数， 为数列 的前 项和，求 .
18.（17分）（2026·山东聊城·二模）记数列 的前 项和为 ，满足 ，且 .
（1）求证： 是等差数列，并求 的通项公式；
（2）设 ， 为数列 的前 项和，若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
19.（15分）（2026·广东广州·一模）数列 的前三项均为 ， 是公比为 的等比数列，且 .
（1）求 的前 项和 ；
（2）求 .
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