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湖北省部分省级示范高中2025-2026学年下学期期末测试
高一数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则与夹角为( )
A. B. C. D.
3.一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图为平行四边形，如图所示，已知，则平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
4.某数据中心对某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，若词元调用量的众数为，平均数为，中位数为，则，，的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
5.袋子中有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中有放回地随机取次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这个数字的平均数为，方差小于，则( )
A. 可能取到数字 B. 中位数可能是 C. 极差可能是 D. 众数可能是
6.，是不共线的单位向量，若向量，则把有序数对叫作向量以，为基底的坐标，记作若，，，则( )
A. B. C. D.
7.的三边边长分别为，，，分别以三边，，所在直线为轴，将三角形旋转一周，所得到的封闭图形围成三个几何体，这三个几何体体积的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知为单位向量，，，则有 ( )
A. 的取值范围是 B. 存在向量，，使
C. 的最大值为 D. 的最大值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.已知，为复数，下列说法正确的是( )
A. B.
C. 若，则或 D. 若，则
11.如图，在棱长为的正方体中，，，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，则( )
A. 时，截面为五边形
B. 时，截面面积为
C. 时，三棱锥的外接球球心
D. 时，截面分正方体所得两部分中，较小部分与较大部分的体积比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标 ．
13.已知随机事件、满足，，，则 ．
14.在空间中，、为两个定点，动点到直线的距离为，动点到直线的距离为，若的长度的最小值为，则锐二面角的大小为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，，表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于”，“至少有一颗骰子的点数为”
求事件，的概率；
求事件，的概率．
16.本小题分
已知三棱锥，平面，平面平面．
求证：平面；
已知，，，求与平面所成角的正切值．
17.本小题分
如图，平面，四边形为矩形，，，．
是否存在实数，使得平面平面，若存在，求出实数的值，若不存在，说明理由；
当取最小值时，求的值；
若，直线与平面所成角为，直线与所成角为，二面角的平面角为证明：
18.本小题分
已知，，分别为非钝角三个内角，，的对边，，
求角；
若为的中点，求中线的取值范围．
为延长线上一点，，求面积的最小值．
19.本小题分
某校举办党史知识比赛，比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩满分分，最低分分中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图．

若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？
若总体划分为层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，记总的样本平均数为，方差为证明：．
已知随机调查的位同学的测试成绩落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，两组成绩合并后的平均数为，方差为求
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
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7.【答案】
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9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】．
14.【答案】
15.【答案】解：抛掷两颗骰子的所有基本事件为，其中，总共有个等可能的基本事件。
事件“两个点数之和等于”包含的基本事件为，共个，故。事件“至少有一颗骰子的点数为”包含的基本事件中，红色骰子点数为的有个，绿色骰子点数为的有个，其中重复计数次，因此事件共包含个基本事件，故。
表示“两点数之和为，且至少有一颗骰子点数为”，包含的基本事件为，共个，故。根据概率加法公式，代入得。
16.【答案】解：证明：如图，过点作，垂足为．
平面平面，平面平面，平面，
平面．
平面，．
平面，平面，．
又平面，
平面．
过点作于，连接．
平面，平面，
平面平面，
平面平面，平面，，
平面，连接，
则是与平面所成角，
由得平面，平面，则，，
在中，，
在中，，
．

17.【答案】解：不存在，理由如下：
因为平面，平面，所以．
矩形中，．
因为平面，，所以平面．
若平面平面，过作两平面交线的垂线，则平面．
又平面，所以过点存在两条直线与同一个平面垂直，显然矛盾．
所以平面与平面不垂直，
即不存在使平面平面．
由已知，，故，，，四点共面，
以为对称轴，将旋转到平面内，且，在直线异侧，
则，当且仅当，，三点共线时取等号，
已知四边形为矩形，，，则，，
此时，
即．
取中点，连接，，，，则．
由，得，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以．
所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角．
因为平面，则即为直线与平面所成角，
所以，平面．
又，所以直线与所成角即为直线与所成角，即．
在中，．
因为平面，，所以平面．
因为平面，所以．
在中，．
所以．
因为平面，平面，所以．
矩形中，．
因为平面，，所以平面，
所以即为二面角的平面角，所以．
又，，则，
则，则．
所以，即．

18.【答案】解：由已知及正弦边角关系可得，
，
即，，
因为，所以，所以，
即，即，又，
，则．
因为为的中点，所以，
两边平方得，
在中，由余弦定理得，即，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，，
所以
，
因为为非钝角三角形，所以，，
则，解得，
所以，所以，则，
所以，所以中线的取值范围是．
设，，则，．
在中，，
在中，，
得：，
．
，
，
即面积的最小值为．

19.【答案】解：由题意可知，进入决赛的同学成绩的分数线为样本数据的第百分位数，
设样本数据的第百分位数为，
由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可得，
解得，
前三个矩形的面积之和为，
前四个矩形的面积之和为，所以，
由百分位数的定义可得，解得，
故进入决赛的同学成绩应不低于分．
，
又
．
又
．
又，
所以，
同理，
所以
所以
由题意可知，成绩落在的频率为，
成绩落在的频率为，
所以，，
．

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