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湖北省部分省级示范高中2025-2026学年下学期期末高二数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是，，，，其中最小的是( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列中，，其前项和为( )
A. B. C. D.
4.苏轼， 字子瞻， 号东坡居士， 眉州眉山人， 北宋文学家书法家画家 现有苏轼的本不同诗集全部奖励给名同学， 每人至少分得一本， 不同分配方案的种数为( )
A. B. C. D.
5.某地天气预报 下雨时预报下雨的概率为， 不下雨时预报下雨的概率为． 该地某季节下雨的概率为 小明按“预报下雨则带伞”行事 若某天小明带伞， 则实际下雨的概率为
A. B. C. D.
6.袋中装有个红球和个白球， 除颜色外完全相同， 从袋中有放回地依次取出个球， 定义数列为， 记为数列的前项和， 则的概率为( )
A. B.
C. D.
7.已知函数的图象在点处的切线与直线平行， 设数列的前项和为， 则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知，，若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某研究小组调查学生每周课外阅读时间单位 小时与语文作业中错别字个数单位 个的关系， 随机抽取位学生的数据如下表所示
根据表中的数据计算得经验回归方程为， 下列结论正确的是
A. 与负相关 B.
C. 当与时， 残差相等 D. 每增加小时，平均减少个
10.下列结论正确的是
A. 随机变量， 则
B. 某同学参加米达标训练， 次训练的成绩为秒， 秒， 秒， 秒， 秒， 从这次训练的成绩中不放回任意抽取两次， 则两次抽取的成绩都比秒好的概率为
C. 已知，，则是的充要条件
D. 已知甲、乙两位选手进行象棋比赛， 如果每局比赛甲获胜的概率是， 乙获胜的概率是， 那么对甲而言“三局两胜” 比“五局三胜” 更有利．
11.已知随机变量的取值为不大于的正整数值，它的分布列为：
其中满足：，且定义的生成函数为若，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，含项的系数为 ．
13.现有道四选一的单选题， 小明对其中道题有思路， 道题没有思路． 有思路的题答对的概率为， 没有思路的题只好任意猜一个答案， 猜对答案的概率为． 小明从这道题中随机选择题， 他答对该题的概率为 ．
14.在平面直角坐标系中， 动点从出发， 每秒向正东、正西、正南、正北任一方向移动个单位长度， 移动秒后到达原点， 则不同的移动路径共有 条．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在二项式的展开式中：
若展开式中各二项式系数的和是，求展开式中的系数；
若展开式中第项和第项的二项式系数相等，求展开式中奇数项的二项式系数的和；
若展开式中只有第项的二项式系数最大，求展开式的所有项的系数的和．
16.本小题分
记等比数列的前项和为， 已知， ，
求的通项公式
求， 并判断是否成等差数列， 说明理由．
17.本小题分
汉绣是武汉国家级非物质文化遗产之一， 源于战国时期的楚绣， 色彩浓艳、针法粗犷， 被誉为荆楚艺术瑰宝， 针尖上的传奇， 其制作需依次完成画样、绣制、修饰三道工序． 已知某工艺师每道工序成功的概率分别为， ， ， 且相互独立， 当且仅当三道工序都成功， 该作品为优秀作品． 在某次汉绣比赛中， 该工艺师制作了件作品．
求该工艺师制作一件作品时，该作品为优秀的概率
求该工艺师在本次比赛中制作的优秀作品数的分布列及均值
若每件优秀作品得分， 不优秀作品扣分， 求该工艺师在本次比赛中得分的均值和方差．
18.本小题分
已知
求函数的极值
设，当时， 不等式恒成立， 求的最大值
若， 请判断集合与集合是否相等， 并证明．
19.本小题分
某中学为了解男女学生参加篮球社团的差异，按性别分层随机抽样，在全体学生中抽取人进行调查，设“学生报名篮球社团”，“学生为男生”，据统计，，．
根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加篮球社团与性别有关？
性别报名 男生 女生 合计
未报名篮球社团
报名篮球社团
合计
篮球社团的选拔设置了如下投篮测试规则：测试活动不限时间，不限次数，测试多少轮由学生自行确定．每轮均设置次投篮，学生参与该轮测试，则至少投一次篮，一旦投中一球，则其本轮测试结束，投不中则继续投篮，直到第次投完，本轮测试结束．已知甲同学报名参加篮球社团，假设甲每次投篮是否投中相互独立，且每次投篮命中的概率均为求甲在一轮测试中投篮次数的数学期望用表示．
参考公式与数据：，其中．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：二项式展开中，所有二项式系数和为，由题意，得，
的通项为，
令，得，因此展开式中的系数为．
根据题意和组合数性质，，得，即，
则二项式系数和为，其奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，都为，
故展开式中奇数项的二项式系数的和为．
二项式系数中，仅中间项最大说明为偶数，且中间项为第项，即，得，
令，得，即展开式的所有项的系数和为．

16.【答案】解：设等比数列的公比为，若，则，，，与题设矛盾，故，
代入等比数列前项和公式得，，
又，故，约分得，解得，即．
代入通项公式得
将，代入前项和公式得．
，，则，满足等差数列判定条件，故成等差数列．
17.【答案】解：一件作品优秀的概率为．
的所有可能取值为，，，，，
，．
，
，
，
，
，
的分布列为：
设该工艺师在本次比赛中得分为，
则，
由知，，
则，
，
所以均值为，方差为．
18.【答案】解：函数的定义域为，且，
令，解得．
当变化时，，的变化情况如下表所示：
，
单调递减 单调递增
因此当时，有极小值，并且极小值为，无极大值．
不等式化为，
所以对任意恒成立．
令，则，
令，，则，
所以函数在上单调递增．
又，，
方程在上存在唯一实根，且．
当时，，即，
当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以．
故整数的最大值是．
，
下面进行证明：．
当时，当时，
当时，所以．
设，
则．
当时，，单调递减
当时，，单调递增．
所以，
所以，
所以．
19.【答案】解：因为，所以报名参加篮球社团的人数为，
又因为，所以报名参加篮球社团的男生人数为，
女生人数为，
又，所以样本中男生人数为，女生人数为，
得到列联表为：
性别 男生 女生 合计
未报名篮球社团
报名篮球社团
合计
：学生报名参加篮球社团与性别无关，：学生报名参加篮球社团和性别有关．
则，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生报名篮球社团与性别有关联．
设甲完成一轮测试，投篮数量为随机变量，则的所有可能取值为，
其中，，
所以．
，
以上两式错位相减得：
，
所以
．

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