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2025-2026学年天津市河北区高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.抛掷枚质地均匀的硬币，记事件至少枚正面朝上，事件至多枚正面朝上，事件没有硬币正面朝上，则下列正确的是( )
A. B. C. D.
3.设向量，，则“与同向”的充要条件是( )
A. B. C. D.
4.已知圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
5.甲、乙两名射击运动员进行比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，则两人各射击一次恰有一人中靶的概率为( )
A. B. C. D.
6.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
7.如图，正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的正切值为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图所示，平行四边形中，，点为线段的中点，则( )
A. B. C. D.
9.已知三个不共线的向量，，满足，则为的( )
A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
10.如图，两个正交的全等正四面体每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点，若正四面体棱长为，则这两个正交四面体公共部分的体积为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.某环境监测部门收集了当地一周内的空气质量指数，分别为，，，，，，，则这组数据的第百分位数为______．
12.一支田径队有男运动员人，女运动员人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队全体运动员中抽出一个容量为的样本如果样本按比例分配，那么应抽取的男运动员人数为 ．
13.如图，已知正方体的棱长为，是的中点，则点到平面的距离为 ．
14.天津是一个历史悠久的文化古都，五大道、石家大院、古文化街、鼓楼这四个景点是天津十分有名的旅游胜地已知某游客游览五大道的概率为，游览石家大院、古文化街、鼓楼的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立，则该游客至少游览三个景点的概率为 ．
15.如图，在菱形中，，，以为直径的半圆与交于点，是半圆上的动点，则 ；的最大值是 ．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
将一个红球和一个黑球任意放入标号为，，的三个盒子里面．
Ⅰ用集合的形式写出试验的样本空间；
Ⅱ用集合的形式表示下列事件并求出事件的概率．
“号盒子不空”；
“每盒至多一个球”．
17.本小题分
在中，角、、的对边分别为、、，满足，．
求及边的值；
若的面积为，求．
18.本小题分
为优化假期安排，调整学生学习节奏，某中学调查“五一”小长假学生外出体验的情况随机选取了该校高一及高二共名学生并对其进行了问卷调查将外出时间单位：小时数据按照，，，，依次分成组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
Ⅰ求频率分布直方图中的值；
Ⅱ已知该校高一及高二共有名学生，估计这两个年级“五一”小长假外出时间不少于小时的人数，说明理由；
Ⅲ估计学生“五一”小长假外出时间的众数、中位数，说明理由．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，，为中点，且．
求证：平面；
求证：；
求与平面所成角的正弦值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】样本空间为，，，，，，，， ，，，，，．
，，，，，，
17.【答案】的值为，边的值为
18.【答案】 人 众数为，中位数为
19.【答案】证明：连接和交于，连接，
为正方形，为中点，
为中点，，
又平面，平面，
平面．
证明：平面平面，，平面平面，平面，
平面，
又平面，，
为正方形，，
又，、平面，
平面，
平面，．
解：过作于，连接．
由得平面，平面，
平面平面，
又平面平面，，平面，
平面，
为与平面所成角，
由平面几何的知识可知：，
因为，，，
，，，
，
，
所以与平面所成角的正弦值为．
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