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2025-2026学年陕西省西安市铁一中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，且为纯虚数，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
4.在等差数列中，已知，，，，则是的( )
A. 充分但不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5.一个样本容量为的样本数据，它们组成一个公差为的等差数列，若，，成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.若函数同时满足：
对于定义域内的任意，有；
对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”给出下列四个函数：；；；．
其中是“理想函数”的序号是( )
A. B. C. D.
7.若函数有个零点，则正数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数且的图象恒过点，函数的图象恰好过点，且在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 关于直线对称
C. 关于点中心对称 D. 的最小值为
10.已知函数，则( )
A. 有两个极值点
B. 若方程有三个实根，则或
C. 点是曲线的对称中心
D. 直线是曲线的切线
11.已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数，，都有当时，恒成立，则( )
A.
B. 在上是单调函数
C. 当时，
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算 ．
13.设函数，，是偶函数，则实数______．
14.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离已知，点在圆：上运动，若点满足，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求不等式的解集；
若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
三棱柱中，，，，．
证明：；
若，求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知抛物线：的焦点为，为上一点，且．
求的方程；
过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点求点的坐标．
18.本小题分
已知函数．
若，求此时的值；
求的单调区间；
当，且时，判断与的大小，并说明理由．
19.本小题分
已知双曲线：，直线为其中一条渐近线，为双曲线的右顶点，过作轴的垂线，交于点，再过作轴的垂线交双曲线右支于点，重复刚才的操作得到，，，，，，记
求的通项公式；
过作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于，，记，求证：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：，
令，
则原不等式可化为，
解得，即，
所以，
不等式的解集．
当时，
令，可得，
原不等式可化为对于能成立，
即可得对于能成立，
由对勾函数性质可知，
在上单调递增，
所以，
因此只需即可，得；
即的取值范围是．
16.【答案】证明：取的中点，连接和，如图：
因为，，，
根据勾股定理得到，
因为，
所以，
因为，，
所以是等边三角形，
因为是中点，
所以，
因为，
所以面，
所以，
因为是中点，
所以；
解：在面平面内，过作的垂线作为轴，
因为面，
所以轴，
因为，
所以可以建立如图所示空间直角坐标系，
首先来看点坐标，面分解图如下：
过作交于点，设，，
则，，
解得，，
所以点，，，，
设面的法向量为，
，，
所以，
不妨设，则法向量，
面即面，设面的法向量，
，
所以，
不妨设，则法向量，
从图像可得二面角是钝二面角，
所以，
即二面角的余弦值是．
17.【答案】；
．
18.【答案】；
当时，单调增区间为；单调减区间为，当时，单调减区间为和；无单调增区间，当时，单调增区间为；单调减区间为和；
，理由见详解．
19.【答案】解：双曲线：，渐近线方程为，
由已知可得：，
又点在双曲线上，所以，即，
所以是以为首项，公差为的等差数列，所以，即．
证明：设，有，
以为切点的双曲线的切线，时斜率存在时，设斜率为，
切线方程为，代入双曲线，
得，
由，得，解得，切线方程为，
为切点的双曲线的切线方程也满足，
由，可得，
即，
由可得，
即，
所以，
所以．
先证右边：
，
所以
，右边得证．
下证左边：
先证，令，
，
所以在递增，所以．
即时，，
所以，
时，，
证明如下：
，
所以，
所以当时，
，
当成立，
所以，左边得证．
所以命题得证．
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