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2025-2026学年天津市和平区高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一组样本数据，，，，，，，则这组样本数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
2.平行四边形的两条对角线、交于点，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，且，，则下列说法中，错误的个数为( )
若，则
若，则
若，则
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.用斜二测画法画一个边长为的正三角形的直观图，则直观图的面积是( )
A. B. C. D.
5.现有一批产品共件，其中件正品和件次品，现从中选件产品进行检测，则下列事件中互为对立事件的是( )
A. 恰好两件正品与恰好四件正品 B. 至少三件正品与全部正品
C. 至少一件正品与至少一件次品 D. 至少一件正品与全部次品
6.已知，，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，的对边分别为，，，且，则的形状为( )
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形
8.已知四棱锥中，平面，底面为正方形，，则四棱锥的外接球四棱锥各顶点都在球的表面上的表面积为( )
A. B. C. D.
9.某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分，从中随机抽取一个容量为的样本，发现数据均在内现将这些分数分成组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损，使部分图形缺失，如图，部分图形缺失的频率分布直方图中，下列说法正确的是( )
A. 第三组的频数为人 B. 估计样本的众数为分
C. 估计样本的平均数为分 D. 估计样本的中位数分
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.某单位共有，，，四个部门的职工，其职工人数之比依次为：：：为了调查职工的健康情况，现用比例分配的分层随机抽样方法，从该单位全体职工中抽出一个容量为的样本进行调查，则应从部门抽取职工 人
11.若向量为单位向量，且，，则向量的坐标是 ．
12.已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，，则 ，的外接圆半径 ．
13.已知，若向量与向量的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ．
14.甲、乙、丙人各自独立地破译同一份密码若甲能独立破译的概率为，乙能独立破译而丙不能独立破译的概率为，甲、丙都能独立破译的概率为乙独立破译该密码的概率为 ；甲、乙、丙人中至少有人独立破译该密码的概率为 ．
15.已知边长为的正方形，为边上的中点，为上一点若以为底边作等腰三角形，则当点在边上运动时，的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知，，且向量与向量的夹角为．
Ⅰ求与的值；
Ⅱ求向量与向量的夹角的余弦值．
17.本小题分
已知是虚数单位，复数满足．
Ⅰ求的虚部与；
Ⅱ为复数的共轭复数，若为纯虚数，求与；
Ⅲ复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知的内角，，所对的边分别，，，C.
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ若，，求的面积．
19.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，与的中点分别为点，，且，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：平面平面．
20.本小题分
在三棱锥中，．
Ⅰ若如图，求二面角的余弦值．
Ⅱ若如图．
求直线与平面所成角的正弦值；
求直线与直线所成角的大小．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】或
12.【答案】

13.【答案】或
14.【答案】

15.【答案】
16.【答案】Ⅰ，；
Ⅱ．
17.【答案】， ，
18.【答案】
19.【答案】连接，由与的中点分别为点，，
可得在中，，
平面，平面，
故平面 连接，因为菱形，
所以，又，，
所以，，
因为，为中点，所以，
又，所以，
所以中，，故B，
又因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面
20.【答案】 ；
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