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2025-2026学年山西省太原市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列特征数中，刻画一组数据集中趋势的是( )
A. 平均数 B. 极差 C. 方差 D. 标准差
2.投掷一枚质地均匀的骰子，事件“出现奇数点”，“出现点或点”，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 与异面 D. 与的位置关系不确定
4.已知数据，，，的平均数和方差分别为和，则数据，，，的平均数和方差分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.某项球类比赛按三局两胜的赛制进行，甲、乙两队进行此项比赛已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为现用计算机产生之间的随机数，当出现，或时，表示此局比赛甲获胜，当出现或时，表示此局比赛乙获胜在一次试验中，产生了组随机数如下：
根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获胜的概率为( )
A. B. C. D.
6.某运动软件记录了一组运动时长数据：，，，，，从这组数据中随机删除个数得到一组新数据，下列结论正确的有( )
A. 新数据的极差是的概率为 B. 新数据的平均数是的概率为
C. 前后两组数据中位数不变的概率为 D. 前后两组数据方差不变的概率为
7.如图，平面，为圆的直径，为圆上一点不与，重合，点在线段上，且，若线段上存在一点满足，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知甲袋中有个黑球、个红球，乙袋中有个红球、个黑球和个白球，每个球大小形状都完全相同现进行摸球游戏，游戏规则为：先从甲袋中随机摸出两个球，再从乙袋中随机摸出一个球游戏中奖规定：摸出的三个球，若恰有两个红球，则中奖；若恰有一个白球，也中奖；若摸出两个红球和个白球，则不中奖；其余情况也不中奖，那么一名游戏参与者中奖的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.袋中装有标号分别为的个大小形状相同的小球仅编号不同，从中随机抽取一个小球，记事件“取出的小球编号为奇数”，“取出的小球编号为偶数”，“取出的小球编号大于”，“取出的小球编号小于”，则下列结论正确的是( )
A. 与是互斥事件 B. 与不是对立事件
C. 与是相互独立事件 D. 与是相互独立事件
10.某校高一学生有男生人，女生人，为了解该校高一学生的身高信息，按性别采用样本量按比例分配的分层随机抽样，共抽取人，计算得到样本中男生、女生的平均身高分别为和单位：厘米，方差分别为和，则下列结论正确的是( )
A. 该校每一名高一学生被抽到的概率为
B. 男生、女生应抽取的人数分别为和
C. 样本的平均数为
D. 根据上述数据，估计该校高一学生身高的方差为
11.已知正方体的棱长为米，点从点出发，沿着棱以米秒的速度按照的路径运动；同时点以米秒的速度沿着棱从点到进行运动，运动时间，记过点，，的平面为，平面与平面的交线为，则下列结论正确的是( )
A. 平面截正方体所得的截面可能是三角形、四边形，不可能是五边形
B. 平面截正方体所得的含顶点的几何体可能是棱锥、棱柱，但不可能是棱台
C. 二面角的最小值为
D. 直线与直线所成角余弦值的范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.连续两次投掷一枚质地均匀的硬币，用表示硬币“正面朝上”，用表示硬币“反面朝上”，则该试验的样本空间 ．
13.甲、乙两人向同一个目标进行射击，已知甲、乙射中目标的概率分别为和，且两人射中与否相互独立，则该目标被击中的概率为 ．
14.在三棱锥中，，，，，当三棱锥的体积最大时，则其外接球表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某农场种植甲、乙两种小麦，在相同面积的试验田中分别连续种植十次已知这十次种植试验中，甲种小麦产量的平均数为千克，方差为，乙种小麦的产量数据如下单位：千克：

根据上述数据，计算乙种小麦样本数据的平均数与方差；
并从计算结果分析，哪种小麦更具有推广价值？请说明理由．
16.本小题分
为了提升网络安全意识，某社区举办了一次“网络安全”知识竞赛，从参赛人群中随机抽取了位居民，将其竞赛成绩分组整理，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值，并估计这次竞赛成绩的第一四分位数；
现按成绩采用样本量比例分配的分层抽样，从竞赛成绩在的样本中抽取人，再从这人中随机选出人参加网络安全宣传活动，求这人来自不同分组的概率．
17.本小题分
已知正方体的棱长为，，分别为正方体的棱，的中点．
求证：平面；
求点到平面的距离．
18.本小题分
甲、乙、丙三人计划到、、三个城市观光旅游，每人只选择其中一个城市在选择时，三人随机且独立已知甲选择、、三个城市的概率分别为，，；乙选择、两个城市的概率分别为；丙选择、两个城市的概率分别为，．
求三人选择同一个城市旅游的概率；
求三人选择三个不同城市旅游的概率；
求三人中恰有两人选择市旅游的概率．
19.本小题分
如图，正方形的边长为，，将沿翻折至，连接．
证明：；
设二面角的余弦值为，求；
设，求三棱锥内切球的表面积．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】，，，
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】乙种小麦样本数据的平均数为与方差为 由可知，乙种小麦样本数据的平均数千克大于甲种小麦产量的平均数千克，
同时，乙种小麦样本数据的方差小于甲种小麦产量的方差，
这说明乙种小麦产量的产量更高更稳定，更具有推广价值
16.【答案】，；

17.【答案】证明：在正方体中，
设点是的中点，连接，，
点是的中点，，
面，平面，
平面，
，分别为正方体的棱，的中点，
，，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，
平面，
，平面，平面，
平面平面，
平面，平面
18.【答案】
19.【答案】证明：因为四边形是正方形，所以，
所以，，
所以平面，因为平面，
所以
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