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2025-2026学年浙江省宁波市高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面上对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，则“”是“且”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.从这五个数中随机取两个数，则其中一个是另一个两倍的概率为( )
A. B. C. D.
5.平面向量，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.若，则的值为( )
A. B. C. D.
7.某生物种群数量与时间之间的关系可以由函数刻画，其中常数表示该种群数量的初始值，常数表示该种群环境容纳量，常数表示内禀增长率，则( )
A. 存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且
B. 存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且
C. 存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且
D. 不存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形
8.中国茶文化源远流长，茶壶造型千姿百态比如起源于巴蜀茶馆的长嘴壶图，其细长的壶嘴能隔座注水，既美观又具实用之妙如图，一个长嘴壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径厘米，壶身高厘米，壶嘴长厘米，与壶身夹角为度，壶嘴最低点连接壶底若将壶身向壶嘴方向转度时，刚好可以使壶中的水倒出，则将茶壶水平放置时壶中的水面高度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设直线，，是三条不同的直线，平面，是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的有( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，，则
10.定义在上的函数满足为偶函数，且，则( )
A. 函数为偶函数
B. 函数为周期函数
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在内至少有个零点
11.已知点，分别是平面四边形边，的中点，且，，，则( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数，则 ．
13.，是两个相互独立的随机事件，且，，则 ．
14.对任意，函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某市名学生在某次数学竞赛中的成绩的频率分布直方图如下：
求频率分布直方图中的值；
估计这次数学竞赛成绩的中位数和平均数；精确到
估计这次数学竞赛中分以上的人数．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
求；
若，，求的面积．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，平面，．
求证：；
若，且二面角的大小为．
求直线与平面所成角的大小；
求的长．
18.本小题分
已知定义在上的函数．
若，求证：对任意成立；
给定函数，若满足方程，则称是的一个“不动点”若函数在上仅有一个“不动点”，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数，．
求证：；
若对任意，存在，使得，求实数的最大值；
记的最大值为，最小值为解关于的不等式：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】 估计中位数为，平均数为 人
16.【答案】 或
17.【答案】因为平面，平面，所以，
又因为，，，所以，
所以，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，
所以 ；
18.【答案】证明：由，得，
解得，此时．
因为，
所以，当且仅当时，即时取等，
所以，
故对任意成立
19.【答案】因为，
所以，所以 为，
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