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2025-2026学年湖北省孝感市高级中学等校高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知全集U={-2，-1，0，1，2，3}，A={x∈N|0≤x≤3}，则 UA=（　　）
A. {-2，-1} B. {-2，-1，0} C. {0，1，2，3} D. {1，2，3}
2.下列命题是假命题的为（　　）
A. 若a＞b,则ac2＞bc2 B. 若a＞b,c＞d,则a+c＞b+d
C. 若a＞b＞0且c＜0，则 D. 若a＞b＞-1，则
3.已知θ是第一象限角，，则=（　　）
A. B. C. D.
4.已知函数f（x）=ax-3+1（a＞0且a≠1）的图象过定点（m,n），则m+n=（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5.想要得到函数的图像，只需将函数的图像（　　）
A. 各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向右平移个单位
B. 各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向左平移个单位
C. 各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位
D. 各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位
6.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意x2＞x1＞0均有f（x1）-f（x2）＞x1-x2成立，且f（1）=e+1（e为自然对数的底数），则不等式f（lnx）＞lnx+e的解集为（　　）
A. （0，e） B. （1，e） C. （e,+∞） D. （1，+∞）
7.已知函数，若f（x）=m有四个零点x1，x2，x3，x4，且满足x1＜x2＜x3＜x4，则x1-x2+x3x4+m的取值范围是（　　）
A. （-4，-2] B. C. [-2，-1） D.
8.设t为实数，已知函数，g（x）=9x+t 3x，若存在实数a,b（a≠b）同时满足f（a）+f（b）=0和g（a）+g（b）=0，则实数t的取值范围是（　　）
A. （-∞，-1] B. （-∞，-1） C. （-∞，0] D. （-∞，0）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法中，正确的有（　　）
A. “x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件
B. 函数f（x）=lg（x2-6x-7）的单调递增区间是（3，+∞）
C. 已知函数f（2x+1）的定义域为，则函数f（x-1）的定义域为[-1，3]
D. 已知x∈（0，π），则函数的最小值为4
10.设函数，已知f（x）在[0，π]上有且仅有4个零点，则（　　）
A. ω的取值范围是
B. y=f（x）的图象与直线y=1在（0，π）上的交点恰有2个
C. y=f（x）的图象与直线y=-1在（0，π）上的交点恰有2个
D. f（x）在上不单调
11.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，f（x-1）=f（3-x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1，则（　　）
A. f（x）=f（x+4） B. f（log35）＞f（log58）
C. 当x∈[2，3]时，f（x）=1-2x-2 D. 方程|f（x）|-lgx=0恰有9个解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若“存在x∈[1，4]使得2x+a+1≥0”是假命题，则实数a的取值范围是 .
13.幂函数f（x）=（m2-3m+3）x3m-4在（0，+∞）上为减函数，则m的值为______；
14.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），其部分图象如图所示，其中B为最高点，，，则= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
（1）已知tanα=2，求的值；
（2）计算：.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=log2x+alogx2+3，x＞0且x≠1.
（1）若a=-2，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若存在x∈[2，16]，使得不等式f（x）≥sin2θ+9对于任意的恒成立，求实数a的取值范围.
17.(本小题15分)
某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊OE、EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°．
（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．
18.(本小题17分)
设函数f（x）=cos2x-2asinx+a+3（a∈R）.
（1）若a=1，求函数f（x）在R上的值域；
（2）若不等式f（x）＞0在上恒成立，求a的取值范围；
（3）若方程f（x）=5在（0，2π]上有四个不相等的实数根，求a的取值范围.
19.(本小题17分)
已知定义在（-1，1）上的函数f（x）满足下列两个条件：
①对任意x,y∈（-1，1），都有；
②对任意当x∈（0，1），f（x）＜0.
请解答下列问题：
（1）判断f（x）的奇偶性及在定义域内的单调性，并证明；
（2）解不等式：；
（3）证明：对任意正整数n,.
提示：①n2+3n+1=（n+1）（n+2）-1；
②.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】（-∞，-9）
13.【答案】1
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：（1）当a=-2，f（x）=log2x-2logx2+3，x＞0，
令t=log2x,
则f（x）≥2可化为，
即，
解得-2≤t＜0或t≥1，即-2≤log2x＜0，或log2x≥1，
所以或x≥2，
故不等式的解集为或x≥2}，
（2）因为，
当时，sin2θ+9有最大值10，
故存在x∈[2，16]，f（x）≥10成立，
令t=log2x,因为x∈[2，16]，所以1≤t≤4
即存在1≤t≤4，成立，
即a≥7t-t2，
而函数h（t）=7t-t2的图象开口向下，对称轴为，
又h（1）=6＜h（4）=12，则h（t）min=6，
故a≥6，即a的取值范围是[6，+∞）．
17.【答案】解：（1）∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，
∴OE=
在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，
∴OF=．
又∠EOF=90°，
∴EF==，
∴l=OE+OF+EF=．
当点F在点D时，这时角α最小，此时α=；
当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=．
故此函数的定义域为[，]；
（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．
由（1）得，l=，α∈[，]，
设sinα+cosα=t，则sinαcosα=，
∴l==
由t=sinα+cosα=sin（α+），
又≤α+≤，得，
∴，
从而当α=，即BE=25时，lmin=50（+1），
所以当BE=AF=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为200000（+1）元．
18.【答案】[2，6] （-4，3）
19.【答案】f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，证明如下：
对任意x，y∈（-1，1），都有，
令x=y=0，则f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0；令y=-x，则，即f（-x）=-f（x），
所以f（x）为奇函数；f（x）在（-1，1）上单调递减，证明如下；设-1＜x2＜x1＜1，则-x2∈（-1，1），所以，
因为-1＜x2＜x1＜1，所以|x1x2|＜1，则1-x1x2＞0，，
又，
所以，
又当x∈（0，1），f（x）＜0，所以，
所以f（x1）+f（-x2）＜0，即f（x1）-f（x2）＜0，所以f（x）在（-1，1）上是减函数 因为，
因为，，
所以，
所以
=
=，
因为，所以，则，
所以，
故
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