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2025-2026学年陕西省西安市铁一中学高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知z=a-i（a∈R），且z-1为纯虚数，则z在复平面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合，，则A∩（ RB）=（　　）
A. （-1，4） B. [-1，4] C. （-1，5] D. （4，5）
3.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的大致图象是（　　）
A. B.
C. D.
4.在等差数列{an}中，已知m,n,p,q∈N*，则m+n=p+q是am+an=ap+aq的（　　）
A. 充分但不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5.一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差为2的等差数列{an}，若a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（　　）
A. 12，13 B. 13，13 C. 13，12 D. 12，14
6.若函数f（x）同时满足：
（1）对于定义域内的任意x，有f（x）+f（-x）=0；
（2）对于定义域内的任意x1，x2，当x1≠x2时，有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数：①f（x）=x2；②f（x）=-x3；③；④．
其中是“理想函数”的序号是（　　）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
7.若函数f（x）=有4个零点，则正数ω的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
8.已知函数f（x）=loga（2x-1）（a＞0且a≠1）的图象恒过点A，函数的图象恰好过点A，且g（x）在[1，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是）（　　）
A. （1，4] B. （0，1）∪（1，3]
C. D. （0，1）∪（1，4]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数f（x）=cos2x+2sinx,则（　　）
A. f（x）的最小正周期为2π B. f（x）关于直线对称
C. f（x）关于点中心对称 D. f（x）的最小值为-3
10.已知函数f（x）=x3-3x+1，则（　　）
A. f（x）有两个极值点
B. 若方程f（x）=a有三个实根，则a≤-1或a≥3
C. 点（0，1）是曲线y=f（x）的对称中心
D. 直线y=9x-15是曲线y=f（x）的切线
11.已知函数f（x）是R上的奇函数，且过点（3，2），对于一切正实数m,n,都有f（m）=f（m）+f（n）-1.当时，f（x）＞0恒成立，则（　　）
A.
B. f（x）在R上是单调函数
C. 当x＞0时，
D. 当f（x）∈（2，3）时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算= .
13.设函数f（x）=x（ex+ae-x），x∈R，是偶函数，则实数a=______．
14.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的曼哈顿距离d（A，B）=|x1-x2|+|y1-y2|.已知M（4，6），点N在圆C：x2+y2+6x+4y=0上运动，若点P满足d（M，P）=2，则|PN|的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=（log2x-2）（log2x-1）.
（1）求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若存在x∈[4，16]，使得不等式f（x）≥mlog2x成立，求实数m的取值范围.
16.(本小题15分)
三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=2，CA1=4，CB1=2，∠BAA1=60°.
（1）证明：CA=CB；
（2）若CA=4，求二面角A1-CB1-C1的余弦值.
17.(本小题15分)
已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，为C上一点，且.
（1）求C的方程；
（2）过点P（4，0）且斜率存在的直线l与C交于不同的两点A，B，且点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴交于点Q.求点Q的坐标.
18.(本小题17分)
已知函数.
（1）若f′（1）=e2，求此时a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）当a＞0，x1＜x2且x1 x2＞0时，判断f（x1）-f（x2）与的大小，并说明理由.
19.(本小题17分)
已知双曲线C：x2-y2=1，直线l为其中一条渐近线，A1为双曲线的右顶点，过A作x轴的垂线，交l于点B1，再过B1作y轴的垂线交双曲线右支于点A2，重复刚才的操作得到B2，A3，B3，…，An，Bn…，记An（xn，yn）.
（1）求{xn}的通项公式；
（2）过Ai作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于Mi，Ni，记，bi=ai+1求证：.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】8
13.【答案】-1
14.【答案】
15.【答案】解：（1）f（x）=（log2x-2）（log2x-1）＜0，
令t=log2x,
则原不等式可化为（t-2）（t-1）＜0，
解得1＜t＜2，即1＜log2x＜2，
所以2＜x＜4，
不等式f（x）＜0的解集{x|2＜x＜4}．
（2）当x∈[4，16]时，
令t=log2x,可得t∈[2，4]，
原不等式可化为t2-3t+2≥mt对于t∈[2，4]能成立，
即可得对于t∈[2，4]能成立，
由对勾函数性质可知，
在t∈[2，4]上单调递增，
所以，
因此只需即可，得；
即m的取值范围是．
16.【答案】（1）证明：取AB的中点M，连接CM和MA1，如图：
因为A1B1=2，CA1=4，CB1=2，
根据勾股定理得到A1B1⊥CA1，
因为AB∥A1B1，
所以AB⊥CA1，
因为AA1=AB=2，∠BAA1=60°，
所以△ABA1是等边三角形，
因为M是AB中点，
所以AB⊥MA1，
因为CA1∩MA1=A1，
所以AB⊥面CMA1，
所以AB⊥CM，
因为M是AB中点，
所以CA=CB；
（2）解：在面CMA1平面内，过M作MA1的垂线作为z轴，
因为AB⊥面CMA1，
所以AB⊥z轴，
因为AB⊥MA1，
所以可以建立如图所示空间直角坐标系，
首先来看C点坐标，面CMA1分解图如下：
过C作CN⊥MA1交MA1于N点，设MN=t,CN=h,
则t2+h2=13，（3-t）2+h2=16，
解得t=1，h=，
所以点C（0，1，2），A1（0，3，0），，，
设面CA1B1的法向量为=（x,y,z），
=（0，-2，），=（），
所以，
不妨设z=1，则法向量=（0，），
面CB1C1即面CBB1，设面CBB1的法向量=（s,q,r），
=（），
所以，
不妨设r=1，则法向量=（-3，-，2），
从图像可得二面角A1-CB1-C1是钝二面角，
所以cos＜A1-CB1-C1＞=-||=-，
即二面角A1-CB1-C1的余弦值是．
17.【答案】y2=3x；
Q（-4，0）．
18.【答案】2；
当a＞0时，单调增区间为；单调减区间为，当a=0时，单调减区间为（-∞，0）和（0，+∞）；无单调增区间，当a＜0时，单调增区间为；单调减区间为（0，+∞）和；
，理由见详解．
19.【答案】解：（1）双曲线C：x2-y2=1，渐近线方程为y=±x,
由已知可得：yn=xn-1，
又点An（xn，yn）在双曲线上，所以，即，
所以是以为首项，公差为1的等差数列，所以，即．
（2）证明：设Ai（xi，yi），有，
以Ai为切点的双曲线的切线，yi≠0时斜率存在时，设斜率为k,
切线方程为y=k（x-xi）+yi，代入双曲线C，
得，
由Δ=0，得，解得，切线方程为xix-yiy=1，
A1（1，0）为切点的双曲线的切线方程x=1也满足，
由，可得，
即，
由可得，
即，
所以，
所以．
先证右边：
，
所以
=，右边得证．
下证左边：
先证x＞ln（1+x），令f（x）=x-ln（x+1）（x＞0），
，
所以f（x）在（0，+∞）递增，所以f（x）＞f（0）=0．
即x＞0时，x＞ln（1+x），
所以，
i≥2时，，
证明如下：
=
=，
所以，
所以当n≥2时，
=，
当成立，
所以，左边得证．
所以命题得证．
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