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山东青岛市市北区2025-2026学年八年级下学期期末数学质量调研
一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B.
C. D.
2.下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）
A. B.
C. D.
3.小冉计划在两周内阅读完一本正文有142页的数学科普图书（每周阅读7天）．如果第1天只阅读了6页，为了按时或提前完成，那么她在剩余天数内平均每天至少要阅读多少页？设小冉在剩余天数内平均每天要阅读页，根据题意可列不等式为（ ）
A. B.
C. D.
4.如图，在△ABC中，AB=8，点D在AC边的垂直平分线上，△BCD的周长为15，则BC的长为（　　）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
5.网约车公司2025年用2700万元购置了一批新能源汽车投入市场运营，在2026年计划用2400万元继续购入该款新能源车，由于产能规模调整，该款新能源汽车的售价产生变化，设2025年售价为x万元，若x满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 该款新能源汽车2026年比2025年涨价，多购入20辆车
B. 该款新能源汽车2026年比2025年涨价，少购入20辆车
C. 该款新能源汽车2026年比2025年降价，多购入20辆车
D. 该款新能源汽车2026年比2025年降价，少购入20辆车
6.下列命题中，是真命题的有（）
①的平方根是2；
②有两边和一角对应相等的两个三角形全等；
③顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形；
④如果三个内角的度数比是，那么是直角三角形
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7.如图，直线与直线相交于点，已知点的纵坐标为，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9.如图, ABCD中, AB=2,C=2D，E、F分别是BC, CD上的动点(不含端点), G,H分别是AF, EF的中点.则GH的最小值为( )
A. B. C. 1 D.
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
10.因式分解： ．
11.如图，中，，平分，，，则的面积是 ．
12.如图，在中，，将沿方向平移到（点在线段上），若，则平移距离是 ．
13.如图，在中，对角线，相交于点O，E为边上任意一点，若的面积为4，则的面积为 ．
14.足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ．
15.对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的 x的整数值有 个．
16.如图，的对角线，交于点O，的平分线与交于点E，与交于点F，连接，，，．则下列结论：①四边形是等腰梯形②③④，其中正确的有 （填写序号）．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.按要求解答问题：
(1) 化简：；
(2) 解分式方程：；
(3) 解不等式组：．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
尺规作图：用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
在四边形中找到一点M，使M到、的距离相等，并且的距离最短．
19.(本小题6分)
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）．
(1) 在图①中找一点P，使得；
(2) 在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）；
(3) 在图③中以为边画一个等腰．
20.(本小题8分)
对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．
(1) ；
(2) 如图，四边形是正方形，边长，P在正方形内部，过点P分别作、的垂线与、、、相交于点E、F、G、H，连接、，，，且．求图中阴影部分的面积是多少？
21.(本小题8分)
如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以秒的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以秒的速度向点B运动，若其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
(1) 用含t的代数式表示线段的长 ；
(2) 当时，求运动时间t的值．
22.(本小题8分)
在学完分式和不等式的内容后，小明想知道：当时，与的大小关系．于是小明采取了如下探究策略：
(1) 问题探究：
特殊情形
①当时，若
作差法：
由，得，，，故差值
结论：
②当时，若
当时， （填“>”、“<”或“=”）；
当时， （填“>”、“<”或“=”）；
(2) 问题解决：
一般情形
请你参考问题探究的过程，当时，比较与大小．
23.(本小题8分)
如图，四边形是平行四边形，，，连接、，
(1) 求证：；
(2) 求证：四边形是平行四边形．
24.(本小题10分)
某商店计划购进甲、乙两种商品，已知每件甲商品的进价比每件乙商品的进价少20元，经过测算，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．售出时，甲商品售价为每件100元，乙商品售价为每件130元．
(1) 甲、乙两种商品的进价各是多少元？
(2) 商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，将两种商品全部售出后获利最多是多少？
(3) 在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品涨价m元（），乙商品售价不变，如果将两种商品全部售出后的利润至少是8000元，请直接写出m的取值范围．
25.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点，，，．将平行四边形绕点O逆时针方向旋转得到平行四边形．
(1) 点的坐标为 ；
(2) 求出直线的函数关系式；
(3) 若点在x轴上，点P在y轴上，Q在直线上，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】
11.【答案】6
12.【答案】4
13.【答案】8
14.【答案】12°/12度
15.【答案】3
16.【答案】①②③
17.【答案】【小题1】
解：
．
【小题2】
解：，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以不是原分式方程的解，原分式方程无解．
【小题3】
解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集为．

18.【答案】解：如图，点即为所求.

19.【答案】【小题1】
解：如图①，取格点D，E，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
解：如图②， 即为所求（答案不唯一）；
∵与的底边都是，高均为4格，
∴；
【小题3】
如图③，等腰即为所求（答案不唯一）．
点B与点F关于点C所在的水平格线对称，此时，
∴为等腰三角形，即为所求．

20.【答案】【小题1】
11
【小题2】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
图中阴影部分的面积
，
∵，
∴原式．

21.【答案】【小题1】

【小题2】
解：，分为两种情况：
①当四边形为平行四边形时，如图，
即，
∴，
解得：，
②当四边形为等腰梯形时，如图，过作于，过作于，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形，四边形，四边形都是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
综上：当或时，．

22.【答案】【小题1】

【小题2】
解：．
∵，
∴．
分以下情况讨论：
①若，则，
∴，即，
∴．
②若，则；
③若，，即时，，
∴，
∴．
④若，，即，相当于时，，
∴，
∴．
综上所述，当或时，；当，时，；当，则．

23.【答案】【小题1】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【小题2】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵由（1）有，
∴，
∴，
∵由（1）有，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．

24.【答案】【小题1】
解：设甲商品的进价为x元，则乙商品的进价为元，根据题意，得
，
解得，
经检验，是该分式方程的解，
∴．
答：甲商品的进价为60元，乙商品的进价为80元．
【小题2】
解：设购进甲商品n件，两种商品全部售出后获利w元，则
，
∵n应满足，
解得，
∵，
∴w随n的增大而减小，
∴当时，w有最大值，为．
答：将两种商品全部售出后获利最多是6500元．
【小题3】
解：根据题意，得两种商品全部售出后总利润
，
∵，
∴，
∴w随n的增大而增大，
∵由（2）有，
∴当时，w取得最小值，为
∵要使总利润至少为8000元，即，
∴，
解得，
∴m的取值范围为．

25.【答案】【小题1】
【小题2】
设直线的函数关系式为，
则，
解得，
∴直线的函数关系式为；
【小题3】
设，
①当为边，且点P在y轴下方时，如图，
，
解得，
∴；
②当为边，且点P在y轴上方时，如图，
则，
解得，
∴；
③当为对角线时，如图，
得，
解得，
∴，
综上，存在点或或，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．

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