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2025-2026学年浙江省杭州市萧山区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，值最大的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列人工智能APP图标中，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.把一元二次方程（x+2）2=x化为一般形式，正确的是（　　）
A. x2+3x+2=0 B. x2+5x+4=0 C. x2+3x+4=0 D. x2-x+4=0
4.某招聘考试分笔试和面试，最后按笔试成绩占40%，面试成绩占60%计算综合得分.小慧笔试成绩90分，面试成绩85分，那么小慧的综合得分是（　　）
A. 88.5分 B. 88分 C. 87.5分 D. 87分
5.如图，△ABC中，∠ACB=Rt∠，，，则BC的长为（　　）
A.
B. 2
C.
D.
6.如图，要使 ABCD成为矩形，给出下列条件：①AB=BC；②∠DAB=∠ABC；③AC=BD，其中正确的是（　　）
A. ①②③
B. ②③
C. ①②
D. ①③
7.用反证法证明命题“在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个大于或等于60°”，第一步应先假设（　　）
A. ∠A，∠B，∠C中最多有一个大于或等于60°
B. ∠A，∠B，∠C都大于或等于60°
C. ∠A，∠B，∠C中最多有一个小于60°
D. ∠A，∠B，∠C都小于60°
8.取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使包装盒的容积为200cm3（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？
若设这张长方形纸板的长为5x厘米，则由题意可列出的方程是（　　）
A. 5（5x+10）（2x-10）=200 B. 5（5x+10）（2x+10）=200
C. 5（5x-10）（2x-10）=200 D. 5（5x-10）（2x+10）=200
9.如图所示是甲、乙两人射击成绩的箱线图，下面说法正确的是（　　）
A. 甲射击成绩的方差一定大于乙射击成绩的方差
B. 甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数
C. 甲射击成绩的平均数大于乙射击成绩的平均数
D. 甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数
10.如图，正方形ABCD中，E是AB上一点，点F在AD的延长线上，BE=DF，连结EF.P是EF的中点，连结DP，AC.给出以下结论：①DP垂直平分AC；②，下列判断正确的是（　　）
A. ①，②都对
B. ①，②都错
C. ①对，②错
D. ①错，②对
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.二次根式中字母x的取值范围是 ．
12.五边形的内角和为 .
13.已知一元二次方程x2+4x+m=0的一个根为1，则另一个根为 .
14.如图，已知点E，F分别是正方形ABCD的边BC和CD上的一点，且△AEF是等边三角形，则∠BAE的度数为 .
15.某水果经销商，去水果基地进了某种水果，发现这批水果的规格大小基本有5种（单位：克）：68，75，85，93，99.经销商准备将这批水果分成小果与大果两组出售，其中小果组：{68，75}，大果组：{95，99}，根据“组内离差平方和最小”的原则，85应该放入 果组比较合理（填“大”或“小”）.
16.如图， ABCD中，，BC=2，∠ABC=45°，过点A作AE⊥BD于E，连接CE，则△BCE的面积为 .
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
17.计算：.
18.求方程x2-2x-4=0的正数根.
四、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
期末复习时李老师给出了一道题：“已知，，求x2+y2的值.”大家经过讨论后给出了2种不同的解题思路：
思路①：直接代入计算即可.
思路②：可以先求x+y,xy,再变形代入求值.
请你根据以上的思路，选择其中一种进行计算.
20.(本小题8分)
已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.
求证：
（1）AE=AF；
（2）∠B=∠EAF.
21.(本小题8分)
为调查某班40名学生每天完成课后作业所需的时间，在该班随机抽查了8名学生，他们每天完成作业所需时间（单位：分）分别为：90，75，110，75，75，60，60，95.
（1）这组数据的众数是______分，中位数是______分，下四分位数是______分；
（2）试问该班级大约有多少学生每天完成课后作业时间在67.5～92.5分之间？
22.(本小题10分)
一堂几何拓展课中对平行四边形和矩形的边和对角线之间的数量关系进行了研究.
（1）如图①，矩形ABCD中，求证：AC2+BD2=2（AB2+BC2）；
（2）如图②，在 ABCD中，可以发现（1）中的结论仍然成立，请证明之.
23.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与px2+qx+r=0（p≠0）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且abc=pqr,则这两个方程是互为“高关联方程”.例如，方程x2-4=0与x2-2x=0是互为“高关联方程”.
（1）若关于x的一元二次方程x2+2x-3=0与2x2+x+k=0是互为“高关联方程”，求k的值及相同的根；
（2）若关于x的一元二次方程3x2+2x+m=0①与3x2+4x+n=0②是互为“高关联方程”，且mn≠0，求m,n的值.
24.(本小题12分)
如图，过点A的直线l交正方形ABCD的BC边于P点（不与点B，点C重合），点B'是点B关于直线l的对称点，连接并延长PB'交AD的延长线于E.
（1）求证：EA=EP；
（2）若点B'为PE中点，求∠BAP的度数；
（3）设PC=x,DE=y,若正方形ABCD的边长确定，当直线l的位置变化时，试探究代数式的值为定值.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】A
11.【答案】x≥1
12.【答案】540°
13.【答案】-5，
14.【答案】15°
15.【答案】大
16.【答案】
17.【答案】．
18.【答案】．
19.【答案】思路①：∵，
∴
=
=14；
思路②：∵，
∴，
∴x2+y2
=（x+y）2-2xy
=42-2×1
=14．
20.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
又∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°．
在△AEB和△AFD中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS）．
∴AE=AF 证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD=180°，
设∠B=α，则∠BAD=180°-α．
∵∠AEB=90°，∠B=α，
∴∠BAE=90°-α．
由（1）知△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF=90°-α．
∴∠EAF=180°-α-（90°-α）-（90°-α）=α．
∴∠B=∠EAF
21.【答案】75;75;67.5 该班级大约有20名学生
22.【答案】证明：如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，
∴AC2=AB2+BC2，
∴AC2+BD2=2AC2=2（AB2+BC2） （1）中的结论仍然成立，
证明：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于 F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD且AB=DC，
∴∠ABE=∠DCF，
又∵∠AEB=∠DFC=90°，
∴△ABE≌△DCF，
∴AE=DF，BE=CF，
在Rt△ACE中，由勾股定理，可得AC2=AE2+CE2=AE2+（BC-BE）2，
在Rt△BDF中，由勾股定理，可得BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=DF2+（BC+BE）2，
∴AC2+BD2=AE2+DF2+2BC2+2BE2=2AE2+2BC2+2BE2，
在Rt△ABE中，由勾股定理，可得AB2=AE2+BE2，
∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2（AE2+BE2）+2BC2=2AB2+2BC2
23.【答案】k=-3，相同根为x=1 m=-8，n=-4
24.【答案】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB，
由对称得到∠APB=∠APE，
∴∠DAP=∠APE，
∴EA=EP 30° 如图2，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，
设正方形的边长为a，
∵∠CDE=∠DCF=∠F=90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∴EF=CD=a，CF=DE=y，
∴PF=PC+CF=x+y，
在Rt△PEF中，PE=AE=a+y，
由勾股定理得：PE2=PF2+EF2，
∴（a+y）2=（x+y）2+a2，
整理得：x2+2xy=2ay，
∴，
∴当直线l的位置变化时，代数式的值为定值（为正方形边长的2倍）
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