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13.2.1 三角形的边 暑假预习检测试题 2026-2027学年
初中数学人教版（2024）八年级上学期
一、单选题
1．以下列数据为三边长能构成三角形的是（　　）
A．4，4，8 B．3，5，7 C．，6，8 D．1，2，3
2．若三角形的两条边长分别为4和9，则第三边的边长可以是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．13
3．优质的教育资源是社会民生问题，在侯马市委、市政府的关心和支持下，侯马市新二中建设如火如荼，预计今年9月份完工并投入使用，如图是建设中采用的三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．三角形任意两边之和大于第三边
C．垂线段最短
D．三角形具有稳定性
4．如图，已知是直线上一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点．若，则的长不可能是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
5．如图，的值可能是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
6．已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．17 B．13 C．17或13 D．12
7．已知等腰三角形的两边长分别为，且，则此三角形的周长为（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．14或16
二、填空题
8．为三角形三边长，化简的结果是___．
9．给出下列图形：其中具有稳定性的是________（把序号填在横线上）
10．已知的三条边长分别为5、7和x，则x的取值范围是________．
11．用一根长度为小木棒与两根长度分别为的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是__________．
12．如图，__________（填“”，“”或“”）．
13．已知的三边长分别为，，，化简________．
三、解答题
14．，，（，）分别表示三条线段的长度，试判断以其为边是否能组成三角形．
15．已知：的三边长分别为a，b，c．
(1)化简：；
(2)若a，b，c满足，判断的形状，并说明理由．
16．用一条长的细绳围成一个三角形，已知第一条边长为，第二条边长比第一条边长的倍少．
(1)用含的式子表示第三条边长；
(2)若能围成一个等腰三角形，求这个三角形的三边长．
17．阅读材料．
例题：若，求m和n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
解决下列问题：
(1)若，求的值；
(2)若a，b，c是的三边长，且满足，求边长的取值范围．
18．【问题探究】
数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系．
小明进行了以下探究；
已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边．
小红在小明的基础上进行了补充：
若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形．
【问题解决】
(1)三角形的三边长分别为，，，求的取值范围；
(2)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值；
(3)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B C D D D A B
1．B
【分析】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【详解】A． 4，4，8：较小两边之和为，不能构成三角形，故A不符合题意；
B． 3，5，7：较小两边之和为，能构成三角形．
C．，6，8：较小两边之和为，不能构成三角形，故C符合题意；
D． 1，2，3：较小两边之和为，不能构成三角形，故D不符合题意．
故选：B
2．C
【分析】本题考查了三边关系，根据三角形三边关系定理，第三边应大于两边之差且小于两边之和，据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：设第三边长为，
∵三角形的两边长分别为4和9，
∴，即
观察四个选项，唯有C选项的8满足；
故选：C
3．D
【分析】本题考查了三角形具有稳定性．根据三角形具有稳定性作答即可．
【详解】解：建设中采用的三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性．
故选：D．
4．D
【分析】本题考查三角形的三边关系，连接，根据三角形的三边关系，得到，进行判断即可．
【详解】解：如图所示，连接，
由作图可知：，
∵，
∴，
∴的长不可能是4；
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了三角形的三边关系．注意要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
根据三角形三边关系得到，，再取公共部分即可．
【详解】解：∵两边长分别为8，9，
∴此时．
又∵两边长分别为5，18，
∴此时．
∵x的取值范围为：，
∴x的值可能是14．
故选：D．
6．A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，非负数的性质，根据非负数的性质得到，则，再分腰长为3和7两种情况，根据构成三角形的条件验证是否能构成三角形，最后根据三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，7，
∵，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为8时，则该等腰三角形的三边长为3，7，7，
∵，
∴此时能构成三角形，符合题意，
∴该等腰三角形的周长为，
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了绝对值的非负性应用，算术平方根的非负性应用，三角形的三边关系应用，根据绝对值和算术平方根的非负性求出的值，再应用三角形的三边关系判断即可求解，解题的关键是掌握绝对值和算术平方根的非负性．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
当腰长，为底边长时，
∵，
∴不构成三角形，
当底边长，为腰长时，
∵，
∴能构成三角形，
∴三角形的周长，
故选：．
8．0
【分析】本题主要考查了简单的三角形的三边关系的运用，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．根据三角形的三边关系去绝对值，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而再化简即可．
【详解】解：解：因为a，b，c是三角形的三边长，
所以，
，
，
．
故答案为：0．
9．②③
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟练掌握三角形的稳定性质．
利用三角形的稳定性进行判断即可．
【详解】解：根据三角形具有稳定性可得，
具有稳定性的图形是②和③，
故答案为：②③．
10．/
【分析】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知两边的差，而小于两边的和．根据三角形的三边关系：三角形第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
【详解】解：，
则．
故答案为：．
11．4（答案不唯一）
【分析】本题考查构成三角形的条件，根据三角形的三边关系，确定的取值范围，进行求解即可．
【详解】解：由三角形三边关系得，
所以x的取值范围是．
故答案为：4（答案不唯一）．
12．
【分析】本题考查三角形三边关系的理解．根据题意利用两边之差小于第三边，两边之和大于第三边即可得到本题答案．
【详解】解：∵两边之和大于第三边，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质，整式的加减，正确得出的取值范围是解题关键．利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案．
【详解】解：因为的三边长分别为，，，
所以．
解得．
∴，，
∴．
故答案为：．
14．不能，理由见解析
【分析】本题考查了三角形的三边关系，理解并掌握三角形三边关系是解题关键．三角形三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．据此即可获得答案．
【详解】解：，，
∴为较短边的长度，
又，
不能组成三角形．
15．(1)
(2)等边三角形，见解析
【分析】（1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可；
（2）由非负数的性质证明，从而可得结论．
【详解】（1）解：∵a，b，c是的三边长，
∴，，，
∴
．
；
（2）解：∵且，，
∴且，
∴且，即，
∴是等边三角形．
16．(1)
(2)，，
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系进行判断；
（1）先表示出第二条边长，即可得出第三条边长；
（2）依据三角形恰好是一个等腰三角形，分三种情况讨论，得到关于x的方程，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形；
【详解】（1）解：第二条边长为，
第三条边长为；
（2）解：当时，，故三角形的三条边长为，，，
由，得，，不能组成三角形；
当时，，故三角形的三条边长为，
由，得不能组成三角形；
当时，，故三角形的三条边长为，由，得可组成等腰三角形，
等腰三角形的三边长为．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了完全平方公式、负整数指数幂、三角形的三边关系，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
（1）先利用完全平方公式可得，从而可得，，再代入计算即可得；
（2）先利用完全平方公式可得，从而可得，，再根据三角形的三边关系求解即可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
∵是的三边长，
∴，即．
18．(1)
(2)4
(3)
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成为解题的关键．
（1）直接根据三角形三边关系列不等式求解即可；
（2）设最短的边的长度为x，较长边的长度为，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答；
（3）设，然后根据题意列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为，，，
∴，解得：．
（2）解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为，
由题意可得：，解得：，
∵一个三角形的三边长都是整数，
∴该三角形最短边的最小值4．
（3）解：设，
由题意可得：，解得：．
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