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25.2.1 配方法 暑假预习检测试题 2026-2027学年
初中数学人教版（2024）九年级上学期
一、单选题
1．方程的根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程时，经过配方后正确的是（ ）．
A． B． C． D．
4．已知为实数，，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最大值是（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
二、填空题
6．用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值___________．
7．对于实数a，b，定义运算“※”如下：，例如，．若，则x的值为_____________．
8．若，则关于x的二次方程的解是___．
9．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图．老师看后，发现有一名同学所负责的步骤是错误的，则这名同学是________．
10．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______．
三、解答题
11．解方程：x2﹣3x﹣1=0(用配方法)
12．如果求的值．
13．关于的方程有两个不相等的实数根，且为非负整数，求的值及此时方程的根．
14．阅读材料：分解因式：x2+2x-3
解：原式=x2+2x+1-4=（x+1）2-4
=（x+1+2）（x+1-2）=（x+3）（x-1）
此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫配方法．请仔细体会配方法的特点，然后尝试用配方法解决下列问题：
（1）分解因式x2-2x-3=_______；a2-4ab-5b2=_______；
（2）无论m取何值，代数式m2+6m+13总有一个最小值，请你尝试用配方法求出它的最小值；
15．阅读下面的解题过程，求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0，即（y+2）2的最小值为0，
∴y2+4y+8的最小值为4．
仿照上面的解答过程，求x2+6x+13的最小值和6﹣a2+2a的最大值．
16．问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法"，解决下列问题：
(1)分解因式：.
(2)比较代数式与的大小.
17．教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式；；
例如：求代数式的最小值．
原式．
，
当时，有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：　 　；
(2)求代数式的最小值；
(3)若当x＝　 　时，y有最　 　值（填“大”或“小”），这个值是　 　．
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 C D D B D
1．C
【分析】本题考查一元二次方程的求解，可用直接开平方法计算，先移项，再将的系数化为，最后开平方即可得到方程的根．
【详解】解：
，．
2．D
【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的要求，等式右边必须为非负数，据此列不等式求解即可得到的取值范围．
【详解】解：∵任意实数的平方为非负数
∴
∵方程可以用直接开平方法求解
∴等式右边需满足非负，即
解得．
3．D
【详解】解： ，
移项，得 ，
给方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ，得，
整理左侧为完全平方式，得．
4．B
【分析】比较两个代数式的大小，采用作差法，对作差结果配方后，利用平方数的非负性判断差的符号，即可得到与的大小关系．
【详解】解：∵，，
∴，
去括号整理得：，
即：，
∵为实数，任意实数的平方非负，可得，
∴，即，
∴．
5．D
【分析】根据新定义求得a、b值，再利用配方得到，然后利用非负性求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，
∴一元二次方程的 “同族二次方程”为，即，
∴，，解得，
∴，
∵，
∴，即，
∴能取到最大值．
6．
【详解】解：，
方程两边同除以3，得，
移项，得，
配方，得，，
∴．
7．
【分析】根据题目中给出的运算规则，将转化为常规的一元二次方程，再求解方程．
【详解】解：根据定义的运算规则，将转化为方程：
，
解得．
8．
【分析】本题主要考查了解绝对值、一元二次方程的定义、解一元二次方程等知识点，确定m的值是解题的关键．
由解得或，但二次方程要求二次项系数，因此，故；代入方程后解一元二次方程即可．
【详解】解：∵，
∴或，
∴或，
又∵关于x的二次方程，
∴二次项系数，即，
∴，
将代入方程得，即，
∴，即 ，
解得：．
故答案为： ．
9．丁
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握用配方法解方程时，开平方要考虑正负两种情况，不能遗漏解是解题的关键．
依次检查配方法解一元二次方程的移项，配方，化简，求解四个步骤，找出错误的步骤．
【详解】解：甲的步骤：此步骤为移项，正确；
乙的步骤：此步骤为配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，正确；
丙的步骤：此步骤为化简，正确；
丁的步骤
此步骤为求解 开平方，应得
当时，解得
当时，解得
所以方程的解应为，
丁同学只给出了一个解，遗漏了另一个解，因此步骤错误．
故答案为：丁．
10．
【分析】先根据题中的新定义，求出a，b的值，再将a，b的值代入代数式中，运用配方法求得其最小值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，
∴应为，
∴，
∴，
∴，
∴，
代数式
，
∴代数式的最小值是．
故答案为：．
11．x=
【详解】试题分析：先移项，然后配方解出x即可.
试题解析：x2﹣3x﹣1=0,
移项，得x2－3x=1，
配方，得x2－3x+（）2=1+（）2，即（x－）2=，
解得，x－=±，
即x=.
12．．
【分析】将原式化为两个完全平方式,根据0+0式求出x,y,代入求值即可.
【详解】解：，
，，
则；．
．
【点睛】本题考查了二元一次方程的性质,属于简单题,将原式配方是解题关键.
13．．
【分析】由题意得到根的判别式，然后解此不等式得到，再根据为非负整数，得到m的值为0，代入原方程，得到方程为，再解此一元二次方程即可．
【详解】解：根据题意得，
因为方程有两个不相等的实数根，
所以
为非负整数，
此时方程为
．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键，，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．
14．（1）（x-3）（x+1）；（a+b）（a-5b）;（2）代数式m2+6m+13的最小值是4
【分析】（1）二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方；
（2）利用配方法将代数式m2+6m+13转化为完全平方与和的形，然后利用非负数的性质进行解答．
【详解】（1）x2-2x-3，
=x2-2x+1-1-3，
=（x-1）2-4，
=（x-1+2）（x-1-2），
=（x-3）（x+1）；
a2-4ab-5b2，
=a2-4ab+4b2-4b2-5b2，
=（a-2b）2-9b2，
=（a-2b-3b）（a-2b+3b），
=（a+b）（a-5b）；
故答案为（x-3）（x+1）；（a+b）（a-5b）；
（2）m2+6m+13=m2+6m+9+4=（m+3）2+4，
因为（m+3）2≥0，
所以代数式m2+6m+13的最小值是4．
【点睛】本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
15．x2+6x+13的最小值为4,6﹣a2+2a的最大值是7
【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答．
【详解】x2+6x+13
＝x2+6x+9+4
＝（x+3）2+4，
∵（x+3）2≥0，即（x+3）2的最小值为0，
∴x2+6x+13的最小值为4；
6﹣a2+2a
＝﹣a2+2a﹣1+7
＝﹣（a﹣1）2+7，
∵（a﹣1）2≥0，
∴﹣（a﹣1）2≤0，即﹣（a﹣1）2的最大值是0，
∴6﹣a2+2a的最大值是7．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式和偶次方的非负性是解题的关键．
16．(1)a2-6a+8=(a-2)(a-4)；(2)x2-1>2x-3.
【分析】(1)前两项加9再减9，可以组成完全平方式；
(2)将与做差，对所得的差利用“配方法”进行求解即可得.
【详解】(1)a2-6a+8
=a2-6a+9-9+8
=(a-3)2-1
=(a-2)(a-4)；
(2)-()
=x2-1-2x+3
=x2-2x+2
=x2-2x+1-1+2
=(x-1)2+1，
不论x为何值，总有(x-1)2+1≥1>0，
所以x2-1>2x-3.
【点睛】本题考查了配方法，十字相乘法分解因式，偶次方的性质，因式分解的应用等，配方法是数学习题里经常出现的方法，应熟练掌握．
17．(1)
(2)3
(3)；大；1
【分析】（1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解；
（2）凑成完全平方加一个数值的形式；
（3）和（2）类似，凑成完全平方加一个数值的形式；
【详解】（1）解：
．
（2）解：
；
∴当时，的最小值是3；
（3）解：，
，
，
当的时候，有最大值1．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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