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25.2.2 公式法 暑假预习检测试题 2026-2027学年
初中数学人教版（2024）九年级上学期
一、单选题
1．用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（　　）
A．3，﹣4，8 B．3，﹣4，﹣8 C．3，4﹣8 D．3，4，8
2．在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到，则该一元二次方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．若，关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
4．若关于x的一元二次方程无实数根，则a的值可以是（ ）
A． B．0 C． D．
5．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
二、填空题
6．一元二次方程的根为______．
7．若关于的一元二次方程，其根的判别式的值为8，则的值是______．
8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
9．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值是_____．
10．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．
三、解答题
11．解方程
(1)
(2)
12．若关于x的一元二次方程没有实数根，试化简： ．
13．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4＝0
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若方程有一根为3，求m的值．
14．数学解题时类比是发现新问题、新结论的重要方法，是思维发展的重要途径．阅读下面材料，解答相关问题：
材料：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以利用根的判别式解决问题，如下例：
例：求代数式的最小值；
方法1： ， 当时，的最小值是1． 则代数式的最小值为1． 方法2： 设 方程有实数根 ，解得， 则代数式的最小值为1．
请利用上述方法解决下列问题：
(1)请选择上述一种方法求代数式的最大值；
(2)请你根据方法2解决问题：若关于的二次三项式：（为常数）的最小值为，求的值．
15．关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
16．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 B B B D A
1．B
【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再确定．
【详解】∵方程化为一般形式为：，
∴，， ．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式为．其中分别是二次项和一次项系数，c为常数项．
2．B
【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是根据求根公式，对比已知式子确定a，b，的值．
通过求根公式，分析出a，b，．
【详解】一元二次方程求根公式为，已知，
由，可得，
由，可得，
由，可得，
将代入一元二次方程，
得到，对应选项B．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，是解题的关键．
根据一元二次方程根的判别式进行判断．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，无实数根．
【详解】解：∵方程中，，，．
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
故方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
4．D
【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴
解得，
故D符合题意．
5．A
【分析】本题考查了根的判别式．分和且两种情况讨论，据此求解即可．
【详解】解：当时，方程为，解得，方程有实数根；
当时，关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得．
综上，时，关于x的方程有实数根．
故选：A．
6．，
【分析】先将一元二次方程整理为一般形式，计算根的判别式，再利用求根公式 求解即可．
【详解】解：
移项，得
根的判别式
∴
即，．
7．
【分析】利用根的判别式的定义得到，然后解关于的方程即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程的根的判别式为．
【详解】解：根据题意得，
整理得，
解得，
即的值为．
故答案为：．
8．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据列出不等式解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
解得，
故答案为：．
9．
【详解】解：∵关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴，
整理得，
解得．
10．且
【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，当一元二次方程有两个不相等的实数根时根的判别式大于0求解即可．
【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程，
∴二次项系数不为，
即，
解得．
又∵原方程有两个不相等的实数根，
∴根的判别式，
即，
解得，
综上，的取值范围是且．
11．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用公式法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴∴，
∴，
∴，
解得．
12．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，化简二次根式，根据方程没有实数根可知，代入即可求得a的取值范围，根据a的取值范围和的化简方法进行化简即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
13．（1）m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根．（2）m＝﹣2或m＝﹣4．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，故△＞0，解不等式即可；
（2）将x=3代入方程求m即可.
【详解】解：（1）依题意得：△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣4）＞0，
解得：m＞﹣，
即当m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根．
（2）依题意得：32+3（2m+1）+m2﹣4＝0，
解得m＝﹣2或m＝﹣4．
【点睛】此题考查的是（1）根的情况与根的判别式取值之间的关系；（2）方程的根的概念：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根.
14．(1)3
(2)或
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式及解不等式，解一元二次方程，读懂阅读材料中的方法并明确一元二次方程的根的情况与判别式的关系，运用类比的思想是解题的关键．
（1）设，根据方程有实数根，求得，即可求解；
（2）设，根据方程有实数根，得出，利用最小值为，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设，
方程有实数根，
，
解得：，
则代数式的最大值为3；
（2）解：设，
方程有实数根，
，
解得：，
而（为常数）的最小值为，
则，
解得：或．
15．（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1．
【分析】（1）求出根的判别式，判断其范围，即可判断方程根的情况.
（2）方程有两个相等的实数根，则，写出一组满足条件的，的值即可.
【详解】（1）解：由题意：．
∵，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）答案不唯一，满足（）即可，例如：
解：令，，则原方程为，
解得：．
【点睛】考查一元二次方程根的判别式，
当时，方程有两个不相等的实数根.
当时，方程有两个相等的实数根.
当时，方程没有实数根.
16．
（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）或
【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．
【详解】（1）略
（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，
即x1=k，x2=k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，
所以k的值为5或4．
【点睛】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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