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集合的概念 暑假预习练 2026-2027学年
高中数学人教A版（2019）高一上学期
一、单选题
1．下列各组对象能组成集合的是（ ）
A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生
B．深圳中学高中园2025级幽默的学生
C．深圳中学高中园2025级所有女生
D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科
2．下列与集合表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A．30 B．28 C．26 D．24
4．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知集合，，，若，，则必有（ ）
A． B．
C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个
6．如果集合只有一个元素，则实数的值是（ ）
A．0或4 B．4 C．0或 D．0
7．定义，若，则中元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、多选题
8．设，，则（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
9．给定实数集，定义集合，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（ ）
A．若数集中有2025个元素，则数集一定有上确界
B．若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界
C．若数集，有上确界，则数集一定也有上确界，为．
D．若数集，有上确界，则数集一定也有上确界，为
10．用表示非空集合中元素的个数，定义已知集合，则下面结论正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．存在，使得 D．若，则
三、填空题
11．如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为______．

12．含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____________.
13．已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________.
四、解答题
14．已知集合.
(1)若，求集合；
(2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围．
15．已知集合，集合且．
(1)判断,,0,中的哪些元素属于；
(2)证明：若，则．
16．把下列集合用另一种方法表示出来：
(1)；
(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；
(3)；
(4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）；
(5)由方程的所有整数解组构成的集合．
17．已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则.
(1)若，求A；
(2)集合A有没有可能是单元素集
(3)若，证明：.
18．已知集合.
（1）若中只有一个元素，求及；
（2）若中至多有一个元素，求的取值范围.
19．用适当的方法表示下列集合：
（1）方程组的解集；
（2）方程的实数根组成的集合；
（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；
（4）二次函数的图象上所有的点组成的集合；
（5）二次函数 的图象上所有点的纵坐标组成的集合.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B A B C C BC AC ACD
1．C
【分析】根据集合元素的特点判断即可．
【详解】对于ABD，羽毛球打得好，幽默的学生，学生感兴趣的学科，
都没有一个标准，对象不确定，故ABD错误；
对于C，2025级所有女生是确定的，可以组成集合，故C正确．
故选：C．
2．C
【分析】解方程，列举法表示集合，即可求解.
【详解】集合.
故选：C.
3．B
【分析】根据题意得到，再结合求解即可.
【详解】，，
因为，
当时，为偶数，共有个元素.
当时，为奇数，
此时，共有个元素.
当时，为奇数，
此时，有重复数字，去掉，共有个元素.
综上中元素的个数为个.
故选：B
4．A
【详解】因为，
所以，，，.
5．B
【分析】设出的表示形式，计算后比较各集合的代表元形式可得．
【详解】由题意设，，其中都是整数，
则，其中是整数，可以是奇数也可以是偶数，
∴.
6．C
【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值.
【详解】集合，
表示关于的方程的解集，
当时，解得，则，符合题意；
当时，，解得，
此时，符合题意,
综上可得或.
7．C
【分析】根据给定定义求出中的所有元素即可.
【详解】，当时，；
当时，；时，，
因此，所以中元素个数为5.
故选：C
8．BC
【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可.
【详解】若，，设，则
，故A错误，B正确；
若，，设，
则
，故C正确，D错误.
故选：BC.
9．AC
【分析】根据集合的上确界的概念判断A，结合反比例函数的性质利用集合的上确界的概念判断B，结合不等式的性质利用集合的上确界的概念判断C，举反例判断D.
【详解】对于，若数集中有2025个元素，则数集中的元素一定有最大值，
所以数集一定有上确界，且与数集中的最大元素相等，故A正确；
对于B，若，当时，，
则数集中的元素没有最大值，
因为对任意的，都有，所以，
所以，即数集中有上确界，故B错误；
对于C，若数集A，B有上确界，设，，
由上确界的定义可知，对于任意的，，都有，，
所以，即，故正确；
对于D，若，，则数集A，B有上确界，且，，
此时，
则，故D错误.
故选：AC
10．ACD
【分析】根据新定义运算、一元二次方程等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，当时，，所以，所以，
所以，故A正确；
对于B，当时，，此时，故B错误；
对于C，当时，，此时，故C正确；
对于D，因为，要使得，所以或3，若，
满足，解得；
若，因为方程的两个根，都不是方程的根，
所以需满足，解得.
综上：或，
所以，所以，故D正确.
故选：ACD
11．4
【分析】由直角三角形性质可得或，后由勾股定理结合集合互异性可得答案.
【详解】如图，因为，且长度构成集合，
因为直角三角形中，斜边一定大于直角边和，
所以或，
当时，可分为
，此时由勾股定理可得，解得；
，此时由勾股定理可得，解得；
，此时由勾股定理可得，解得；
由集合的互异性，可知3需舍去；
当，可分为：
，解得；
，解得；
，解得；
综上，的值可能为.
故答案为：4

12．
【分析】利用集合元素的互异性与集合相等计算即可.
【详解】由题意可知，所以根据集合元素的互异性可知，
则，此时需，即，所以.
故答案为：
13．
【分析】用列举法列出集合、，再根据所给定义列出即可判断.
【详解】，，，，，
，，，，，
，，，，，，，，，，
，
，，，，，，
，，，，，，，
，，，，，，，，
，，，，，，，，
，共个元素.
14．(1)
(2)
【分析】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知；
（2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果.
【详解】（1）因为，所以，所以，
由，解得或，
所以；
（2）当时，，，所以，满足条件；
当时，方程无解或仅有解，则只需，解得，
综上所述，的取值范围是.
15．(1)和；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据集合的定义验证；
（2）由，证明且即可．
【详解】（1）由已知,,0,均是集合中元素，
又，，无意义，
，
所以和属于；
（2）因为，则，
设，
则，
而，，所以，
又，所以,
所以．
16．(1)且
(2)
(3)
(4)
(5)用列举法：，
用描述法：
【分析】（1）集合为列举法表示，改为描述法表示；
（2）集合为文字描述表示，由列举法表示；
（3）集合为描述法表示，改为列举法表示；
（4）集合为文字描述表示，由描述法表示；
（5）集合为文字描述表示，由列举法和描述法表示．
【详解】（1）集合为列举法，改为描述法为且，
表示小于等于的正偶数．
（2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数，
由列举法可得：
一位自然数：；
两位无重复：；
三位无重复：；
故集合为：．
（3）集合用描述法表示，改为列举法为：．
（4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离，
距离恒等于5，即为圆周上的点，
故集合．
（5）由方程的所有整数解组构成的集合，
改为列举法：
，
用描述法为：．
17．(1)；
(2)没有可能；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用定义依次计算即得.
（2）假定是，结合定义计算导出矛盾即可.
（3）利用给定的定义计算推理即得.
【详解】（1）当时，即，则，，
，，所以.
（2）假设集合是单元素集，
由，则，得，整理得与实数平方为非负数矛盾，
所以集合不可能是单元素集.
（3）由，得且，，于是，
，所以.
18．（1）时，；时，；（2）；
【分析】（1）分和两种情况讨论，当中只有一个元素时，求的取值；
（2）讨论集合或有一个元素时，的取值范围.
【详解】（1）当时，，解得： ，
所以中只有一个元素，即，
当时，，解得：，
，解得：，此时
综上可知时，时.
（2）当集合时，，解得：
由（1）可知集合有1个元素时，或，
综上可知：或，
即.
【点睛】本题考查根据集合的元素个数求参数的取值范围，涉及一元二次方程实数根与系数的关系，意在考查讨论思想和计算能力，属于基础题型，本题容易忽略的情况.
19．（1）；（2）；（3）且；（4）；（5）.
【解析】描述法或列举法表示（1）、(2)，描述法表示(3)、(4)、(5).
【详解】（1）解方程组得
故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为.
（2）方程有两个相等的实数根1，因此可用列举法表示为，也可用描述法表示为.
（3）集合的代表元素是点，可用描述法表示为且.
（4）二次函数的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对，其中x，y满足，则可用描述法表示为.
（5）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素y是实数，故可用描述法表示为.
【点睛】本题考查集合的表示方法，属于基础题.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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