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暑假专项提升--求不规则物体的体积
2025-2026学年小学数学人教版五年级下学期
一、选择题
1．将20个大小相同的玻璃球放进一个盛有水的烧杯中，烧杯中的水面由200毫升上升到250毫升，每个玻璃球的体积是（ ）立方厘米。
A．12.5 B．2.5 C．10
2．一个长24cm，宽12cm，高30cm的长方体玻璃容器，里面水面高20cm，放入一块石头，水面上升了3cm，这块石块的体积是（ ）cm3。
A．2880 B．5760 C．864
3．有人做了这样一个实验：
①将350毫升的水倒进一个容量为500毫升的杯子中；
②将3个相同的铁球放入水中，结果水没有满；
③再将2个这样的铁球放入水中，水溢出少量。由此推测，1个铁球的体积可能是（ ）立方厘米。
A．30 B．40 C．50
4．如图是华华求鹅卵石体积的操作过程，下列算式中，（ ）能正确求出鹅卵石的体积。（单位：cm）
A．
B．
C．
5．一个正方体容器，从里面量棱长为5dm，容器内水深4.6dm。把一块长和宽都是2dm的长方体铁块放入水中（铁块完全浸没），水溢出了2L。要想求这个铁块的高度需要用到下面哪些数学信息（ ）。
①正方体从里面量棱长为5dm
②容器内水深4.6dm
③铁块的长和宽都是2dm
④水溢出了2L
A．①②③ B．③④ C．①②③④
6．数学课堂上，王老师教了同学们用“排水法”测量不规则物体的体积，课下军军用这个方法测量一块石头的体积。他准备了一个长20cm、宽10cm、高12cm的长方体容器，容器中注入了8cm深的水，然后将石头完全浸入容器中的水里，如下图。这块石头的体积是（ ）。
A．300 B．1600 C．1900
7．下图是小明做“西红柿与红薯体积对比”实验的示意图，长方体容器的长是22cm，宽是16cm，高是25cm。下列说法中正确的是（ ）。
A．西红柿的体积是4048cm3
B．红薯的体积是4928cm3
C．西红柿的体积和红薯的体积一样大
8．小刚在实验室做实验时，发现有一个长方体铁块长10cm、宽8cm，高不清楚。旁边刚好有一个长40cm、宽20cm的长方体水槽。于是把铁块放入了水槽中，长方体铁块完全浸没且水没有溢出，水面上升了2cm，则铁块的高是（ ）dm。
A．2 B．1600 C．20
二、填空题
9．将3个水蜜桃放入盛了370毫升水的量杯后，水位上升至910毫升处，平均每个水蜜桃的体积是( )立方厘米。
10．在现实生活中有很多形状不规则的物体，我们可以用排水法测量它们的体积，请观察下图后填空。水的体积是( )mL，水和梨的体积是( )cm3，梨的体积( )。
11．在一个长40cm、宽20cm、高25cm的长方体水槽内浸没一个小球，水深18cm，将小球取出后，水深17.2cm。这个小球的体积是( )，水槽内水与水槽的接触面积减少( )。
12．如图，图3中的小球被水杯遮住了，根据图1和图2，可以估测出图3中共有( )个小球。
13．一只装有水的长方体玻璃杯，底面积是，杯高是，水深是，现在将一个底面积是、高为的长方体铁块竖直放在水中后，现在水面的高度是( )cm。
14．航天员王亚平在演示乒乓球浮力消失实验时，将一个体积约是35.2cm3的乒乓球完全浸入到一个长4dm，宽0.8dm，高3dm的玻璃水缸内，水面大约上升( )cm。（得数保留一位小数）
15．在一个长10cm、宽10cm、高15cm的长方体容器中加入一些水后，测量一块石头的体积，石头的体积是( )cm3。
16．如图，在一个长5dm、宽3dm、高4dm的容器中装有水和一个被水完全浸没的铁块，水深3dm。将铁块取出后，水面下降了2cm，这个铁块的体积是( )。
三、解答题
17．小王给家里的长方体鱼缸换水，将水倒空后，从鱼缸内部测量，长为60厘米，宽为30厘米，高为36厘米（如图）。小王先倒入了27升水，此时水深多少厘米？接下来，小王在鱼缸中放入一块景观石并完全被浸没，此时水深变为20厘米。这块景观石的体积是多少立方厘米？
18．在五（1）班的数学实践课上，李老师提出一个有趣的问题：怎样测量一块不规则石头的体积？经过热烈的讨论，小丽和本组成员一致决定利用“排水法”来测量，于是他们设计了以下的实验：
①小丽测量出上涨后的水面到缸口的距离是厘米。 ②明明将石头慢慢放入玻璃缸中，使缸中的水完全淹没石头后，发现水面上涨但未溢出。 ③小红准备了长方体的玻璃缸，从里面测量，底面是边长为10厘米的正方形，玻璃缸高20cm。 ④小方往玻璃缸里慢慢倒入一些水，量出水面到缸口的距离是3厘米。
(1)请你将这个实验的操作过程按顺序排列。（填序号）
( )→( )→( )→( )
(2)请你根据以上实验数据，计算出这块石头的体积。
19．一个棱长是50厘米的正方体水缸中，原有45厘米高的水，放入一个石块后石块被完全浸没，水面上涨并溢出缸外，经测量，溢出缸外的水正好是0.8升，这个石块的体积是多少立方厘米？
20．笑笑从超市买来一些梨，想测量其中一个梨的体积，她找来一个长方体玻璃缸，从里面量得长是12厘米，宽是10厘米，高是15厘米。她先往缸中注入960毫升水，再将这个梨完全浸没在水中，这时量得水面高9.5厘米。这个梨的体积是多少立方厘米？
21．工坊用长方体玻璃缸浸泡面塑工具。从里面量，玻璃缸长40厘米、宽25厘米，水深18厘米（此时一个不规则的面塑模具完全浸没在水中）。把该模具取出后，水面下降了3厘米。请你自主探究并解答（计算时忽略取出模具时带出的水）：
(1)这块不规则面塑模具的体积是多少立方厘米？
(2)取出面塑模具后，再往玻璃缸里放入一个棱长为10厘米的正方体木制压花块（完全浸没，水未溢出），此时水面会上升多少厘米？
(3)请写出求不规则面塑模具体积的方法，并说明其中的数学原理。
22．刚煮熟的粽子放在冷水中浸泡一下，口感会变得紧实有嚼劲，也更容易剥叶。丽丽把一个热粽子完全浸没在一个水深6厘米的长方体饭盒里（如图），水面升高到7.5厘米，这个粽子的体积是多少立方厘米？
23．学校新建了一个游泳池，围绕“游泳池的注水量”问题，同学们展开了研究。他们从内部测量出游泳池长25米，宽10米，游泳池最浅处深1.2米，游泳池最深处深1.6米，是一个不规则的立体图形。为了便于思考，同学们画出了下边的示意图。
(1)注满这个游泳池，需要多少立方米的水？（请按照下面的提示方法进行计算）
(2)通过上面的计算，你对“不规则形状容器的容积”有什么新的理解？请写一写。
24．同学们为了探究不规则物体的体积，用土豆和红薯的体积做了如下实验。（玻璃的厚度不计，图中单位：cm）
通过观察比较，你发现土豆和红薯谁的体积大？大了多少立方厘米？
25．把一个铁块完全浸入一个长为8分米，宽为5分米，高为4分米的长方体玻璃缸中，水面从25厘米上升到30厘米（水没有溢出）。这个铁块的体积是多少？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B C C A C A
1．B
用排水法测量不规则物体的体积，放入物体后水上升的体积等于物体的总体积。这里水上升的体积就是20个玻璃球的总体积，每个玻璃球的体积＝总体积÷玻璃球的数量，结果注意单位换算，1毫升＝1立方厘米。
（毫升）
（毫升）
2.5毫升＝2.5立方厘米
2．C
本题中石块的体积就等于水面上升部分的水的体积，可以把水面上升的部分看成是一个长方体，然后利用长方体的体积公式：，计算出这个长方体的体积即可。
水面上升的同时，底面积没变，所以可以把水面上升的部分看成一个长24cm、宽12cm、高3cm的长方体，该长方体的体积计算：
（cm3）
3．B
水面上升部分水的体积就是放入的铁球的体积，杯子中空余部分的容积是150毫升，放入3个铁球不满，说明1个铁球的体积小于50立方厘米；放入5个铁球水溢出，说明1个铁球的体积大于30立方厘米；由此判断1个铁球的体积即可。
（500－350）÷3
＝150÷3
＝50（立方厘米）
（500－350）÷5
＝150÷5
＝30（立方厘米）
因为水有溢出，所以1个铁球的体积大于30立方厘米，小于50立方厘米，可能是40立方厘米。
4．C
鹅卵石的体积等于上升部分水的体积。容器的底面积不变，水面从8cm上升到9cm，上升的高度是9－8＝1cm，用底面积乘上升的高度就能得到鹅卵石的体积。
5．C
排水法测物体体积，水有溢出，铁块体积＝正方体容器中空余部分的体积＋溢出的水的体积，空余部分的体积＝棱长×棱长×（棱长－原有水深）；铁块是长方体，高＝体积÷（长×宽），据此判断。
空余体积＝棱长×棱长×（棱长－原有水深），计算正方体容器空余部分体积，需要用到①正方体棱长、②原有水深；加上④溢出的水的体积，就能得到铁块的总体积；铁块高＝体积÷（长×宽），需要用到③铁块的长和宽才能算出高度。
即需要用到的信息是①②③④。
6．A
水面上升的体积就是石头的体积，长方体容器的长×宽×水面上升的高度＝石头的体积。
20×10×（9.5－8）
＝200×1.5
＝300（）
这块石头的体积是300。
7．C
放入西红柿和放入红薯，容器中的水面都上升了，通过计算上升这部分水的体积即可确定西红柿和红薯的体积；因为长方体容器的底面积都是相等的，用容器的底面积乘放入西红柿水面上升的高度，可计算出西红柿的体积；用容器的底面积乘放入红薯水面上升的高度，可计算出红薯的体积，据此解答。
放入西红柿水面上升了11.5－9＝2.5（cm）
放入红薯水面上升了14－11.5＝2.5（cm）
在同一个容器中底面积一样，上升的高度也一样，所以西红柿和红薯的体积一样大。
故答案为：C
8．A
水面上升的体积就是铁块的体积，长方体水槽的长×宽×水面上升的高度＝铁块的体积，铁块体积÷长÷宽＝高，据此列式计算。注意统一单位。
40×20×2÷10÷8
＝1600÷10÷8
＝20（cm）
20cm＝2dm
铁块的高是2dm。
故答案为：A
9．180
先用量杯放入水蜜桃后的水位体积减去原来水的体积，求出3个水蜜桃的总体积，再用总体积除以水蜜桃的个数3，求出平均每个水蜜桃的体积，最后把毫升单位换算成立方厘米。
910－370＝540（毫升）
540÷3＝180（毫升）
180毫升＝180立方厘米
10． 200 450 250cm3
根据图示，水的体积是200mL，水和梨的体积是450cm3。1cm3＝1mL。用水和梨的体积减去水的体积就是梨的体积。
1cm3＝1mL
200mL＝200cm3
450－200＝250cm3
11． 640 96
根据排水法原理可知，小球的体积＝小球和水的体积之和－水的体积。根据题意，水槽是长方体的，所以小球和水的体积之和等于一个长40cm，宽20cm，高18cm的长方体的体积，水的体积等于一个长40cm，宽20cm，高17.2cm的长方体的体积。
水与水槽的接触面积减少的部分是四个侧面，这四个侧面有两个面是长为40cm，宽为（18－17.2）cm的长方形，另外两个是长为20cm，高为（18－17.2）cm的长方形。利用长方形的面积公式计算出这四个面的面积再相加即可。
40×20×18－40×20×17.2
＝14400－13760
＝640（）
40×（18－17.2）×2＋20×（18－17.2）×2
＝40×0.8×2＋20×0.8×2
＝64＋32
＝96（）
12．4
先观察图①和图②，得出放入1个小球会溢出1份水，再看图片③中溢出的水有4份，用溢出的总份数除以1个小球对应的溢水份数，即可求出小球的个数。
4÷1＝4（个）
13．12.5
铁块竖直放在水中，铁块高20cm，杯子高15cm，原来水深10cm，铁块放入后水面会上升，但不会被完全淹没。
放入铁块前，水的体积是80×10＝800。放入铁块后，水和铁块在水中部分的体积之和－铁块在水中部分的体积＝水的体积。铁块放入前后，水的体积不变，据此设未知数，列方程解答。最后利用等式的性质1和性质2解方程。
解：设现在水面的高度是xcm。
80x－16x＝80×10
80x－16x＝800
64x＝800
64x÷64＝800÷64
x＝12.5
14．0.1
分析题目，乒乓球的体积就等于浸入之后上升的水的体积，上升的水的体积等于长是4dm、宽是0.8dm的长方体的体积，先根据1dm＝10cm把长和宽都换算成以cm为单位，再根据长方体的高＝体积÷（长×宽）列式求出水面上升的高度，注意：结果要根据“四舍五入“法保留一位小数。
4dm＝40cm
0.8dm＝8cm
35.2÷（40×8）
＝35.2÷320
≈0.1（cm）
水面大约上升0.1cm。
15．500
石头的体积＝长方体容器的长×宽×（原来水的高度－拿出石块后水面的高度＋原来没有水的高度）。
15－3＝12（厘米）
10×10×（12－10＋3）
＝10×10×（2＋3）
＝10×10×5
＝100×5
＝500（立方厘米）
16．3
由题意得：不规则铁块的体积等于下降的水的体积，下降的水的体积等于长5dm、宽3dm、高为2cm的长方体的体积，根据长方体的体积=长×宽×高计算即可，注意单位的换算。
（立方分米）
所以这个铁块的体积是3立方分米。
17．15厘米；9000立方厘米
已知倒入水的体积是 27升，首先需要将体积单位换算成立方厘米，再根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，鱼缸的底面积是长乘宽，用水的体积除以底面积即可求出水深。
景观石完全浸没在水中，根据排水法原理，景观石的体积等于它排开水的体积，也就是水面上升部分的水的体积。可以用放入石头后的总体积减去原来水的体积，或者用鱼缸底面积乘以上升的水深（放入石头后的水深减去原来的水深）。
27升＝27000立方厘米
27000÷（60×30）
＝27000÷1800
＝15（厘米）
60×30×（20－15）
＝1800×5
＝9000（立方厘米）
答：小王先倒入了27升水，此时水深15厘米；景观石的体积是9000立方厘米。
18．(1)
③
④
②
①
(2)
立方厘米
（）测量不规则物体体积的实验步骤通常遵循：准备器材—装入适量水并记录初始状态—放入物体—记录末状态。根据题意，首先要准备玻璃缸③，然后倒入水并测量初始水面到缸口的距离④，接着放入石头②，最后测量放入石头后水面到缸口的距离①。
（）根据排水法原理，石头的体积等于它排开水的体积，即水面上升部分的水的体积。玻璃缸是长方体，底面是正方形。我们需要先计算玻璃缸的底面积，再计算水面上升的高度（放入石头前水面到缸口的距离减去放入石头后水面到缸口的距离），最后利用长方体体积公式计算即可。
（1）请你将这个实验的操作过程按顺序排列。（填序号）
③→④→②→①
（2）（厘米）
（立方厘米）
答：这块石头的体积是立方厘米。
19．13300立方厘米
根据题意，浸没石块的体积等于水面上升至高50厘米部分的体积与溢出水的体积之和。正方体水缸棱长已知为50厘米，原有水深为45厘米，可以用厘米求出上升部分水的高，上升部分为长方体，长为50厘米，宽为50厘米，高为5厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高求出上升部分的体积。溢出缸外的水正好是0.8升，将0.8升换算为800毫升，再将800毫升换算为800立方厘米，最后将上升部分的水的体积与溢出水的体积相加求出石块的体积。
水缸内上升至高50厘米部分的水的体积：
（立方厘米）
溢出水的体积：
升＝0.8立方分米
0.8立方分米＝800立方厘米
石块的体积：
（立方厘米）
答：这个石块的体积是13300立方厘米。
20．180立方厘米
先根据“1毫升＝1立方厘米”把容积单位转化为体积单位，玻璃缸中原来水的高度＝水的体积÷玻璃缸的底面积，这个梨的体积等于放入梨后上升部分水的体积，上升部分水的体积＝玻璃缸的底面积×上升部分水的高度。
960毫升＝960立方厘米
960÷（12×10）
＝960÷120
＝8（厘米）
12×10×（9.5－8）
＝12×10×1.5
＝120×1.5
＝180（立方厘米）
答：这个梨的体积是180立方厘米。
21．(1)立方厘米
(2)厘米
(3)排水法；浸没在水中的物体体积等于它排开水的体积
（1）根据排水法原理，不规则面塑模具的体积等于水面下降部分的水的体积。水面下降部分是一个长方体，其长和宽与玻璃缸内部长和宽相同，高为水面下降的高度。根据长方体的体积＝长×宽×高解答。
（2）正方体木制压花块完全浸没，水面上升部分的水的体积等于正方体木制压花块的体积。已知正方体棱长，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长求出其体积，再除以玻璃缸的底面积，即可求出水面上升的高度。
（3）需总结测量不规则物体体积的常用方法及依据的数学原理，即转化思想，将不规则物体体积转化为规则的水的体积进行计算。
（1）
（立方厘米）
答：这块不规则面塑模具的体积是立方厘米。
（2）10×10×10
＝100×10
＝1000（立方厘米）
（厘米）
答：此时水面会上升1厘米。
（3）方法：排水法。
数学原理：浸没在水中的物体体积等于它排开水的体积（或物体体积等于水面上升或下降部分水的体积）。
答：求不规则面塑模具体积的方法是排水法，其中的数学原理是浸没在水中的物体体积等于它排开水的体积。
22．450立方厘米
当物体完全浸没在水中时，物体的体积等于水面上升部分的水的体积。把粽子放入水中，水面上升7.5－6＝1.5厘米，长方体体积＝长×宽×高，求出上升部分水的体积，即为粽子的体积。
7.5－6＝1.5（厘米）
20×15×1.5
＝300×1.5
＝450（立方厘米）
答：这个粽子的体积是450立方厘米。
23．(1)350立方米
(2)求不规则形状容积的可以借助“分割法”或“补形法”转化为规则形状容器的容积，就像求不规则图形一样需要转化为基本图形计算。（答案不唯一）
（1）借鉴梯形面积的推导思路，先将游泳池侧面梯形通过“补形法”转化为规则形状长方形，再计算出长方体的容积除以2就是游泳池的容积。
（2）计算不规则容器的容积时，可以用转化思想，把未知的不规则图形，转化成我们已经学过的规则图形来计算；就像这道题里，可以把深度均匀变化的不规则泳池，转化为规则长方体来计算容积。
（1）长方体的长：25米
长方体的宽：10米
长方体的高：1.6＋1.2＝2.8（米）
长方体容积：25×10×2.8＝700（立方米）
游泳池容积：700÷2＝350（立方米）
答：注满游泳池需要350立方米的水。
（2）求不规则形状容积的可以借助“分割法”或“补形法”转化为规则形状容器的容积，就像求不规则图形一样需要转化为基本图形计算，将平面图形的转化思路使用在立体图形当中。（答案不唯一）
24．红薯的体积大；96立方厘米
根据题意可知，土豆放入后水从8厘米升到9.5厘米，所以土豆体积对应高度为的长方体体积；红薯放入后水从9.5厘米升到12厘米，所以红薯体积对应高度为的长方体体积。长方体体积＝长×宽×高＝底面积×高，分别算出土豆、红薯的体积，比较大小并求差值即可。
长方体的底面积：（平方厘米）
土豆的体积：
（立方厘米）
红薯的体积：
（立方厘米）
（立方厘米）
答：红薯的体积大，大了96立方厘米。
25．20立方分米
铁块完全浸入水中且水没有溢出，铁块的体积等于上升部分水的体积，水面上升高度＝最终高度－开始高度，将水面上升高度值除以进率10换算为分米，代入公式：铁块体积＝容器长×宽×水面上升的高度，进而求出铁块体积。
30－25＝5（厘米）＝0.5（分米）
8×5×0.5＝20（立方分米）
答：这个铁块的体积是20立方分米。
或者：
8分米＝80厘米，5分米＝50厘米
80×50×（30－25）
＝80×50×5
＝20000（立方厘米）
答：这个铁块的体积是20000立方厘米。
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